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4 [2025 泸州] 如图,一次函数 $y=2x+b$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象的一个交点为 $A(2,6)$.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式;
(2) 将一次函数 $y=2x+b$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 12 个单位长度, 与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象相交于点 $B$,$C$, 连接 $AB$,$AC$, 求 $△ ABC$ 的面积.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式;
(2) 将一次函数 $y=2x+b$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 12 个单位长度, 与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象相交于点 $B$,$C$, 连接 $AB$,$AC$, 求 $△ ABC$ 的面积.
答案
(1) $\because$ 一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=2×2+b$.$\therefore b=2$.$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=2x+2$.$\because$ 反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=\frac{m}{2}$.$\therefore m=12$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$
(2) $\because$ 将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B$,$C$,$\therefore$ 直线$BC$对应的函数解析式为$y=2x+2-12=2x-10$.联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2.\end{cases}$ $\therefore B(-1,-12)$,$C(6,2)$.如图,过点$A$作$AT// y$轴,交直线$BC$于点$T$.$\because A(2,6)$,$\therefore$ 点$T$的横坐标为2.在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$.$\therefore T(2,-6)$.$\therefore AT=6-(-6)=12$.$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42$
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问利用待定系数法，将交点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求出两个函数的解析式；第二问先根据一次函数平移规律得到平移后的直线解析式，联立平移后的直线与反比例函数，求出交点B、C的坐标，再通过作辅助线（过A作平行于y轴的直线交BC于T），将△ABC分割为两个同高的小三角形，计算面积和得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 把点$A(2,6)$代入一次函数$y=2x+b$，得$6=2×2+b$，解得$b=2$，因此一次函数的解析式为$y=2x+2$；
把点$A(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，因此反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 将一次函数$y=2x+2$沿$y$轴向下平移12个单位，根据“上加下减”的平移规律，得平移后直线的解析式为$y=2x+2-12=2x-10$；
联立平移后的直线与反比例函数，得$\begin{cases}y=2x-10\\y=\frac{12}{x}\end{cases}$，消去$y$得$2x-10=\frac{12}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得$x^2-5x-6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x=6$或$x=-1$；
对应$y$的值：当$x=6$时，$y=2$；当$x=-1$时，$y=-12$，因此$B(-1,-12)$，$C(6,2)$；
过点$A$作$AT// y$轴，交直线$BC$于点$T$，则$T$的横坐标与$A$相同为2，代入$y=2x-10$得$y=2×2-10=-6$，即$T(2,-6)$；
计算$AT$的长度：$AT=6-(-6)=12$；
△ABT的面积：$\frac{1}{2}×AT×[2-(-1)]=\frac{1}{2}×12×3=18$；
△ACT的面积：$\frac{1}{2}×AT×(6-2)=\frac{1}{2}×12×4=24$；
因此$S_{△ABC}=18+24=42$。
【答案】
(1) $\because$ 一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=2×2+b$.$\therefore b=2$.$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=2x+2$.$\because$ 反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=\frac{m}{2}$.$\therefore m=12$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$
(2) $\because$ 将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B$,$C$,$\therefore$ 直线$BC$对应的函数解析式为$y=2x+2-12=2x-10$.联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2.\end{cases}$ $\therefore B(-1,-12)$,$C(6,2)$.如图,过点$A$作$AT// y$轴,交直线$BC$于点$T$.$\because A(2,6)$,$\therefore$ 点$T$的横坐标为2.在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$.$\therefore T(2,-6)$.$\therefore AT=6-(-6)=12$.$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42$
