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5. 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动. 在相距 150 个单位的直线跑道AB上,机器人甲从端点A出发,匀速往返于端点A,B之间,机器人乙同时从端点B出发,以大于甲的速度匀速往返于端点B,A之间. 它们到达端点后立即转身折返,用时忽略不计. 兴趣小组成员想探究这两个机器人迎面相遇的情况,这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种情况.
(1)【观察】
①观察图①,若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 30 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
②若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 40 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
(2)【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 兴趣小组成员发现了y与x的函数关系,并画出了部分函数图象.(线段OP,不包括点O,如图②所示)
①$a=$
②分别求出各部分图象对应的函数表达式,并在图②中补全函数图象.
(3)【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 若这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过 60 个单位,则它们第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是
(1)【观察】
①观察图①,若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 30 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
90
个单位.②若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 40 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
120
个单位.(2)【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 兴趣小组成员发现了y与x的函数关系,并画出了部分函数图象.(线段OP,不包括点O,如图②所示)
①$a=$
50
.②分别求出各部分图象对应的函数表达式,并在图②中补全函数图象.
(3)【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 若这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过 60 个单位,则它们第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是
0＜x≤12 或 48≤x≤72
.(直接写出结果)答案
(1) ①
90
(1) ②
120
(2) ①
50
(2) ②
解：设机器人甲的速度为$v_甲$，机器人乙的速度为$v_乙$。
第一次迎面相遇时，两人运动时间相同，故$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{x}{150-x}$，由题意$v_乙＞v_甲$，因此$x＜75$。
分两种情况讨论第二次迎面相遇的位置：
1. 当$0＜x≤50$时，第二次迎面相遇时甲尚未到达点B，两人的总路程和为$3×150=450$，此时甲运动的总路程即为相遇点与A的距离$y$，由路程和比例关系得：
y=3x$2. 当$50＜x＜75$时，第二次迎面相遇发生在乙从A点折返后、甲到达B点前，结合路程关系推导可得： $$y=300-3x$
补全图象：在平面直角坐标系中，画出线段从点$P(50,150)$到点$(75,75)$（不含端点$P$），即为第二段函数的图象。
(3)
$0＜x≤12$ 或 $48≤ x≤72$
90
(1) ②
120
(2) ①
50
(2) ②
解：设机器人甲的速度为$v_甲$，机器人乙的速度为$v_乙$。
第一次迎面相遇时，两人运动时间相同，故$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{x}{150-x}$，由题意$v_乙＞v_甲$，因此$x＜75$。
分两种情况讨论第二次迎面相遇的位置：
1. 当$0＜x≤50$时，第二次迎面相遇时甲尚未到达点B，两人的总路程和为$3×150=450$，此时甲运动的总路程即为相遇点与A的距离$y$，由路程和比例关系得：
y=3x$2. 当$50＜x＜75$时，第二次迎面相遇发生在乙从A点折返后、甲到达B点前，结合路程关系推导可得： $$y=300-3x$
补全图象：在平面直角坐标系中，画出线段从点$P(50,150)$到点$(75,75)$（不含端点$P$），即为第二段函数的图象。
(3)
$0＜x≤12$ 或 $48≤ x≤72$
解析
【分析】
这是行程类多次相遇问题，解题核心是利用“相同运动时间内，速度比等于路程比”的规律，结合每次迎面相遇时两人总路程和为奇数个全程（第一次相遇总路程为1个全程150，第二次为3个全程450，第三次为5个全程750）推导。首先通过第一次相遇的路程得到甲乙的速度比，再分类讨论后续相遇时机器人是否到达端点，从而建立路程的等量关系，最后结合函数、不等式的知识求解即可。
【解析】
(1)①第一次迎面相遇时，甲走了30个单位，乙走了$150-30=120$个单位，故$v_甲:v_乙=30:120=1:4$。第二次迎面相遇时两人总路程和为$3×150=450$个单位，相同时间内甲走的总路程为$450×\frac{1}{1+4}=90$个单位，$90＜150$，即甲还未到达B点，因此相遇点与A的距离为90个单位。
