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6.如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$E$为线段$BC$的中点，连接$OE$。若$∠ BAC=90°$，$AE=3$，$AC=4$，则$OE$的长为 （）
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.5
D.$\frac{5}{2}$
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.5
D.$\frac{5}{2}$
（第6题图）（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
答案
A
解析
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得BC=2AE=6。
2. 由勾股定理计算AB的长度：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$。
3. 因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，所以O是AC的中点。
4. 又E是BC的中点，因此OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
2. 由勾股定理计算AB的长度：$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$。
3. 因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，所以O是AC的中点。
4. 又E是BC的中点，因此OE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$D$为斜边$AC$的中点,$E$为$BD$上一点,$F$为$CE$的中点.若$AE=AD$,$DF=2$,则$BD$的长为（）
A.$2\sqrt{2}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
A.$2\sqrt{2}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
答案
D
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$D$为斜边$AC$的中点，由直角三角形斜边中线的性质可得：$BD=AD=CD$。
因为$D$是$AC$中点，$F$是$CE$中点，所以$DF$是$△ AEC$的中位线，根据三角形中位线定理：$DF=\frac{1}{2}AE$。
已知$DF=2$，代入得$AE=2DF=4$。
又因为$AE=AD$，所以$AD=4$，结合$BD=AD$，可得$BD=4$。
因为$D$是$AC$中点，$F$是$CE$中点，所以$DF$是$△ AEC$的中位线，根据三角形中位线定理：$DF=\frac{1}{2}AE$。
已知$DF=2$，代入得$AE=2DF=4$。
又因为$AE=AD$，所以$AD=4$，结合$BD=AD$，可得$BD=4$。
8.如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，$∠ ADC$的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点.若$AD=4$，$CD=6$，则EO的长为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=6，且对角线互相平分，即O是BD的中点。
∵ DP平分∠ADC，∴ ∠ADP=∠CDP。
由AB//CD得∠CDP=∠APD，因此∠ADP=∠APD，可得AP=AD=4。
∴ PB=AB-AP=6-4=2。
∵ E是PD的中点，O是BD的中点，∴ EO是△BDP的中位线，
根据三角形中位线定理，EO=1/2 PB=1。
∴ AB//CD，AB=CD=6，且对角线互相平分，即O是BD的中点。
∵ DP平分∠ADC，∴ ∠ADP=∠CDP。
由AB//CD得∠CDP=∠APD，因此∠ADP=∠APD，可得AP=AD=4。
∴ PB=AB-AP=6-4=2。
∵ E是PD的中点，O是BD的中点，∴ EO是△BDP的中位线，
根据三角形中位线定理，EO=1/2 PB=1。
9. 如图，在$△ ABC$中，$M$是$BC$的中点，$AD$平分$∠ BAC$，$BD ⊥ AD$于点$D$.若$AB=4$，$AC=6$，则$MD$的长为（）
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
D
解析
延长BD交AC于点E，
1. 由AD平分∠BAC得∠BAD=∠EAD，又BD⊥AD，故∠ADB=∠ADE=90°，结合AD为公共边，可证△ABD≌△AED（ASA），得AB=AE=4，BD=DE。
2. 计算得EC=AC-AE=6-4=2。
3. 因M是BC中点，D是BE中点，故MD是△BCE的中位线，由三角形中位线性质得MD=1/2 EC=1。
1. 由AD平分∠BAC得∠BAD=∠EAD，又BD⊥AD，故∠ADB=∠ADE=90°，结合AD为公共边，可证△ABD≌△AED（ASA），得AB=AE=4，BD=DE。
2. 计算得EC=AC-AE=6-4=2。
3. 因M是BC中点，D是BE中点，故MD是△BCE的中位线，由三角形中位线性质得MD=1/2 EC=1。
10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,点$D,E$分别在边$AB$和$BC$上,且$AD=4$,$CE=3$,连接$DE$.$M,N$分别是$AC,DE$的中点,连接$MN$,则$MN$的长为 （）
A.$\dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$2$
D.$\dfrac{13}{5}$
（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）
A.$\dfrac{5}{2}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$2$
D.$\dfrac{13}{5}$
