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10 把下列各式分解因式：
(1) $9a^{2}-(2a-b)^{2}$；
(2) $(2a-b)^{2}-36a^{2}$；
(3) $(x+3y)^{2}-(x-3y)^{2}$；
(4) $25(m-n)^{2}-(m+n)^{2}.$
(1) $9a^{2}-(2a-b)^{2}$；
(2) $(2a-b)^{2}-36a^{2}$；
(3) $(x+3y)^{2}-(x-3y)^{2}$；
(4) $25(m-n)^{2}-(m+n)^{2}.$
答案
10. (1) $(5a-b)(a+b)$ (2) $-(8a-b)(4a+b)$ (3) $12xy$
(4) $4(3m-2n)(2m-3n)$
(4) $4(3m-2n)(2m-3n)$
解析
【分析】
本题考查运用平方差公式分解因式，解题思路是：先将每个式子转化为“两个数的平方差”的形式，再套用平方差公式 $A^2 - B^2=(A+B)(A-B)$ 分解，最后化简结果至最简形式。
【解析】
(1) 原式可变形为 $(3a)^2 - (2a - b)^2$，套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=[3a + (2a - b)][3a - (2a - b)]\\&=(5a - b)(a + b)\end{aligned}$
(2) 原式可变形为 $(2a - b)^2 - (6a)^2$，套用平方差公式后化简：
$\begin{aligned}原式&=[(2a - b) + 6a][(2a - b) - 6a]\\&=(8a - b)(-4a - b)\\&=-(8a - b)(4a + b)\end{aligned}$
(3) 原式直接套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=[(x + 3y) + (x - 3y)][(x + 3y) - (x - 3y)]\\&=(2x)(6y)\\&=12xy\end{aligned}$
(4) 原式可变形为 $[5(m - n)]^2 - (m + n)^2$，套用平方差公式后化简：
$\begin{aligned}原式&=[5(m - n) + (m + n)][5(m - n) - (m + n)]\\&=(6m - 4n)(4m - 6n)\\&=2(3m - 2n) · 2(2m - 3n)\\&=4(3m - 2n)(2m - 3n)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(5a - b)(a + b)$；(2) $-(8a - b)(4a + b)$；(3) $12xy$；(4) $4(3m - 2n)(2m - 3n)$
【知识点】
因式分解-平方差公式
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用，核心是准确识别平方差结构，分解后需化简为最简结果，注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
本题考查运用平方差公式分解因式，解题思路是：先将每个式子转化为“两个数的平方差”的形式，再套用平方差公式 $A^2 - B^2=(A+B)(A-B)$ 分解，最后化简结果至最简形式。
【解析】
(1) 原式可变形为 $(3a)^2 - (2a - b)^2$，套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=[3a + (2a - b)][3a - (2a - b)]\\&=(5a - b)(a + b)\end{aligned}$
(2) 原式可变形为 $(2a - b)^2 - (6a)^2$，套用平方差公式后化简：
$\begin{aligned}原式&=[(2a - b) + 6a][(2a - b) - 6a]\\&=(8a - b)(-4a - b)\\&=-(8a - b)(4a + b)\end{aligned}$
(3) 原式直接套用平方差公式：
$\begin{aligned}原式&=[(x + 3y) + (x - 3y)][(x + 3y) - (x - 3y)]\\&=(2x)(6y)\\&=12xy\end{aligned}$
(4) 原式可变形为 $[5(m - n)]^2 - (m + n)^2$，套用平方差公式后化简：
$\begin{aligned}原式&=[5(m - n) + (m + n)][5(m - n) - (m + n)]\\&=(6m - 4n)(4m - 6n)\\&=2(3m - 2n) · 2(2m - 3n)\\&=4(3m - 2n)(2m - 3n)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(5a - b)(a + b)$；(2) $-(8a - b)(4a + b)$；(3) $12xy$；(4) $4(3m - 2n)(2m - 3n)$
【知识点】
因式分解-平方差公式
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用，核心是准确识别平方差结构，分解后需化简为最简结果，注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.5
11 教材P132习题17.2第4题变式 利用因式分解计算：
(1) $\frac{1\ 000^{2}}{252^{2}-248^{2}}$;
(2) $(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{2\ 027^{2}}).$
(1) $\frac{1\ 000^{2}}{252^{2}-248^{2}}$;
(2) $(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×···×(1-\frac{1}{2\ 027^{2}}).$
答案
11. (1) 原式$=\dfrac{1\ 000×1\ 000}{(252+248)×(252-248)}=\dfrac{1\ 000×1\ 000}{500×4}=500$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2\ 027})×(1+\dfrac{1}{2\ 027})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2026}{2027}×\dfrac{2028}{2027}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2028}{2027}=\dfrac{1014}{2027}$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2\ 027})×(1+\dfrac{1}{2\ 027})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2026}{2027}×\dfrac{2028}{2027}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2028}{2027}=\dfrac{1014}{2027}$
解析
【分析】
