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(1)在3,0.3,5,0.5,15,0.15中,(
15
)是(3
)和(5
)的倍数,(3
)和(5
)是(15
)的因数。答案
15 3 5 3 5 15
解析
【分析】
首先明确因数和倍数的研究范围：小学阶段我们讨论因数和倍数时，所说的数都是非0自然数，因此第一步要先从给出的数里筛选出正整数，排除所有小数。接下来观察筛选得到的3、5、15三个正整数，判断哪一个数能分别被另外两个数整除，满足整除条件的数就是另外两个数的倍数，另外两个数就是它的因数。
【解析】
解：根据因数和倍数的定义，研究因数和倍数时仅考虑非0自然数，因此先排除题目中的0.3、0.5、0.15三个小数，剩余整数为3、5、15。
验证整除关系：15÷3=5，商是整数且没有余数；15÷5=3，商是整数且没有余数。
因此15是3和5的倍数，3和5是15的因数。
【答案】
15 3 5 3 5 15
【知识点】
因数与倍数的概念；整除的判定
【点评】
这道题重点考察因数和倍数的适用范围及基础概念，解题的关键点是牢记因数倍数仅针对非0自然数，不要误把小数纳入判断范围，再结合整除关系推导即可，易错点是忽略因数倍数的适用范围选错数字。
【难度系数】
0.85
首先明确因数和倍数的研究范围：小学阶段我们讨论因数和倍数时，所说的数都是非0自然数，因此第一步要先从给出的数里筛选出正整数，排除所有小数。接下来观察筛选得到的3、5、15三个正整数，判断哪一个数能分别被另外两个数整除，满足整除条件的数就是另外两个数的倍数，另外两个数就是它的因数。
【解析】
解：根据因数和倍数的定义，研究因数和倍数时仅考虑非0自然数，因此先排除题目中的0.3、0.5、0.15三个小数，剩余整数为3、5、15。
验证整除关系：15÷3=5，商是整数且没有余数；15÷5=3，商是整数且没有余数。
因此15是3和5的倍数，3和5是15的因数。
【答案】
15 3 5 3 5 15
【知识点】
因数与倍数的概念；整除的判定
【点评】
这道题重点考察因数和倍数的适用范围及基础概念，解题的关键点是牢记因数倍数仅针对非0自然数，不要误把小数纳入判断范围，再结合整除关系推导即可，易错点是忽略因数倍数的适用范围选错数字。
【难度系数】
0.85
(2)14 的因数有(
1,2,7,14
)，14 的倍数有(14,28,42,…
)。答案
1,2,7,14 14,28,42,…
解析
【分析】
解题时首先明确我们在非0自然数范围内研究因数和倍数。找一个数的因数时，按从小到大的顺序，找出所有乘积等于这个数的整数对，就能得到全部因数；找一个数的倍数时，用这个数依次乘1、2、3……，所得的积都是它的倍数，因为自然数是无限的，所以一个数的倍数有无限个，列举几个后加省略号即可。
【解析】
首先明确：非0自然数范围内，如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
1. 求14的因数：
依次找乘积为14的非0自然数对，可得1×14=14，2×7=14，没有其他符合要求的整数对，因此14的因数为1、2、7、14。
2. 求14的倍数：
用14依次乘正整数，可得14×1=14，14×2=28，14×3=42……，由于正整数的个数是无限的，因此14的倍数有无限个，列举部分后加省略号即可。
【答案】
1,2,7,14 14,28,42,…
【知识点】
因数的认识、倍数的认识
【点评】
本题是因数和倍数的基础考查题，需要注意区分因数和倍数的特征：一个数的因数个数是有限的，要完整列举所有结果；一个数的倍数个数是无限的，列举部分数值后要补充省略号。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确我们在非0自然数范围内研究因数和倍数。找一个数的因数时，按从小到大的顺序，找出所有乘积等于这个数的整数对，就能得到全部因数；找一个数的倍数时，用这个数依次乘1、2、3……，所得的积都是它的倍数，因为自然数是无限的，所以一个数的倍数有无限个，列举几个后加省略号即可。
【解析】
首先明确：非0自然数范围内，如果a×b=c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
