1 教材P129练习第1题变式 下列多项式,能用平方差公式进行因式分解的是 （）

A.$a^{2}+b^{2}$
B.$-a^{2}-b^{2}$
C.$-a^{2}+b^{2}$
D.$a^{2}-2a$

1. C

【分析】
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，需明确平方差公式因式分解的条件：多项式为二项式，两项均为平方项，且两项符号相反（即形如$x^2 - y^2$）。据此逐一分析选项即可。
【解析】
平方差公式因式分解的结构特征：二项式、两项为平方项、符号相反。
选项A：$a^2 + b^2$，两项均为平方项，但符号相同，不符合平方差公式，不能分解；
选项B：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，两项符号相同，不符合平方差公式，不能分解；
选项C：$-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，是二项式，$b^2$和$a^2$均为平方项，且符号相反，符合平方差公式，可分解；
选项D：$a^2 - 2a$，第二项$2a$不是平方项，不符合平方差公式，不能分解。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解-平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的条件，属于基础题型，核心是掌握平方差公式的结构特征，难度较低。
【难度系数】
0.6

2 下列各式，利用平方差公式分解因式正确的是（）

A.$1+25a^{2}=(1+5a)(1-5a)$
B.$m^{2}-16m=m(m+4)(m-4)$
C.$x^{2}-9b^{2}=(x+9b)(x-9b)$
D.$9-4x^{2}=(3+2x)(3-2x)$

2. D

【分析】
要判断利用平方差公式分解因式是否正确，需先明确平方差公式分解因式的条件：多项式需为两个数（或整式）的平方差，即形式为$a^2 - b^2$，分解结果为$(a+b)(a-b)$，同时要检查分解是否符合结构、系数、符号要求。接下来逐一分析每个选项是否满足上述条件。
【解析】
选项A：$1+25a^2$是两个平方项的和，并非平方差结构，不能用平方差公式分解，故A错误；
选项B：$m^2 -16m$应先提取公因式$m$得$m(m-16)$，不是平方差形式，分解错误，故B错误；
选项C：$x^2 -9b^2 = x^2 - (3b)^2$，正确分解应为$(x+3b)(x-3b)$，选项错误将$9b^2$视为$(9b)^2$，故C错误；
选项D：$9-4x^2 = 3^2 - (2x)^2$，符合平方差公式，分解为$(3+2x)(3-2x)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式、因式分解
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，核心是准确识别平方差的结构特征，避免结构、系数或符号错误，属于基础题型，需熟练掌握公式的应用规则。
【难度系数】
0.7

3 根据平方差公式填空：
(1) $x^{2}-\_\_\_\_\_\_=(x+11)(x-\_\_\_\_\_\_)$；
(2) $-1+\_\_\_\_\_\_=(1+13m)(\_\_\_\_\_\_-1).$

3. (1) 121 11 (2) $169m^{2}$ $13m$

【分析】首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，解题时需将等式两边转化为平方差公式的标准形式，对应找到$a$和$b$的值，进而确定空缺项。对于(1)，右边是$(x+11)(x - \_\_\_\_\_\_)$，对比公式，$a=x$，$b=11$，左边应为$x^2 - b^2$；对于(2)，右边是$(1+13m)(\_\_\_\_\_\_ -1)$，需转化为平方差的标准形式，找到对应的$a$和$b$。
【解析】
(1) 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，等式右边为$(x+11)(x - b)$，则$a=x$，$b=11$，左边应为$x^2 - b^2=x^2 -11^2=x^2 -121$，因此第一个空填$121$，第二个空填$11$；
(2) 等式右边$(1+13m)(c -1)$符合平方差公式，即$(13m +1)(13m -1)=(13m)^2 -1^2=169m^2 -1$，左边为$-1 + d$，即$d -1=169m^2 -1$，所以$d=169m^2$，$c=13m$，因此两个空分别填$169m^2$和$13m$。
【答案】(1)121，11；(2)$169m^2$，13m
【知识点】平方差公式的应用
【点评】本题考查平方差公式的基础应用，需熟练掌握公式的结构特征，将等式两边对应公式形式即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】0.3

4 分解因式:(1) [2025 扬州]$a^{2}-4=$;
(2) [2025 常州]$x^{2}-9y^{2}=$.

