10. 如图,点C,D为线段AB上两点,$AC+BD=a$,若$AD+BC=\frac{7}{5}AB$,用含$a$的式子表示$CD$的长为 ()


A.$\frac{2}{5}a$
B.$\frac{2}{3}a$
C.$\frac{5}{3}a$
D.$\frac{5}{7}a$

10.B 解析:因为$AD+BC=\frac{7}{5}AB$,所以$AC+CD+CD+DB=\frac{7}{5}(AC+CD+DB)$.因为AC+BD=a,所以$a+2CD=\frac{7}{5}(a+CD)$,所以$CD=\frac{2}{3}a$.故选B.

11.(2026·无锡期末)已知点C是线段AB的中点,点D是直线AB上一点,且$BD=2AD$,若$CD=3$,则AB的长为.

11.2或18 解析:设AD=x,则BD=2x.
如图①,当点D在线段AB上时.

因为AB=AD+BD,所以AB=x+2x=3x.因为点C是AB的中点,所以$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x$.因为CD=BD-BC,所以$3=2x-\frac{3}{2}x$,解得x=6.所以AB=3x=18.
如图②,当点D在BA的延长线上时.

因为AB=BD-AD,所以AB=2x-x=x.因为点C是AB的中点,所以$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$.因为CD=AD+AC,所以$3=x+\frac{1}{2}x$,解得x=2.所以AB=x=2.综上,AB的长为2或18.
易错提醒 求线段的长时,如果题目中没有给出图形,那么一定要画出所有可能的图形,分情况讨论去计算,以防漏解.本题中需对点D的位置进行分类讨论.

12. 新题型 双空题 有一无弹性细线，拉直时测得细线OP长为8 cm，现进行如下操作：①在细线上任取一点A；②将细线折叠，使点O与点A重合，记折点为点B；③将细线折叠，使点P与点A重合，记折点为点C。

(1)如图，BC的长为 cm；
(2)继续进行折叠，使点B与点C重合，并把点B和与其重叠的点C处的细线剪开，使细线分成长为a,b,c的三段(a＜b＜c)，若a：b = 1：3，则细线未剪开时OA的长为 cm。

12.(1)4 解析:因为点B为OA的中点,点C为AP的中点,所以$OB=AB=\frac{1}{2}OA$,$AC=CP=\frac{1}{2}AP$,所以$BC=AB+AC=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}(OA+AP)=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4(cm)$.
(2)2或6 解析:因为a＜b＜c,细线剪开后分成OB,BC,CP三段,所以BC=c.当OB=a时,CP=b,因为OB+CP=8-4=4(cm),所以a+b=4 cm.因为a:b=1:3,所以a=1 cm,b=3 cm,所以OA=2a=2 cm;当OB=b时,CP=a,因为OB+CP=8-4=4(cm),所以a+b=4 cm.因为a:b=1:3,所以a=1 cm,b=3 cm,所以OA=2b=6 cm.故答案为2或6.

13. 如图,线段AB=20 cm,线段AB上有一点C,BC:AC=1:4,点D是线段AB的中点,点E是线段AC的中点.求:
(1)线段AC的长度;
(2)线段DE的长度.

13.(1)因为AB=20 cm,BC:AC=1:4,所以$BC=\frac{1}{1+4}AB=\frac{1}{5}AB=4 cm$,$AC=\frac{4}{1+4}AB=16 cm$.
(2)因为点D是线段AB的中点,所以$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10(cm)$,所以CD=BD-BC=10-4=6(cm).因为点E是线段AC的中点,所以$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×16=8(cm)$,所以DE=CE-CD=8-6=2(cm).

14. 如图，C为线段AB上一点，D在线段AC上，且$AD=\frac{2}{3}AC$，E为线段BC的中点.
(1)若$AC=6$，$BE=1$，求线段AB，DE的长；
(2)试说明：$AB+BD=4DE$.

14.(1)因为E为线段BC的中点,BE=1,所以BC=2BE=2,CE=BE=1.因为AC=6,所以AB=AC+BC=6+2=8.因为$AD=\frac{2}{3}AC$,AC=6,所以AD=4,所以DC=AC-AD=6-4=2,所以DE=DC+CE=2+1=3.
(2)因为AB=AC+BC,BD=BC+CD,所以AB+BD=AC+BC+BC+CD.因为$AD=\frac{2}{3}AC$,E为线段BC的中点,所以AC=3CD,BC=2CE,所以AB+BD=AC+BC+BC+CD=3CD+2CE+2CE+CD=4CD+4CE=4(CD+CE)=4DE.

15. 新题型 新定义（2026·泰州期末）定义:若点A,B,C在同一直线上,则$d_{λBC}=\frac{AB}{AC}$,例如AB=6,AC=3,则$d_{λBC}=2$,$d_{λCB}=\frac{1}{2}$.如图,已知线段AB=12 cm.

(1)如图,若点O是线段AB的中点,则$d_{λOB}=$.
(2)P,Q是直线AB上的两个动点,点P从点A出发向右运动,点Q从点B出发向左运动.若点P运动速度为1 cm/s,点Q运动速度为2 cm/s,设运动时间为t s.
①当t=3时,求$d_{λQB}-d_{λPB}$的值;
②当$d_{λQB}-d_{λPB}=\frac{1}{3}$时,试求出可能的t的值.

15.(1)$\frac{1}{2}$ 解析:因为点O是线段AB的中点,所以$AO=\frac{1}{2}AB$,所以$d_{λ OB}=\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}$.
(2)①当t=3时,AQ=12-2×3=6(cm),AP=3 cm,所以$d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{AQ}{AB}-\frac{AP}{AB}=\frac{6}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.
②依题意,当点Q在点A右侧时,AQ=(12-2t)cm,AP=t cm,所以$d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{AQ}{AB}-\frac{AP}{AB}=\frac{12-2t}{12}-\frac{t}{12}=\frac{12-3t}{12}$.因为$d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{12-3t}{12}=\frac{1}{3}$,解得$t=\frac{8}{3}$;
当点Q在点A左侧时,AQ=(2t-12)cm,AP=t cm,所以$d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{AQ}{AB}-\frac{AP}{AB}=\frac{2t-12}{12}-\frac{t}{12}=\frac{t-12}{12}$.因为$d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{t-12}{12}=\frac{1}{3}$,解得t=16,综上,t的值为$\frac{8}{3}$或16.