1. 求14的因数：
依次找乘积为14的非0自然数对，可得1×14=14，2×7=14，没有其他符合要求的整数对，因此14的因数为1、2、7、14。
2. 求14的倍数：
用14依次乘正整数，可得14×1=14，14×2=28，14×3=42……，由于正整数的个数是无限的，因此14的倍数有无限个，列举部分后加省略号即可。
【答案】
1,2,7,14 14,28,42,…
【知识点】
因数的认识、倍数的认识
【点评】
本题是因数和倍数的基础考查题，需要注意区分因数和倍数的特征：一个数的因数个数是有限的，要完整列举所有结果；一个数的倍数个数是无限的，列举部分数值后要补充省略号。
【难度系数】
0.9
(3)一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数最大是(
32
)，最小是(8
)。答案
32 8
解析
【分析】
解题时我们可以用列举法筛选，也可以结合因数和倍数的特点直接判断：
方法一：先分别列出32的所有因数、不超过32的8的倍数，再找出同时满足两个条件的数，最后确定最大值和最小值。
方法二：根据特点推导：要找最大的数，优先考虑32的最大因数（也就是32本身），判断它是否是8的倍数即可；要找最小的数，优先考虑8的最小倍数（也就是8本身），判断它是否是32的因数即可。
【解析】
方法一（列举法）：
1. 写出32的所有因数：1、2、4、8、16、32；
2. 写出小于等于32的8的倍数：8、16、24、32；
3. 筛选出同时属于两个序列的数：8、16、32；
4. 可知其中最大的是32，最小的是8。
方法二（推导法）：
1. 一个数的最大因数是它本身，32的最大因数是32，32÷8=4，说明32是8的倍数，所以符合条件的最大数是32；
2. 一个数的最小倍数是它本身，8的最小倍数是8，32÷8=4，说明8是32的因数，所以符合条件的最小数是8。
【答案】
32 8
【知识点】
因数的概念、倍数的概念
【点评】
本题是因数与倍数模块的基础题型，既可以用直观的列举法筛选结果，也可以结合因数、倍数的特点快速推导，掌握这类问题的解法能为后续学习公因数、公倍数相关知识打好基础。
【难度系数】
0.85
解题时我们可以用列举法筛选，也可以结合因数和倍数的特点直接判断：
方法一：先分别列出32的所有因数、不超过32的8的倍数，再找出同时满足两个条件的数，最后确定最大值和最小值。
方法二：根据特点推导：要找最大的数，优先考虑32的最大因数（也就是32本身），判断它是否是8的倍数即可；要找最小的数，优先考虑8的最小倍数（也就是8本身），判断它是否是32的因数即可。
【解析】
方法一（列举法）：
1. 写出32的所有因数：1、2、4、8、16、32；
2. 写出小于等于32的8的倍数：8、16、24、32；
3. 筛选出同时属于两个序列的数：8、16、32；
4. 可知其中最大的是32，最小的是8。
方法二（推导法）：
1. 一个数的最大因数是它本身，32的最大因数是32，32÷8=4，说明32是8的倍数，所以符合条件的最大数是32；
2. 一个数的最小倍数是它本身，8的最小倍数是8，32÷8=4，说明8是32的因数，所以符合条件的最小数是8。
【答案】
32 8
【知识点】
因数的概念、倍数的概念
【点评】
本题是因数与倍数模块的基础题型，既可以用直观的列举法筛选结果，也可以结合因数、倍数的特点快速推导，掌握这类问题的解法能为后续学习公因数、公倍数相关知识打好基础。
【难度系数】
0.85
(4) 363至少减去(
3
)后，同时是2，3，5的倍数。答案
3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确同时是2、3、5的倍数的数的特征：①同时是2和5的倍数，个位数字必须是0；②是3的倍数，要求各数位上的数字之和是3的倍数。我们需要找到小于363的、满足上述特征的最大数，再用363减去这个数，就能得到至少要减去的数。
【解析】
第一步：根据2、5的倍数特征可知，同时是2和5的倍数的数，个位一定是0，因此符合要求的数个位为0。
第二步：找小于363、个位为0的最大数，得到360。
第三步：验证360是否是3的倍数：计算各数位数字和3+6+0=9，9是3的倍数，因此360同时是2、3、5的倍数。
