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8.某校组织10名老师和38名学生去某地参观学习.学校准备租用汽车,学校可选择的车辆分别可以乘坐4人或6人(除司机外),为了安全每辆车上至少有1名老师,且没有空座,那么可以选择的方案有（）
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
B
解析
首先计算总人数：10+38=48人。
设租用6人座汽车x辆，4人座汽车y辆，根据总人数无空座可得方程：6x+4y=48，化简为3x+2y=24。
由每辆车至少1名老师，共10名老师，可知车辆总数满足x+y≤10。
将$y=\frac{24-3x}{2}$代入x+y≤10，解得x≥4。
枚举3x+2y=24满足x≥4的非负整数解：
1. x=4，y=6，x+y=10，符合条件；
2. x=6，y=3，x+y=9，符合条件；
3. x=8，y=0，x+y=8，符合条件。
综上共有3种符合要求的方案。
设租用6人座汽车x辆，4人座汽车y辆，根据总人数无空座可得方程：6x+4y=48，化简为3x+2y=24。
由每辆车至少1名老师，共10名老师，可知车辆总数满足x+y≤10。
将$y=\frac{24-3x}{2}$代入x+y≤10，解得x≥4。
枚举3x+2y=24满足x≥4的非负整数解：
1. x=4，y=6，x+y=10，符合条件；
2. x=6，y=3，x+y=9，符合条件；
3. x=8，y=0，x+y=8，符合条件。
综上共有3种符合要求的方案。
9.已知$a - b + c ＞ 0$，$2a + b = 0$，下列结论：①若$a ＞ 0$，则$c ＜ 0$；②若$a ＜ 0$，则$c ＞ 0$；③若$c ＞ 0$，则$a ＜ 0$；④若$c ＜ 0$，则$a ＞ 0$。其中一定正确的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
由$2a + b = 0$可得$b=-2a$，将其代入$a - b + c ＞ 0$，化简得$3a + c ＞ 0$，即$c ＞ -3a$。
逐个判断结论：
1. ①若$a＞0$，则$-3a＜0$，$c$只需大于负数即可，$c$可以为正，故$c＜0$不成立，①错误；
2. ②若$a＜0$，则$-3a＞0$，$c$大于正数，因此$c＞0$，②正确；
3. ③若$c＞0$，取$a=1$，$c=1$，满足$3a+c=4＞0$，此时$a＞0$，故$a＜0$不成立，③错误；
4. ④若$c＜0$，则$-c＞0$，由$3a + c ＞ 0$得$3a ＞ -c ＞ 0$，因此$a＞0$，④正确。
综上正确的结论共2个。
逐个判断结论：
1. ①若$a＞0$，则$-3a＜0$，$c$只需大于负数即可，$c$可以为正，故$c＜0$不成立，①错误；
2. ②若$a＜0$，则$-3a＞0$，$c$大于正数，因此$c＞0$，②正确；
3. ③若$c＞0$，取$a=1$，$c=1$，满足$3a+c=4＞0$，此时$a＞0$，故$a＜0$不成立，③错误；
4. ④若$c＜0$，则$-c＞0$，由$3a + c ＞ 0$得$3a ＞ -c ＞ 0$，因此$a＞0$，④正确。
综上正确的结论共2个。
10.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）
A.6折
B.7折
C.8折
D.9折
A.6折
B.7折
C.8折
D.9折
答案
B
解析
设商品可打x折，根据利润率不低于5%列不等式：
$1200×\frac{x}{10} - 800 ≥ 800×5\%$
化简得：$120x ≥ 840$
解得：$x≥7$，即至多可打7折。
$1200×\frac{x}{10} - 800 ≥ 800×5\%$
化简得：$120x ≥ 840$
解得：$x≥7$，即至多可打7折。
二、填空题
11.若$(3 - m)x^{|m| - 2} ＜ 0$是关于$x$的一元一次不等式，则$m$的值为。
11.若$(3 - m)x^{|m| - 2} ＜ 0$是关于$x$的一元一次不等式，则$m$的值为。
答案
解：
根据一元一次不等式的定义，可得：
$\begin{cases}|m| - 2 = 1 \\3 - m ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$。
由$3 - m ≠ 0$，得$m ≠ 3$。
综上，$m=-3$。
根据一元一次不等式的定义，可得：
$\begin{cases}|m| - 2 = 1 \\3 - m ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$。
由$3 - m ≠ 0$，得$m ≠ 3$。
综上，$m=-3$。
12. 不等式组$\begin{cases}-3x＞9, \\ \frac{x}{2}+3＜6\end{cases}$的解集为 ______ 。
答案
解：
解不等式$-3x＞9$，得$x＜-3$，
解不等式$\frac{x}{2}+3＜6$，得$\frac{x}{2}＜3$，即$x＜6$，
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$x＜-3$。
解不等式$-3x＞9$，得$x＜-3$，
解不等式$\frac{x}{2}+3＜6$，得$\frac{x}{2}＜3$，即$x＜6$，
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$x＜-3$。
13.若不等式组$\begin{cases}2x - 3 ＜ 1, \\ x ≥ a\end{cases}$恰有两个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
$\boldsymbol{-1 ＜ a \le 0}$
解析
解：
解不等式$2x - 3 ＜ 1$，
移项得$2x ＜ 4$，
解得$x ＜ 2$。
结合$x \ge a$，可得该不等式组的解集为$a \le x ＜ 2$。
因为不等式组恰有两个整数解，
所以这两个整数解为$1$和$0$，
因此$a$的取值范围是$-1 ＜ a \le 0$。