②第一次迎面相遇时，甲走了40个单位，乙走了$150-40=110$个单位，故$v_甲:v_乙=4:11$。第二次迎面相遇总路程为450个单位，甲走的总路程为$450×\frac{4}{4+11}=120$个单位，$120＜150$，因此相遇点与A的距离为120个单位。
(2)①当第二次迎面相遇刚好在B点时，相遇点与A的距离$y=150$，此时甲走的总路程为150个单位，结合第二次相遇甲总路程为$3x$，得$3x=150$，解得$x=50$，故$a=50$。
②设机器人甲的速度为$v_甲$，机器人乙的速度为$v_乙$，第一次相遇运动时间相同，故$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{x}{150-x}$，由$v_乙＞v_甲$得$x＜75$，分两种情况讨论：
1. 当$0＜x≤50$时，第二次相遇甲总路程$3x≤150$，甲还未到达B点，故相遇点与A的距离等于甲走的总路程，即$y=3x$；
2. 当$50＜x＜75$时，甲总路程$150＜3x＜225$，甲到达B点后折返，相遇点与A的距离为$150-(3x-150)=300-3x$，即$y=300-3x$。
补全图象：在坐标系中画出连接点$(50,150)$和点$(75,75)$的线段（不含端点）即可。
(3)第三次迎面相遇时两人总路程和为$5×150=750$，甲走的总路程为$5x$，结合$y≤60$分情况讨论：
1. 当$0＜x≤30$时，$5x≤150$，甲未到B点，$y=5x≤60$，解得$x≤12$，即$0＜x≤12$；
2. 当$30＜x≤60$时，$150＜5x≤300$，甲从B点折返，$y=300-5x≤60$，解得$x≥48$，即$48≤x≤60$；
3. 当$60＜x＜75$时，$300＜5x＜375$，甲从A点再次折返，$y=5x-300≤60$，解得$x≤72$，即$60＜x≤72$。
综上合并得$x$的取值范围。
【答案】
(1)①$\boxed{90}$；②$\boxed{120}$
(2)①$\boxed{50}$；②当$0＜x≤50$时，$y=3x$；当$50＜x＜75$时，$y=300-3x$，补图略
(3)$\boxed{0＜x≤12}$ 或 $\boxed{48≤ x≤72}$
【知识点】
行程相遇问题、一次函数的应用、一元一次不等式求解
【点评】
本题将行程问题与函数、不等式知识结合，需要梳理清楚多次相遇的路程和规律，灵活运用分类讨论思想分析不同的相遇位置，对综合分析问题的能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
这是行程类多次相遇问题，解题核心是利用“相同运动时间内，速度比等于路程比”的规律，结合每次迎面相遇时两人总路程和为奇数个全程（第一次相遇总路程为1个全程150，第二次为3个全程450，第三次为5个全程750）推导。首先通过第一次相遇的路程得到甲乙的速度比，再分类讨论后续相遇时机器人是否到达端点，从而建立路程的等量关系，最后结合函数、不等式的知识求解即可。
【解析】
(1)①第一次迎面相遇时，甲走了30个单位，乙走了$150-30=120$个单位，故$v_甲:v_乙=30:120=1:4$。第二次迎面相遇时两人总路程和为$3×150=450$个单位，相同时间内甲走的总路程为$450×\frac{1}{1+4}=90$个单位，$90＜150$，即甲还未到达B点，因此相遇点与A的距离为90个单位。
②第一次迎面相遇时，甲走了40个单位，乙走了$150-40=110$个单位，故$v_甲:v_乙=4:11$。第二次迎面相遇总路程为450个单位，甲走的总路程为$450×\frac{4}{4+11}=120$个单位，$120＜150$，因此相遇点与A的距离为120个单位。
(2)①当第二次迎面相遇刚好在B点时，相遇点与A的距离$y=150$，此时甲走的总路程为150个单位，结合第二次相遇甲总路程为$3x$，得$3x=150$，解得$x=50$，故$a=50$。
②设机器人甲的速度为$v_甲$，机器人乙的速度为$v_乙$，第一次相遇运动时间相同，故$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{x}{150-x}$，由$v_乙＞v_甲$得$x＜75$，分两种情况讨论：
1. 当$0＜x≤50$时，第二次相遇甲总路程$3x≤150$，甲还未到达B点，故相遇点与A的距离等于甲走的总路程，即$y=3x$；
2. 当$50＜x＜75$时，甲总路程$150＜3x＜225$，甲到达B点后折返，相遇点与A的距离为$150-(3x-150)=300-3x$，即$y=300-3x$。
补全图象：在坐标系中画出连接点$(50,150)$和点$(75,75)$的线段（不含端点）即可。
(3)第三次迎面相遇时两人总路程和为$5×150=750$，甲走的总路程为$5x$，结合$y≤60$分情况讨论：
1. 当$0＜x≤30$时，$5x≤150$，甲未到B点，$y=5x≤60$，解得$x≤12$，即$0＜x≤12$；
2. 当$30＜x≤60$时，$150＜5x≤300$，甲从B点折返，$y=300-5x≤60$，解得$x≥48$，即$48≤x≤60$；
3. 当$60＜x＜75$时，$300＜5x＜375$，甲从A点再次折返，$y=5x-300≤60$，解得$x≤72$，即$60＜x≤72$。
综上合并得$x$的取值范围。
【答案】
(1)①$\boxed{90}$；②$\boxed{120}$
(2)①$\boxed{50}$；②当$0＜x≤50$时，$y=3x$；当$50＜x＜75$时，$y=300-3x$，补图略
(3)$\boxed{0＜x≤12}$ 或 $\boxed{48≤ x≤72}$
【知识点】
行程相遇问题、一次函数的应用、一元一次不等式求解
【点评】
本题将行程问题与函数、不等式知识结合，需要梳理清楚多次相遇的路程和规律，灵活运用分类讨论思想分析不同的相遇位置，对综合分析问题的能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