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数平移、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心考察待定系数法求函数解析式、直线平移规律以及割补法求三角形面积，将代数运算与几何图形结合，属于中档综合题，需要学生掌握函数交点与坐标的关系，以及面积的转化方法。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第一问利用待定系数法，将交点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求出两个函数的解析式；第二问先根据一次函数平移规律得到平移后的直线解析式，联立平移后的直线与反比例函数，求出交点B、C的坐标，再通过作辅助线（过A作平行于y轴的直线交BC于T），将△ABC分割为两个同高的小三角形，计算面积和得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 把点$A(2,6)$代入一次函数$y=2x+b$，得$6=2×2+b$，解得$b=2$，因此一次函数的解析式为$y=2x+2$；
把点$A(2,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$6=\frac{m}{2}$，解得$m=12$，因此反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2) 将一次函数$y=2x+2$沿$y$轴向下平移12个单位，根据“上加下减”的平移规律，得平移后直线的解析式为$y=2x+2-12=2x-10$；
联立平移后的直线与反比例函数，得$\begin{cases}y=2x-10\\y=\frac{12}{x}\end{cases}$，消去$y$得$2x-10=\frac{12}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得$x^2-5x-6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x=6$或$x=-1$；
对应$y$的值：当$x=6$时，$y=2$；当$x=-1$时，$y=-12$，因此$B(-1,-12)$，$C(6,2)$；
过点$A$作$AT// y$轴，交直线$BC$于点$T$，则$T$的横坐标与$A$相同为2，代入$y=2x-10$得$y=2×2-10=-6$，即$T(2,-6)$；
计算$AT$的长度：$AT=6-(-6)=12$；
△ABT的面积：$\frac{1}{2}×AT×[2-(-1)]=\frac{1}{2}×12×3=18$；
△ACT的面积：$\frac{1}{2}×AT×(6-2)=\frac{1}{2}×12×4=24$；
因此$S_{△ABC}=18+24=42$。
【答案】
(1) $\because$ 一次函数$y=2x+b$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=2×2+b$.$\therefore b=2$.$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=2x+2$.$\because$ 反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$A(2,6)$,$\therefore 6=\frac{m}{2}$.$\therefore m=12$.$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$
(2) $\because$ 将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位长度,与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B$,$C$,$\therefore$ 直线$BC$对应的函数解析式为$y=2x+2-12=2x-10$.联立$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2.\end{cases}$ $\therefore B(-1,-12)$,$C(6,2)$.如图,过点$A$作$AT// y$轴,交直线$BC$于点$T$.$\because A(2,6)$,$\therefore$ 点$T$的横坐标为2.在$y=2x-10$中,当$x=2$时,$y=2×2-10=-6$.$\therefore T(2,-6)$.$\therefore AT=6-(-6)=12$.$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=18+24=42$
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数平移、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心考察待定系数法求函数解析式、直线平移规律以及割补法求三角形面积，将代数运算与几何图形结合，属于中档综合题，需要学生掌握函数交点与坐标的关系，以及面积的转化方法。
【难度系数】
0.5
5 分类讨论思想 如图,反比例函数 $y=\dfrac{k_1}{x}$ 的图象与一次函数 $y=k_2x+m$ 的图象交于 $A(-1,a)$ ,$B(\dfrac{1}{3},-3)$ 两点,连接 $AO$.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式;
(2) 设点 $C$ 在 $y$ 轴上,且以 $A,O,C$ 为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点 $C$ 的坐标.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式;
(2) 设点 $C$ 在 $y$ 轴上,且以 $A,O,C$ 为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点 $C$ 的坐标.
答案