4. (1) $(a+2)(a-2)$ (2) $(x-3y)(x+3y)$

【分析】
这两道因式分解题均为平方差公式的应用题型，解题思路是先观察式子是否符合平方差公式的结构：即两个整式的平方相减，形式为$A^2 - B^2$；若符合，则直接运用平方差公式$A^2 - B^2=(A+B)(A-B)$进行分解，其中$A$和$B$可以是单项式或多项式。
【解析】
(1) 式子$a^2 - 4$可变形为$a^2 - 2^2$，符合平方差公式结构，其中$A=a$，$B=2$，根据公式分解得：$a^2 - 4=(a+2)(a-2)$；
(2) 式子$x^2 - 9y^2$可变形为$x^2 - (3y)^2$，符合平方差公式结构，其中$A=x$，$B=3y$，根据公式分解得：$x^2 - 9y^2=(x+3y)(x-3y)$。
【答案】
(1)$(a+2)(a-2)$；(2)$(x-3y)(x+3y)$
【知识点】
因式分解-平方差公式
【点评】
本题考查基础因式分解，直接运用平方差公式即可解答，是因式分解的基础题型，重点考查学生对平方差公式结构的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.8

5 已知$|x-4y+2|+\sqrt{2x+8y-10}=0$,则$x^{2}-16y^{2}$的值为.

5. $-10$
【解析】根据题意,得$\begin{cases} x-4y+2=0, \\ 2x+8y-10=0, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} x-4y=-2, \\ x+4y=5. \end{cases}$
$\therefore x^2-16y^2=(x+4y)(x-4y)=5×(-2)=-10.$

【分析】首先，绝对值和算术平方根都具有非负性，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组；其次，所求代数式$x^2 - 16y^2$可利用平方差公式因式分解，结合方程组的变形结果，无需单独求解x、y的值即可直接计算，简化运算过程。
【解析】因为$|x-4y+2|≥0$，$\sqrt{2x+8y-10}≥0$，且$|x-4y+2|+\sqrt{2x+8y-10}=0$，所以：
$\begin{cases} x - 4y + 2 = 0 \\ 2x + 8y - 10 = 0 \end{cases}$
将方程组变形为：$\begin{cases} x - 4y = -2 \\ x + 4y = 5 \end{cases}$
根据平方差公式，$x^2 - 16y^2 = x^2 - (4y)^2 = (x + 4y)(x - 4y)$，代入变形后的结果得：
$(x + 4y)(x - 4y) = 5×(-2) = -10$
【答案】-10
【知识点】非负数的性质，二元一次方程组，平方差公式
【点评】本题结合非负数的性质与因式分解的应用，重点考查学生对基础知识点的掌握和运算能力，通过因式分解简化计算，是常见的基础题型。
【难度系数】0.4

6 教材 P129 练习第 2 题变式 把下列各式分解因式：
(1) $\dfrac{1}{4}x^{2}y^{2}-1$；
(2) $81-\dfrac{1}{16}m^{2}$；
(3) $-25+a^{4}b^{4}$；
(4) $49x^{4}-25y^{2}$.

6. (1) $(\dfrac{1}{2}xy+1)(\dfrac{1}{2}xy-1)$ (2) $(9+\dfrac{1}{4}m)(9-\dfrac{1}{4}m)$
(3) $(a^2b^2+5)(a^2b^2-5)$ (4) $(7x^2+5y)(7x^2-5y)$