（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）
答案
A
解析
连接AE，取AE的中点P，连接PM、PN。
1. 由三角形中位线定理：
因为M是AC中点，P是AE中点，所以$PM// CE$，$PM=\frac{1}{2}CE=\frac{3}{2}$；
因为N是DE中点，P是AE中点，所以$PN// AD$，$PN=\frac{1}{2}AD=2$。
2. 由$∠ B=90°$得$AB⊥ BC$，结合$PM// BC$，$PN// AB$，可得$PM⊥ PN$，即$△ MPN$为直角三角形。
3. 由勾股定理计算：$MN=\sqrt{PM^2+PN^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\frac{5}{2}$。
1. 由三角形中位线定理：
因为M是AC中点，P是AE中点，所以$PM// CE$，$PM=\frac{1}{2}CE=\frac{3}{2}$；
因为N是DE中点，P是AE中点，所以$PN// AD$，$PN=\frac{1}{2}AD=2$。
2. 由$∠ B=90°$得$AB⊥ BC$，结合$PM// BC$，$PN// AB$，可得$PM⊥ PN$，即$△ MPN$为直角三角形。
3. 由勾股定理计算：$MN=\sqrt{PM^2+PN^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\frac{5}{2}$。
11.如图，在$△ ABC$中，$E$是$BC$的中点，$AD$平分$∠ BAC$，且$AD⊥ CD$于点$D$。若$AB=6$，$AC=3$，则$DE$的长为。
答案
$\frac{3}{2}$（或1.5）
解析
解：
延长CD交AB于点F。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠FAD = ∠CAD。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠ADF = ∠ADC = 90°。
在△ADF和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠FAD = ∠CAD \\AD = AD \\∠ADF = ∠ADC\end{array} $
∴ △ADF ≌ △ADC（ASA），
∴ AF = AC = 3，FD = DC。
∵ AB = 6，
∴ BF = AB - AF = 6 - 3 = 3。
又∵ E是BC的中点，D是FC的中点，
∴ DE是△BCF的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$BF = $\frac{1}{2}×3$ = 1.5。
延长CD交AB于点F。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠FAD = ∠CAD。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠ADF = ∠ADC = 90°。
在△ADF和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠FAD = ∠CAD \\AD = AD \\∠ADF = ∠ADC\end{array} $
∴ △ADF ≌ △ADC（ASA），
∴ AF = AC = 3，FD = DC。
∵ AB = 6，
∴ BF = AB - AF = 6 - 3 = 3。
又∵ E是BC的中点，D是FC的中点，
∴ DE是△BCF的中位线，
∴ DE = $\frac{1}{2}$BF = $\frac{1}{2}×3$ = 1.5。
12. 如图，在$□ ABCD$中，$AD=4\sqrt{7}$，E，F分别为边BC，CD的中点，连接EF，AE，BD. 当AE平分$∠ BEF$时，BD的长为.
答案
$\boldsymbol{6\sqrt{7}}$
解析
解：
延长FE，交AD的延长线于点H。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=4√7，
∴ ∠H=∠FEC，∠HDF=∠C。
∵ E，F分别为BC，CD的中点，
∴ BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2√7，DF=FC。
在△HDF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠H=∠FEC \\∠HDF=∠C \\DF=FC\end{array} $
∴ △HDF ≌ △ECF（AAS），
∴ HD=EC=2√7，
∴ AH=AD + HD=4√7 + 2√7=6√7。
∵ E，F分别为BC，CD的中点，
∴ EF是△BCD的中位线，
∴ EF//BD，即EH//BD。
又∵ AD//BC，即DH//BE，
∴ 四边形BDHE是平行四边形，
∴ BD=EH。
∵ AE平分∠BEF，
∴ ∠BEA=∠AEF。
∵ AD//BC，
∴ ∠BEA=∠EAH，
∴ ∠AEF=∠EAH，即∠AEH=∠EAH，
∴ EH=AH=6√7，
∴ BD=6√7。
延长FE，交AD的延长线于点H。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC=4√7，
∴ ∠H=∠FEC，∠HDF=∠C。
∵ E，F分别为BC，CD的中点，
∴ BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2√7，DF=FC。
在△HDF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠H=∠FEC \\∠HDF=∠C \\DF=FC\end{array} $
∴ △HDF ≌ △ECF（AAS），
∴ HD=EC=2√7，
∴ AH=AD + HD=4√7 + 2√7=6√7。
∵ E，F分别为BC，CD的中点，
∴ EF是△BCD的中位线，
∴ EF//BD，即EH//BD。
又∵ AD//BC，即DH//BE，
∴ 四边形BDHE是平行四边形，
∴ BD=EH。
∵ AE平分∠BEF，
∴ ∠BEA=∠AEF。
∵ AD//BC，
∴ ∠BEA=∠EAH，
∴ ∠AEF=∠EAH，即∠AEH=∠EAH，
∴ EH=AH=6√7，
∴ BD=6√7。
