15. (★★★)已知$n,a,b$都是正整数。
(1)求证:$\frac{1}{n}＞\frac{1}{n+a}$;
(2)任意一个分数都可以写成两个比它
小的分数的和,若$\frac{1}{n}=\frac{1}{n+a}+\frac{1}{n+b}$,求$a,b$与$n$之
间的数量关系。

(1) $\boldsymbol{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}}$
$\boldsymbol{=\frac{n+a-n}{n(n+a)}}$
$\boldsymbol{=\frac{a}{n(n+a)}}$。
$\boldsymbol{∵ n,a,b都是正整数,}$
$\boldsymbol{∴ \frac{a}{n(n+a)}＞0}$。
$\boldsymbol{∴ \frac{1}{n}＞\frac{1}{n+a}}$。
(2) $\boldsymbol{由\frac{1}{n}=\frac{1}{n+a}+\frac{1}{n+b},}$
$\boldsymbol{去分母,得(n+a)(n+b)=n(n+b)+n(n+a)}$。
$\boldsymbol{则n^{2}+an+bn+ab=n^{2}+bn+n^{2}+an}$。
$\boldsymbol{整理,得ab=n^{2},即为所求}$。

16. (★★★)阅读下面的解题过程:
(1)例题:已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{5}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值。
解:由$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{5}$知,$x≠0$。
所以$\frac{x^{2}+1}{x}=5$,即$x+\frac{1}{x}=5$。

所以$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值为。
该题的解法称为倒数法。请你利用倒数
法解决下列问题:
(2)应用:若$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值;
(3)拓展:若$\frac{x}{x^{2}+x+2}=\frac{1}{5}$,求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+4}$的值。

(1) $\boldsymbol{\frac{1}{23}}$
(2) $\boldsymbol{由\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3},知x≠0}$。
$\boldsymbol{∴ \frac{x^{2}+1}{x}=3}$。
$\boldsymbol{∴ x+\frac{1}{x}=3}$。
$\boldsymbol{∴ \frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7}$。
$\boldsymbol{∴ \frac{x^{2}}{x^{4}+1}=\frac{1}{7}}$。
(3) $\boldsymbol{由\frac{x}{x^{2}+x+2}=\frac{1}{5},知x≠0}$。
$\boldsymbol{∴ \frac{x^{2}+x+2}{x}=x+1+\frac{2}{x}=5}$。
$\boldsymbol{∴ x+\frac{2}{x}=4}$。
$\boldsymbol{∴ \frac{x^{4}+x^{2}+4}{x^{2}}=x^{2}+1+\frac{4}{x^{2}}=(x+\frac{2}{x})^{2}-3=16-3=13}$。
$\boldsymbol{∴ \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+4}=\frac{1}{13}}$。