【分析】
本题是利用平方差公式分解因式的题目，解题思路为：先将每个多项式整理成“两个整式的平方差”的形式，再套用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行分解，确保分解结果彻底。
【解析】
(1) 原式$\dfrac{1}{4}x^2y^2 -1 = (\dfrac{1}{2}xy)^2 - 1^2$，根据平方差公式得：$(\dfrac{1}{2}xy +1)(\dfrac{1}{2}xy -1)$；
(2) 原式$81 - \dfrac{1}{16}m^2 = 9^2 - (\dfrac{1}{4}m)^2$，根据平方差公式得：$(9 + \dfrac{1}{4}m)(9 - \dfrac{1}{4}m)$；
(3) 原式$-25 + a^4b^4 = a^4b^4 -25 = (a^2b^2)^2 -5^2$，根据平方差公式得：$(a^2b^2 +5)(a^2b^2 -5)$；
(4) 原式$49x^4 -25y^2 = (7x^2)^2 - (5y)^2$，根据平方差公式得：$(7x^2 +5y)(7x^2 -5y)$；
【答案】
(1)$(\dfrac{1}{2}xy+1)(\dfrac{1}{2}xy-1)$；(2)$(9+\dfrac{1}{4}m)(9-\dfrac{1}{4}m)$；(3)$(a^2b^2+5)(a^2b^2-5)$；(4)$(7x^2+5y)(7x^2-5y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解
【点评】
本题为平方差公式分解因式的基础变式题，重点考查对平方差公式的理解与应用，需准确识别多项式的平方差结构，注意符号调整和变形，分解结果需彻底，适合巩固因式分解的基础方法。
【难度系数】
0.7

7 若$a+b=3$，则$a^{2}+6b-b^{2}$的值为（）

A.3
B.6
C.9
D.12

7. C

【分析】
拿到题目，已知$a+b=3$，求代数式$a^2+6b-b^2$的值。首先观察所求式子，可将其拆分为含平方差的形式，利用平方差公式分解$a^2-b^2$，这样就能结合已知的$a+b$的值进行整体代入，简化计算，最终求出结果。
【解析】
解：对所求代数式变形：
$a^2 +6b -b^2 = (a^2 - b^2) +6b$
根据平方差公式$a^2 -b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
$=(a - b)(a + b) +6b$
已知$a + b=3$，代入上式：
$=3(a - b) +6b =3a -3b +6b =3a +3b =3(a + b)$
再将$a + b=3$代入：
$=3×3=9$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、代数式求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整体代入思想，解题关键是对所求代数式进行合理变形，将已知条件整体代入简化计算，属于初中代数基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.7

8 教材 P132 习题 17.2 第7题变式 对任意整数 $n$，$(2n+3)^2-1$
（）

A.能被 2 整除，不能被 4 整除
B.能被 3 整除
C.能被 4 整除
D.能被 5 整除

8. C

【分析】
要判断$(2n+3)^2 -1$的整除性，首先利用平方差公式对式子因式分解，转化为乘积形式后结合整数性质分析结果特征，再匹配选项。
【解析】
对式子进行因式分解：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 -1&=(2n+3 -1)(2n+3 +1)\\&=(2n+2)(2n+4)\\&=2(n+1) · 2(n+2)\\&=4(n+1)(n+2)\end{aligned}$
因为$n$为整数，所以$(n+1)(n+2)$是整数，因此$4(n+1)(n+2)$是4的倍数，即该式能被4整除，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解（平方差公式）、整除的性质
【点评】
本题通过平方差公式因式分解简化多项式，考查因式分解的应用和整数整除的判断，属于基础题型，需熟练掌握平方差公式的运用。
【难度系数】
0.6

9 如果在一个边长为 12.75 cm 的正方形内挖去一个边长为 7.25 cm 的小正方形,那么剩余部分的面积为$\mathrm{cm}^2$.

9. 110

【分析】
要计算剩余部分的面积，需用大正方形的面积减去小正方形的面积，即利用正方形面积公式得到面积差，再通过平方差公式简化计算，避免直接计算平方的繁琐，快速得出结果。
【解析】
解：剩余部分的面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积
根据正方形面积公式（面积=边长²），可得：
$S = 12.75^2 - 7.25^2$
利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$（其中$a=12.75$，$b=7.25$），代入得：
$S = (12.75 - 7.25)×(12.75 + 7.25)$
计算括号内的值：
$12.75 - 7.25 = 5.5$，$12.75 + 7.25 = 20$
则 $S = 5.5 × 20 = 110$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
110
【知识点】
平方差公式、正方形面积计算
【点评】
本题结合几何面积计算考查代数公式的应用，通过平方差公式简化运算，体现了数学运算的简洁性，属于基础代数应用题型。
【难度系数】
0.7