(1) $\because$ 点$B(\frac{1}{3},-3)$在反比例函数的图象上,$\therefore k_1=\frac{1}{3}×(-3)=-1$,即反比例函数的解析式为$y=-\frac{1}{x}$.在$y=-\frac{1}{x}$中,当$x=-1$时,$y=1$,即$a=1$.$\therefore A(-1,1)$.把$A(-1,1)$,$B(\frac{1}{3},-3)$代入$y=k_2x+m$,得$\begin{cases}-k_2+m=1,\\\frac{k_2}{3}+m=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=-3,\\m=-2.\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-3x-2$
(2) 点$C$的坐标为$(0,-\sqrt{2})$或$(0,\sqrt{2})$或$(0,2)$或$(0,1)$
(2) 点$C$的坐标为$(0,-\sqrt{2})$或$(0,\sqrt{2})$或$(0,2)$或$(0,1)$
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用反比例函数过点B求其解析式，再结合A点在反比例函数上确定A点坐标，最后用A、B两点求一次函数解析式；第(2)问需在y轴上找使△AOC为等腰三角形的点C，需分三种情况（OA=OC、AO=AC、CO=CA）讨论，结合坐标计算求解，注意排除重合的特殊情况。
【解析】
(1) 求函数解析式：
① 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$过点$B(\frac{1}{3},-3)$，代入得：
$k_1=\frac{1}{3}×(-3)=-1$，故反比例函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
② 点$A(-1,a)$在反比例函数上，代入得$a=-\frac{1}{-1}=1$，即$A(-1,1)$。
③ 一次函数$y=k_2x+m$过$A(-1,1)$、$B(\frac{1}{3},-3)$，代入得方程组：
$\begin{cases}-k_2 + m =1 \\ \frac{1}{3}k_2 + m = -3\end{cases}$
两式相减消去m：$-k_2 - \frac{1}{3}k_2 = 4$，解得$k_2=-3$，代入$-(-3)+m=1$得$m=-2$，故一次函数解析式为$y=-3x-2$。
(2) 求y轴上的点C：
设$C(0,c)$，计算$OA=\sqrt{(-1)^2 +1^2}=\sqrt{2}$，分三种情况：
① 当$OA=OC$时，$OC=|c|=\sqrt{2}$，得$c=\sqrt{2}$或$c=-\sqrt{2}$，即$C(0,\sqrt{2})$或$(0,-\sqrt{2})$；
② 当$AO=AC$时，$AC=\sqrt{(-1)^2 + (1-c)^2}=\sqrt{2}$，平方得$1+(1-c)^2=2$，解得$c=0$（与O重合，舍去）或$c=2$，即$C(0,2)$；
③ 当$CO=CA$时，$|c|=\sqrt{(-1)^2 + (1-c)^2}$，平方得$c^2=1+(1-c)^2$，化简得$c=1$，即$C(0,1)$。
综上，点C的坐标为$(0,-\sqrt{2})$、$(0,\sqrt{2})$、$(0,2)$、$(0,1)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$，一次函数解析式为$y=-3x-2$；
(2) 点C的坐标为$(0,-\sqrt{2})$、$(0,\sqrt{2})$、$(0,2)$、$(0,1)$。
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数解析式、等腰三角形分类讨论
【点评】
本题结合反比例函数与一次函数的交点问题，考查函数解析式的求解，同时通过等腰三角形的存在性问题渗透分类讨论思想，需全面考虑三种等腰情况，避免漏解，是函数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问利用反比例函数过点B求其解析式，再结合A点在反比例函数上确定A点坐标，最后用A、B两点求一次函数解析式；第(2)问需在y轴上找使△AOC为等腰三角形的点C，需分三种情况（OA=OC、AO=AC、CO=CA）讨论，结合坐标计算求解，注意排除重合的特殊情况。
【解析】
(1) 求函数解析式：
① 反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$过点$B(\frac{1}{3},-3)$，代入得：
$k_1=\frac{1}{3}×(-3)=-1$，故反比例函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
② 点$A(-1,a)$在反比例函数上，代入得$a=-\frac{1}{-1}=1$，即$A(-1,1)$。
③ 一次函数$y=k_2x+m$过$A(-1,1)$、$B(\frac{1}{3},-3)$，代入得方程组：
$\begin{cases}-k_2 + m =1 \\ \frac{1}{3}k_2 + m = -3\end{cases}$
两式相减消去m：$-k_2 - \frac{1}{3}k_2 = 4$，解得$k_2=-3$，代入$-(-3)+m=1$得$m=-2$，故一次函数解析式为$y=-3x-2$。
(2) 求y轴上的点C：
设$C(0,c)$，计算$OA=\sqrt{(-1)^2 +1^2}=\sqrt{2}$，分三种情况：
① 当$OA=OC$时，$OC=|c|=\sqrt{2}$，得$c=\sqrt{2}$或$c=-\sqrt{2}$，即$C(0,\sqrt{2})$或$(0,-\sqrt{2})$；
② 当$AO=AC$时，$AC=\sqrt{(-1)^2 + (1-c)^2}=\sqrt{2}$，平方得$1+(1-c)^2=2$，解得$c=0$（与O重合，舍去）或$c=2$，即$C(0,2)$；
③ 当$CO=CA$时，$|c|=\sqrt{(-1)^2 + (1-c)^2}$，平方得$c^2=1+(1-c)^2$，化简得$c=1$，即$C(0,1)$。
综上，点C的坐标为$(0,-\sqrt{2})$、$(0,\sqrt{2})$、$(0,2)$、$(0,1)$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$，一次函数解析式为$y=-3x-2$；
(2) 点C的坐标为$(0,-\sqrt{2})$、$(0,\sqrt{2})$、$(0,2)$、$(0,1)$。
【知识点】
反比例函数解析式、一次函数解析式、等腰三角形分类讨论
【点评】
本题结合反比例函数与一次函数的交点问题，考查函数解析式的求解，同时通过等腰三角形的存在性问题渗透分类讨论思想，需全面考虑三种等腰情况，避免漏解，是函数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.5