第四步：计算需要减去的数：363-360=3。
【答案】
3
【知识点】
2、3、5的倍数特征；减法计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过2和5的倍数特征锁定目标数的个位为0，再结合3的倍数特征找到符合要求的最大数，熟练掌握常见数字的倍数特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确同时是2、3、5的倍数的数的特征：①同时是2和5的倍数，个位数字必须是0；②是3的倍数，要求各数位上的数字之和是3的倍数。我们需要找到小于363的、满足上述特征的最大数，再用363减去这个数，就能得到至少要减去的数。
【解析】
第一步：根据2、5的倍数特征可知，同时是2和5的倍数的数，个位一定是0，因此符合要求的数个位为0。
第二步：找小于363、个位为0的最大数，得到360。
第三步：验证360是否是3的倍数：计算各数位数字和3+6+0=9，9是3的倍数，因此360同时是2、3、5的倍数。
第四步：计算需要减去的数：363-360=3。
【答案】
3
【知识点】
2、3、5的倍数特征；减法计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过2和5的倍数特征锁定目标数的个位为0，再结合3的倍数特征找到符合要求的最大数，熟练掌握常见数字的倍数特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 连一连。
答案
解析
【分析】
要完成连线题，首先需要牢记2、3、5的倍数特征，然后依次判断给出的每个数分别符合哪些盒子的要求，再进行对应连线即可。解题步骤为：第一步回忆2、3、5的倍数判断规则；第二步逐个分析7个数字的特征；第三步按照每个盒子的倍数要求分类，最后完成连线。
【解析】
首先明确各数的倍数特征：
1. 2的倍数：个位为0、2、4、6、8的数；
2. 3的倍数：各数位上数字之和是3的倍数的数；
3. 5的倍数：个位为0或5的数。
接下来逐个分析给出的数：
35：个位是5，仅为5的倍数，3+5=8不是3的倍数，不满足和3相关的倍数要求；
60：个位是0，是2、5的倍数，6+0=6是3的倍数，同时满足2、3、5的倍数要求；
40：个位是0，是2、5的倍数，4+0=4不是3的倍数，不满足和3相关的倍数要求；
30：个位是0，是2、5的倍数，3+0=3是3的倍数，同时满足2、3、5的倍数要求；
27：个位是7，不是2、5的倍数，2+7=9是3的倍数，仅为3的倍数；
18：个位是8，是2的倍数，1+8=9是3的倍数，是2和3的倍数，也属于3的倍数；
42：个位是2，是2的倍数，4+2=6是3的倍数，是2和3的倍数，也属于3的倍数。
最后按盒子要求分类：
①2和3的倍数：60、30、18、42；
②3和5的倍数：60、30；
③3的倍数：60、30、27、18、42；
④2、3、5的倍数：60、30。
按照以上分类对应连线即可。
【答案】
【知识点】
2的倍数特征、3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题核心是考查对2、3、5倍数特征的应用，解题时只要牢记特征逐一判断即可，注意部分数会同时符合多个分类要求，不要漏连。
【难度系数】
0.8
要完成连线题，首先需要牢记2、3、5的倍数特征，然后依次判断给出的每个数分别符合哪些盒子的要求，再进行对应连线即可。解题步骤为：第一步回忆2、3、5的倍数判断规则；第二步逐个分析7个数字的特征；第三步按照每个盒子的倍数要求分类，最后完成连线。
【解析】
首先明确各数的倍数特征：
1. 2的倍数：个位为0、2、4、6、8的数；
2. 3的倍数：各数位上数字之和是3的倍数的数；
3. 5的倍数：个位为0或5的数。
接下来逐个分析给出的数：
35：个位是5，仅为5的倍数，3+5=8不是3的倍数，不满足和3相关的倍数要求；
60：个位是0，是2、5的倍数，6+0=6是3的倍数，同时满足2、3、5的倍数要求；
40：个位是0，是2、5的倍数，4+0=4不是3的倍数，不满足和3相关的倍数要求；
30：个位是0，是2、5的倍数，3+0=3是3的倍数，同时满足2、3、5的倍数要求；
