一、选择题
1. $\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}$的值为()。
A.$\dfrac{1}{6}\sqrt{30}$
B.$6\sqrt{30}$
C.$\dfrac{1}{6}\sqrt{5}$
D.$6\sqrt{5}$

1. A

$\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}&=\sqrt{\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}}\\&=\sqrt{\dfrac{5}{6}}\\&=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\\&=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}\\&=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\\&=\dfrac{1}{6}\sqrt{30}\end{aligned}$
A

2. 下列计算正确的是()。

A.$\sqrt{5^{2}+6^{2}}=5+6=11$
B.$\sqrt{(-4)×(-25)}=\sqrt{-4}×\sqrt{-25}=2×5=10$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=4$
D.$\sqrt{27}÷\sqrt{\dfrac{3}{8}}=\sqrt{27÷\dfrac{3}{8}}=\sqrt{9×8}=6\sqrt{2}$

2. D

【分析】
这道题考查二次根式的运算规则，需要逐个分析选项，依据二次根式的性质（被开方数为非负数）和乘除运算法则来判断对错。解题思路如下：
1. 对于选项A，不能直接将$\sqrt{a^2+b^2}$拆分为$\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}$，需先计算平方和再开方；
2. 选项B中，二次根式的被开方数不能为负数，不能对负数开平方后再相乘，应先计算被开方数的乘积再开方；
3. 选项C根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$（$a≥0$，$b＞0$），计算时需正确求出商的算术平方根；
4. 选项D按照二次根式除法法则，先将除法转化为被开方数的除法，再逐步化简验证。
【解析】
选项A：$\sqrt{5^{2}+6^{2}}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}≠11$，故A错误；
选项B：$\sqrt{(-4)×(-25)}=\sqrt{100}=10$，但$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-25}$无意义（二次根式的被开方数必须是非负数），该计算过程错误，故B错误；
选项C：$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2≠4$，故C错误；
选项D：$\sqrt{27}÷\sqrt{\dfrac{3}{8}}=\sqrt{27÷\dfrac{3}{8}}=\sqrt{27×\dfrac{8}{3}}=\sqrt{9×8}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，计算过程和结果均正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质
【点评】
本题主要考查二次根式的基本运算，易错点集中在对二次根式运算法则的误用（如错误拆分平方和的开方）、忽略被开方数的非负性以及除法运算中的计算失误。解题时需严格遵循二次根式的性质和运算法则，仔细验证每个选项。
【难度系数】
0.6

3. 如果$ab＞0$，$a+b＜0$，那么下列各式中正确的是()。
①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}×\sqrt{\dfrac{b}{a}}=1$；③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$。

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

3. B

因为$ab＞0$，所以$a$，$b$同号。又因为$a + b＜0$，所以$a＜0$，$b＜0$。
①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，由于$a＜0$，$b＜0$，$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$无意义，故①错误。
②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}×\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}×\dfrac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确。
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab×\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}=|b|=-b$（因为$b＜0$），故③正确。
综上，正确的是②③，答案选B。

二、填空题
4. 计算：$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=$。

4. 3

$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$

5. 化简：$\dfrac{2\sqrt{x^{2}y}}{3\sqrt{xy}}=$。

5. $\dfrac{2}{3}\sqrt{x}$

$\dfrac{2\sqrt{x^{2}y}}{3\sqrt{xy}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{x^{2}y}{xy}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{x}$

6. 若非零实数$a$，$b$满足$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{b^{2}}=-\dfrac{\sqrt{ab}}{a}-b$，则点$P(a,b)$在平面直角坐标系中的第象限。

6. 三

因为$a$，$b$为非零实数，$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$有意义，所以$\dfrac{b}{a} ＞ 0$，即$a$，$b$同号。
$\sqrt{b^{2}} = |b|$，原等式可化为$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + |b| = -\dfrac{\sqrt{ab}}{a} - b$。
因为$\dfrac{b}{a} ＞ 0$，所以$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b}$（当$a$，$b$同为正时）或$\sqrt{ab} = \sqrt{-a} · \sqrt{-b}$（当$a$，$b$同为负时），且$\sqrt{\dfrac{b}{a}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$。
若$a ＞ 0$，则$b ＞ 0$，此时$|a| = a$，$|b| = b$，等式左边为$\dfrac{\sqrt{ab}}{a} + b$，右边为$-\dfrac{\sqrt{ab}}{a} - b$，则$\dfrac{\sqrt{ab}}{a} + b = -\dfrac{\sqrt{ab}}{a} - b$，移项得$\dfrac{2\sqrt{ab}}{a} + 2b = 0$，因为$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以左边大于$0$，等式不成立。
若$a ＜ 0$，则$b ＜ 0$，此时$|a| = -a$，$|b| = -b$，$\sqrt{\dfrac{b}{a}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{|a|} = \dfrac{\sqrt{ab}}{-a}$，等式左边为$\dfrac{\sqrt{ab}}{-a} + (-b)$，右边为$-\dfrac{\sqrt{ab}}{a} - b$，左边等于右边，等式成立。
所以$a ＜ 0$，$b ＜ 0$，点$P(a,b)$在第三象限。
三

三、解答题
7. 计算：$\dfrac{1}{2}\sqrt{6}×(-6\sqrt{\dfrac{1}{12}})÷\dfrac{2}{3}×\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$。

7. $-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$

$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sqrt{6}×(-6\sqrt{\frac{1}{12}})÷\frac{2}{3}×\sqrt{1\frac{1}{3}}\\=&\frac{1}{2}\sqrt{6}×(-6\sqrt{\frac{1}{12}})×\frac{3}{2}×\sqrt{\frac{4}{3}}\\=&\frac{1}{2}×(-6)×\frac{3}{2}×\sqrt{6×\frac{1}{12}×\frac{4}{3}}\\=&(-\frac{9}{2})×\sqrt{\frac{6×1×4}{12×3}}\\=&(-\frac{9}{2})×\sqrt{\frac{24}{36}}\\=&(-\frac{9}{2})×\sqrt{\frac{2}{3}}\\=&(-\frac{9}{2})×\frac{\sqrt{6}}{3}\\=&-\frac{3\sqrt{6}}{2}\end{aligned}$