三、解答题
如右图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F。求证:BE = DF。

证明:在平行四边形ABCD中,
AB = CD , AB // CD,
∴ ∠ABE = ∠CDF。
∵ AE ⊥ BD , CF ⊥ BD ,
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
在△AEB 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠ABE = ∠CDF, \\∠AEB = ∠CFD, \\AB = CD,\end{cases}$
∴ △AEB ≌ △CFD(AAS) ,
∴ BE = DF。

【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中BE、DF分别在△AEB和△CFD中，因此优先考虑证明这两个三角形全等。首先根据平行四边形的性质可得AB与CD平行且相等，由平行线的性质可得内错角∠ABE=∠CDF；再结合AE⊥BD、CF⊥BD的条件可得∠AEB=∠CFD=90°，即可满足AAS的全等判定条件，证明三角形全等后对应边相等，即可得到BE=DF。
【解析】
证明:在平行四边形ABCD中,
AB = CD , AB // CD,
∴ ∠ABE = ∠CDF。
∵ AE ⊥ BD , CF ⊥ BD ,
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
在△AEB 和△CFD 中,
$\begin{cases}∠ABE = ∠CDF, \\∠AEB = ∠CFD, \\AB = CD,\end{cases}$
∴ △AEB ≌ △CFD(AAS) ,
∴ BE = DF。
【答案】
BE = DF
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与三角形全等的综合基础题，解题的核心是利用平行四边形的性质推导得到三角形全等的所需条件，熟练掌握相关几何性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

四、综合实践活动
如右图,正方形ABCD的边长为8, M在DC上,且DM = 2, N是AC上的一动点,求DN + MN的最小值。

DN + MN 的最小值是 10。

【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：①首先利用正方形的轴对称性，对角线AC是正方形的一条对称轴，点D关于AC的对称点为点B，因此可得DN=BN；②将所求的DN+MN转化为BN+MN，根据“两点之间线段最短”，当B、N、M三点共线时，BN+MN的和最小，最小值即为线段BM的长度；③最后利用勾股定理计算BM的长度即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴点B与点D关于AC对称，根据轴对称的性质可得：$DN = BN$，
∴$DN + MN = BN + MN$，
根据两点之间线段最短，当B、N、M三点共线时，$BN+MN$取得最小值，最小值等于线段BM的长。
已知正方形边长为8，$DM=2$，
∴$BC=CD=8$，$MC=CD - DM = 8 - 2 = 6$，
在$Rt△ BCM$中，$∠BCM=90°$，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BC^2 + MC^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
即$DN+MN$的最小值为10。
【答案】
10
【知识点】
轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型应用，核心是通过轴对称将分散的线段转化为可求最短长度的共线线段，再结合勾股定理计算，很好地考查了几何最值问题的分析思路和基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7