27：个位是7，不是2、5的倍数，2+7=9是3的倍数，仅为3的倍数；
18：个位是8，是2的倍数，1+8=9是3的倍数，是2和3的倍数，也属于3的倍数；
42：个位是2，是2的倍数，4+2=6是3的倍数，是2和3的倍数，也属于3的倍数。
最后按盒子要求分类：
①2和3的倍数：60、30、18、42；
②3和5的倍数：60、30；
③3的倍数：60、30、27、18、42；
④2、3、5的倍数：60、30。
按照以上分类对应连线即可。
【答案】
【知识点】
2的倍数特征、3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题核心是考查对2、3、5倍数特征的应用，解题时只要牢记特征逐一判断即可，注意部分数会同时符合多个分类要求，不要漏连。
【难度系数】
0.8
（1）《西游记》是我国四大古典名著之一，主要讲述了唐僧师徒历经九九八十一难去西天取经的故事。81有(
A.2
B.3
C.5
D.6
C
)个因数。A.2
B.3
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
要计算81的因数个数，首先回忆因数的定义：若整数a除以非零整数b，商为整数且没有余数，那么b就是a的因数。我们可以用配对列举法来找81的所有因数，按从小到大的顺序一对一对匹配，避免重复和遗漏，最后统计总个数即可。
【解析】
我们用配对法列举81的所有因数：
1. 因为$1×81=81$，所以1、81是81的因数；
2. 因为$3×27=81$，所以3、27是81的因数；
3. 因为$9×9=81$，两个乘数相同，只计1次，所以9是81的因数。
将所有因数去重后得到：1、3、9、27、81，共5个。因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因数的概念，找因数的方法
【点评】
本题考查求一个数因数个数的方法，解题的关键是用配对法列举时，遇到两个因数相等的情况不要重复计数，掌握方法后很容易解答。
【难度系数】
0.8
要计算81的因数个数，首先回忆因数的定义：若整数a除以非零整数b，商为整数且没有余数，那么b就是a的因数。我们可以用配对列举法来找81的所有因数，按从小到大的顺序一对一对匹配，避免重复和遗漏，最后统计总个数即可。
【解析】
我们用配对法列举81的所有因数：
1. 因为$1×81=81$，所以1、81是81的因数；
2. 因为$3×27=81$，所以3、27是81的因数；
3. 因为$9×9=81$，两个乘数相同，只计1次，所以9是81的因数。
将所有因数去重后得到：1、3、9、27、81，共5个。因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因数的概念，找因数的方法
【点评】
本题考查求一个数因数个数的方法，解题的关键是用配对法列举时，遇到两个因数相等的情况不要重复计数，掌握方法后很容易解答。
【难度系数】
0.8
（2）一个非0自然数的最小因数和最小倍数的和是24，这个自然数是（
A.24
B.23
C.22
D.12
B
）。A.24
B.23
C.22
D.12
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆非0自然数因数和倍数的基本性质：首先，任意非0自然数的最小因数都是固定的1；其次，一个非0自然数的最小倍数是它本身，因为一个数的倍数是它分别乘1、2、3……得到的，乘1得到的数就是它本身，是最小的倍数。已知两者的和是24，用和减去最小因数1，就能求出这个自然数，再匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：明确非0自然数的最小因数是1；
第二步：明确非0自然数的最小倍数是它本身；
第三步：计算这个自然数：24 - 1 = 23，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因数的特征
2. 倍数的特征
【点评】