第(1)题中，分母是两个数的平方差，可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对分母因式分解，再结合分子计算结果；第(2)题每个括号内的式子均符合$1-(\frac{1}{n})^2$的形式，同样用平方差公式分解为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，展开后相邻项可约分，简化运算过程。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{1000^2}{252^2 - 248^2}=\dfrac{1000×1000}{(252+248)×(252-248)}=\dfrac{1000×1000}{500×4}=500$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×···×(1-\dfrac{1}{2027^2})$
$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×···×(1-\dfrac{1}{2027})×(1+\dfrac{1}{2027})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×···×\dfrac{2026}{2027}×\dfrac{2028}{2027}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2028}{2027}=\dfrac{1014}{2027}$
【答案】
(1) $500$；(2) $\dfrac{1014}{2027}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，分式约分
【点评】
本题重点考查平方差公式在因式分解计算中的应用，通过公式将复杂的平方差运算转化为简单的乘法和约分，解题核心是正确运用平方差公式分解式子，属于基础运算题型，能有效锻炼学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
第(1)题中，分母是两个数的平方差，可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$对分母因式分解，再结合分子计算结果；第(2)题每个括号内的式子均符合$1-(\frac{1}{n})^2$的形式，同样用平方差公式分解为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，展开后相邻项可约分，简化运算过程。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{1000^2}{252^2 - 248^2}=\dfrac{1000×1000}{(252+248)×(252-248)}=\dfrac{1000×1000}{500×4}=500$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{2^2})×(1-\dfrac{1}{3^2})×(1-\dfrac{1}{4^2})×···×(1-\dfrac{1}{2027^2})$
$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×···×(1-\dfrac{1}{2027})×(1+\dfrac{1}{2027})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×···×\dfrac{2026}{2027}×\dfrac{2028}{2027}$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2028}{2027}=\dfrac{1014}{2027}$
【答案】
(1) $500$；(2) $\dfrac{1014}{2027}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，分式约分
【点评】
本题重点考查平方差公式在因式分解计算中的应用，通过公式将复杂的平方差运算转化为简单的乘法和约分，解题核心是正确运用平方差公式分解式子，属于基础运算题型，能有效锻炼学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
12 一题多解 嘉琪在分解四次二项式 $a^{4}-81$ 时，发现可用“添项法”，即 $a^{4}-81=(a^{4}-9a^{2})+(9a^{2}-$$81)=a^{2}(a^{2}-9)+9(a^{2}-9)=(a^{2}-9)(a^{2}+9)=(a+3)(a-3)(a^{2}+9).$ 小雯看完嘉琪的解法，说：“我有更简便的方法解这道题.”请利用嘉琪的解法和小雯想到的方法分解因式：$x^{4}-16.$
答案
12. 解法一:$x^4-16=(x^4-4x^2)+(4x^2-16)=x^2(x^2-4)+4(x^2-4)=(x^2-4)(x^2+4)=(x+2)(x-2)(x^2+4)$
解法二:$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$
解法二:$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$
解析
【分析】
要分解因式$x^4 -16$，有两种思路：一是借鉴嘉琪的添项法，将原式拆分为两组可提公因式的式子，逐步提取公因式后再用平方差公式；二是观察到原式是两个平方项的差（$x^4=(x^2)^2$，$16=4^2$），直接用平方差公式分解，更简便。
【解析】
解法一（添项法）：
$x^4 -16=(x^4 -4x^2)+(4x^2 -16)$
$=x^2(x^2 -4)+4(x^2 -4)$
$=(x^2 -4)(x^2 +4)$
$=(x+2)(x-2)(x^2 +4)$
解法二（平方差公式法）：
$x^4 -16=(x^2)^2 -4^2$
$=(x^2 +4)(x^2 -4)$
$=(x^2 +4)(x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)(x^2 +4)$
【知识点】
因式分解、平方差公式、添项法
【点评】
本题通过一题多解考查因式分解的核心方法，既可以用添项法逐步拆解，也可直接利用平方差公式简化运算，体现了因式分解中公式法的灵活性，帮助学生理解不同解题思路的应用场景。
【难度系数】
0.6
要分解因式$x^4 -16$，有两种思路：一是借鉴嘉琪的添项法，将原式拆分为两组可提公因式的式子，逐步提取公因式后再用平方差公式；二是观察到原式是两个平方项的差（$x^4=(x^2)^2$，$16=4^2$），直接用平方差公式分解，更简便。
【解析】
解法一（添项法）：
$x^4 -16=(x^4 -4x^2)+(4x^2 -16)$
$=x^2(x^2 -4)+4(x^2 -4)$
$=(x^2 -4)(x^2 +4)$
$=(x+2)(x-2)(x^2 +4)$
解法二（平方差公式法）：
$x^4 -16=(x^2)^2 -4^2$
$=(x^2 +4)(x^2 -4)$
$=(x^2 +4)(x+2)(x-2)$
【答案】
$(x+2)(x-2)(x^2 +4)$
【知识点】
因式分解、平方差公式、添项法
【点评】
本题通过一题多解考查因式分解的核心方法，既可以用添项法逐步拆解，也可直接利用平方差公式简化运算，体现了因式分解中公式法的灵活性，帮助学生理解不同解题思路的应用场景。
【难度系数】
0.6
13 如图,在一个大圆盘中,镶嵌着四个大小一样的小圆盘.已知大、小圆盘的直径都是整厘米数,涂色部分的面积为$7π \ \mathrm{cm}^{2}$,求大、小圆盘的半径.