解不等式$2x - 3 ＜ 1$，
移项得$2x ＜ 4$，
解得$x ＜ 2$。
结合$x \ge a$，可得该不等式组的解集为$a \le x ＜ 2$。
因为不等式组恰有两个整数解，
所以这两个整数解为$1$和$0$，
因此$a$的取值范围是$-1 ＜ a \le 0$。
14.若不等式组$\begin{cases}x＞a, \\ x＜b\end{cases}$无解，则$a,b$的关系是 ______ 。
答案
$\boldsymbol{a≥ b}$
解析
解：
不等式组$\begin{cases}x＞a \\ x＜b\end{cases}$无解，说明两个不等式的解集没有公共部分，可得$a≥ b$。
不等式组$\begin{cases}x＞a \\ x＜b\end{cases}$无解，说明两个不等式的解集没有公共部分，可得$a≥ b$。
15.已知不等式组$\begin{cases}x+a＞1, \\ 2x+b＜2\end{cases}$的解集为$-2＜x＜3$，则$(a+b)^{2026}$的值为 ______ 。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：
解不等式$x+a＞1$，得$x＞1-a$，
解不等式$2x+b＜2$，得$x＜\frac{2-b}{2}$。
∵不等式组的解集为$-2＜x＜3$，
∴$\begin{cases}1-a=-2 \\ \dfrac{2-b}{2}=3\end{cases}$，
解得$a=3$，$b=-4$，
∴$a+b=3+(-4)=-1$，
∴$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
解不等式$x+a＞1$，得$x＞1-a$，
解不等式$2x+b＜2$，得$x＜\frac{2-b}{2}$。
∵不等式组的解集为$-2＜x＜3$，
∴$\begin{cases}1-a=-2 \\ \dfrac{2-b}{2}=3\end{cases}$，
解得$a=3$，$b=-4$，
∴$a+b=3+(-4)=-1$，
∴$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
16.定义一种新运算：$a\otimes b = a - ab$，例如：$2\otimes 3 = 2 - 2×3 = -4$。根据上述定义，不等式组$\begin{cases}2\otimes x ≥ -1, \\x\otimes 2 ≤ 1\end{cases}$的整数解为 ______ 。
答案
$\boldsymbol{-1,0,1}$
解析
解：
根据新运算定义化简不等式组：
解第一个不等式$2\otimes x \ge -1$：
$2 - 2x \ge -1$
移项得：$-2x \ge -1 - 2$
合并同类项得：$-2x \ge -3$
系数化为1得：$x \le \frac{3}{2}$
解第二个不等式$x\otimes 2 \le 1$：
$x - 2x \le 1$
合并同类项得：$-x \le 1$
系数化为1得：$x \ge -1$
因此不等式组的解集为$-1 \le x \le 1.5$，该范围内的整数解为$-1, 0, 1$。
根据新运算定义化简不等式组：
解第一个不等式$2\otimes x \ge -1$：
$2 - 2x \ge -1$
移项得：$-2x \ge -1 - 2$
合并同类项得：$-2x \ge -3$
系数化为1得：$x \le \frac{3}{2}$
解第二个不等式$x\otimes 2 \le 1$：
$x - 2x \le 1$
合并同类项得：$-x \le 1$
系数化为1得：$x \ge -1$
因此不等式组的解集为$-1 \le x \le 1.5$，该范围内的整数解为$-1, 0, 1$。
17.某山区学校为部分离家远的学生安排住宿.如果每间宿舍住5人,那么有12人安排不下;如果每间宿舍住8人,那么最后一间宿舍既不空也不满,则共有名学生需要住宿.
答案
解：设共有x间宿舍，则需要住宿的学生有$(5x+12)$名。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}5x + 12 - 8(x - 1) ＞ 0 \\5x + 12 - 8(x - 1) ＜ 8\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-3x + 20 ＞ 0 \\-3x + 20 ＜ 8\end{cases}$
解得：$4 ＜ x ＜ \frac{20}{3}$
因为x是正整数，所以x的取值为5或6。
当$x=5$时，学生人数为$5×5+12=37$；
当$x=6$时，学生人数为$5×6+12=42$。
答：共有37或42名学生需要住宿。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}5x + 12 - 8(x - 1) ＞ 0 \\5x + 12 - 8(x - 1) ＜ 8\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-3x + 20 ＞ 0 \\-3x + 20 ＜ 8\end{cases}$
解得：$4 ＜ x ＜ \frac{20}{3}$
因为x是正整数，所以x的取值为5或6。
当$x=5$时，学生人数为$5×5+12=37$；
当$x=6$时，学生人数为$5×6+12=42$。
答：共有37或42名学生需要住宿。
18.按照如下程序操作,规定:从“输入一个值x”到“结果是否大于40”为一次程序操作.如果结果得到的数小于或等于40,则用得到的这个数进行下一次操作.如果程序操作进行一次就停止了,那么输入的x的取值范围是.
答案
$\boldsymbol{x＞13}$
解析
解：
根据题意，程序操作进行一次就停止，说明第一次运算的结果大于40，列不等式：
$3x + 1 ＞ 40$
移项得：
$3x ＞ 39$
系数化为1得：
$x ＞ 13$
根据题意，程序操作进行一次就停止，说明第一次运算的结果大于40，列不等式：
$3x + 1 ＞ 40$
移项得：
$3x ＞ 39$
系数化为1得：
$x ＞ 13$