本题是基础常考题，主要考查对非0自然数最小因数、最小倍数的概念掌握，牢记相关结论就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆非0自然数因数和倍数的基本性质：首先，任意非0自然数的最小因数都是固定的1；其次，一个非0自然数的最小倍数是它本身，因为一个数的倍数是它分别乘1、2、3……得到的，乘1得到的数就是它本身，是最小的倍数。已知两者的和是24，用和减去最小因数1，就能求出这个自然数，再匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：明确非0自然数的最小因数是1；
第二步：明确非0自然数的最小倍数是它本身；
第三步：计算这个自然数：24 - 1 = 23，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因数的特征
2. 倍数的特征
【点评】
本题是基础常考题，主要考查对非0自然数最小因数、最小倍数的概念掌握，牢记相关结论就能快速解题。
【难度系数】
0.8
（3）明明在计数器上用6颗珠子拨出了一个四位数，这个四位数一定是（
A.2的倍数
B.3的倍数
C.5的倍数
D.6的倍数
B
）。A.2的倍数
B.3的倍数
C.5的倍数
D.6的倍数
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确计数器拨数的规律：拨数所用珠子的总数量，就是这个数各个数位上的数字之和。本题用了6颗珠子，所以这个四位数各位数字之和是6。接下来回忆各选项对应的倍数特征：2的倍数要求个位是偶数，5的倍数要求个位是0或5，3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，6的倍数要求同时是2和3的倍数。由于拨出的四位数个位数字不确定，因此无法保证一定是2、5、6的倍数；但各位数字和固定为6，6是3的倍数，因此这个数一定是3的倍数。
【解析】
1. 首先确定四位数的数字和：用6颗珠子拨四位数，说明这个四位数各个数位上的数字之和为6。
2. 结合3的倍数特征判断：如果一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。6÷3=2，6是3的倍数，因此这个四位数一定是3的倍数。
3. 举反例排除其他选项：
若拨出四位数1005，个位是5，不是2的倍数，也不是6的倍数，排除A、D；
若拨出四位数1221，个位是1，不是5的倍数，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 3的倍数特征
2. 2的倍数特征
3. 5的倍数特征
【点评】
这道题重点考查常见数的倍数特征的实际应用，解题的核心是抓住“珠子总数等于各数位数字之和”这一关键信息，结合倍数特征直接判断，也可以通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确计数器拨数的规律：拨数所用珠子的总数量，就是这个数各个数位上的数字之和。本题用了6颗珠子，所以这个四位数各位数字之和是6。接下来回忆各选项对应的倍数特征：2的倍数要求个位是偶数，5的倍数要求个位是0或5，3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，6的倍数要求同时是2和3的倍数。由于拨出的四位数个位数字不确定，因此无法保证一定是2、5、6的倍数；但各位数字和固定为6，6是3的倍数，因此这个数一定是3的倍数。
【解析】
1. 首先确定四位数的数字和：用6颗珠子拨四位数，说明这个四位数各个数位上的数字之和为6。
2. 结合3的倍数特征判断：如果一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。6÷3=2，6是3的倍数，因此这个四位数一定是3的倍数。
3. 举反例排除其他选项：
若拨出四位数1005，个位是5，不是2的倍数，也不是6的倍数，排除A、D；
若拨出四位数1221，个位是1，不是5的倍数，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 3的倍数特征
2. 2的倍数特征
3. 5的倍数特征
【点评】