答案
13. 设大圆盘的直径为 $d_1$ cm,小圆盘的直径为 $d_2$ cm. 根据题意,得 $π(\dfrac{d_1}{2})^2-4π(\dfrac{d_2}{2})^2=7π$,即 $d_1^2-4d_2^2=28$. 分解因式,得$(d_1+2d_2)(d_1-2d_2)=28.$ $\because d_1,d_2$ 均为整数,$\therefore d_1+2d_2$,$d_1-2d_2$ 均为整数. 又$\because d_1+2d_2$ 和 $d_1-2d_2$ 的奇偶性相同，
$\therefore \begin{cases} d_1+2d_2=14, \\ d_1-2d_2=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} d_1=8, \\ d_2=3. \end{cases}$ $\therefore \dfrac{d_1}{2}=4,\dfrac{d_2}{2}=1.5.$ $\therefore$ 大、小圆盘的半径分别为 4 cm 和 1.5 cm
$\therefore \begin{cases} d_1+2d_2=14, \\ d_1-2d_2=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} d_1=8, \\ d_2=3. \end{cases}$ $\therefore \dfrac{d_1}{2}=4,\dfrac{d_2}{2}=1.5.$ $\therefore$ 大、小圆盘的半径分别为 4 cm 和 1.5 cm
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确涂色部分的面积等于大圆面积减去4个小圆的面积，据此建立面积关系式；再将关系式化简，通过因式分解转化为整数乘积形式，结合直径为整数且两个因式奇偶性相同的特点，求出大小圆盘的直径，进而计算出半径。
【解析】
设大圆盘的直径为$d_1\ \mathrm{cm}$，小圆盘的直径为$d_2\ \mathrm{cm}$。
根据题意，涂色部分面积为$7π\ \mathrm{cm}^2$，可得：
$π (\frac{d_1}{2})^2 - 4π (\frac{d_2}{2})^2 = 7π$
两边同时除以$π$，化简得：
$\frac{d_1^2}{4} - d_2^2 = 7$
两边乘4整理得：
$d_1^2 - 4d_2^2 = 28$
利用平方差公式因式分解：
$(d_1 + 2d_2)(d_1 - 2d_2) = 28$
因为$d_1$、$d_2$均为正整数，所以$d_1 + 2d_2$和$d_1 - 2d_2$是正整数，且两者奇偶性相同（和为$2d_1$，是偶数）。将28分解为同奇偶的正整数乘积，仅$2×14$符合条件，因此：
$\begin{cases}d_1 + 2d_2 = 14 \\d_1 - 2d_2 = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases} d_1=8 \\ d_2=3 \end{cases}$，则大圆盘半径为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$，小圆盘半径为$\frac{3}{2}=1.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】大圆盘的半径为4 cm，小圆盘的半径为1.5 cm
【知识点】圆的面积公式、因式分解、整数的性质
【点评】本题结合几何面积计算与代数知识，需要将几何问题转化为代数方程求解，考查知识综合运用能力，有一定综合性。
【难度系数】0.5
要解决这个问题，首先明确涂色部分的面积等于大圆面积减去4个小圆的面积，据此建立面积关系式；再将关系式化简，通过因式分解转化为整数乘积形式，结合直径为整数且两个因式奇偶性相同的特点，求出大小圆盘的直径，进而计算出半径。
【解析】
设大圆盘的直径为$d_1\ \mathrm{cm}$，小圆盘的直径为$d_2\ \mathrm{cm}$。
根据题意，涂色部分面积为$7π\ \mathrm{cm}^2$，可得：
$π (\frac{d_1}{2})^2 - 4π (\frac{d_2}{2})^2 = 7π$
两边同时除以$π$，化简得：
$\frac{d_1^2}{4} - d_2^2 = 7$
两边乘4整理得：
$d_1^2 - 4d_2^2 = 28$
利用平方差公式因式分解：
$(d_1 + 2d_2)(d_1 - 2d_2) = 28$
因为$d_1$、$d_2$均为正整数，所以$d_1 + 2d_2$和$d_1 - 2d_2$是正整数，且两者奇偶性相同（和为$2d_1$，是偶数）。将28分解为同奇偶的正整数乘积，仅$2×14$符合条件，因此：
$\begin{cases}d_1 + 2d_2 = 14 \\d_1 - 2d_2 = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases} d_1=8 \\ d_2=3 \end{cases}$，则大圆盘半径为$\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$，小圆盘半径为$\frac{3}{2}=1.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】大圆盘的半径为4 cm，小圆盘的半径为1.5 cm
【知识点】圆的面积公式、因式分解、整数的性质
【点评】本题结合几何面积计算与代数知识，需要将几何问题转化为代数方程求解，考查知识综合运用能力，有一定综合性。
【难度系数】0.5