这道题重点考查常见数的倍数特征的实际应用，解题的核心是抓住“珠子总数等于各数位数字之和”这一关键信息，结合倍数特征直接判断，也可以通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
(4)从0,1,2,3这四个数中任选三个,可以组成(
A.4
B.5
C.6
D.7
B
)个既是3的倍数,又是偶数的数。A.4
B.5
C.6
D.7
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个条件：①组成的数是偶数，个位只能是0或2（给定数字中仅这两个是偶数），且三位数百位不能为0；②是3的倍数，所选三个数字的和必须是3的倍数。我们可以先筛选出和为3的倍数的三个数字组合，再从每个组合中有序枚举符合偶数要求的三位数，最后统计总个数即可。
【解析】
第一步：筛选和为3的倍数的三个数组合
从0、1、2、3中任选三个，计算每组的和：
0、1、2：和为0+1+2=3，是3的倍数，符合要求；
0、1、3：和为0+1+3=4，不是3的倍数，排除；
0、2、3：和为0+2+3=5，不是3的倍数，排除；
1、2、3：和为1+2+3=6，是3的倍数，符合要求。
第二步：分别枚举两组数组成的符合条件的偶数
1. 用0、1、2组成偶数：
个位为0：120、210，共2个；
个位为2：百位只能是1，即102，共1个；
合计：2+1=3个。
2. 用1、2、3组成偶数：
只有2是偶数，个位固定为2，百位和十位可选1和3，即132、312，共2个。
第三步：总个数为3+2=5个。
【答案】
B
【知识点】
偶数的特征；3的倍数特征；数的组成
【点评】
本题需要结合多个倍数特征筛选有效数字组合，枚举时要注意三位数首位不能为0的规则，考查对基础知识的综合应用能力和有序思考的习惯，避免漏数或多算。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需同时满足两个条件：①组成的数是偶数，个位只能是0或2（给定数字中仅这两个是偶数），且三位数百位不能为0；②是3的倍数，所选三个数字的和必须是3的倍数。我们可以先筛选出和为3的倍数的三个数字组合，再从每个组合中有序枚举符合偶数要求的三位数，最后统计总个数即可。
【解析】
第一步：筛选和为3的倍数的三个数组合
从0、1、2、3中任选三个，计算每组的和：
0、1、2：和为0+1+2=3，是3的倍数，符合要求；
0、1、3：和为0+1+3=4，不是3的倍数，排除；
0、2、3：和为0+2+3=5，不是3的倍数，排除；
1、2、3：和为1+2+3=6，是3的倍数，符合要求。
第二步：分别枚举两组数组成的符合条件的偶数
1. 用0、1、2组成偶数：
个位为0：120、210，共2个；
个位为2：百位只能是1，即102，共1个；
合计：2+1=3个。
2. 用1、2、3组成偶数：
只有2是偶数，个位固定为2，百位和十位可选1和3，即132、312，共2个。
第三步：总个数为3+2=5个。
【答案】
B
【知识点】
偶数的特征；3的倍数特征；数的组成
【点评】
本题需要结合多个倍数特征筛选有效数字组合，枚举时要注意三位数首位不能为0的规则，考查对基础知识的综合应用能力和有序思考的习惯，避免漏数或多算。
【难度系数】
0.6
(1) 27□和49□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以都填(
(2) 33□和24□既是2的倍数，又是3的倍数，□里可以都填(
(3) 58□和61□既是5的倍数，又是3的倍数，□里可以都填(
(4) 8□7□同时是2,3,5的倍数，□里可以都填(
0
)。(2) 33□和24□既是2的倍数，又是3的倍数，□里可以都填(
0或6
)。(3) 58□和61□既是5的倍数，又是3的倍数，□里可以都填(
5
)。(4) 8□7□同时是2,3,5的倍数，□里可以都填(
0
)。答案
(1)0 (2)0或6 (3)5 (4)0
解析
【分析】
解题前先牢记2、3、5的倍数特征：①2的倍数：个位是0、2、4、6、8；②5的倍数：个位是0或5；③3的倍数：各数位数字之和是3的倍数。本题每道小题都要求两个方框内填相同的数字，我们先根据题中要求的倍数组合，筛选出个位可填的候选数字，再逐一验证是否同时满足两个数的倍数要求即可。
【解析】
首先明确基础特征：
2的倍数特征：个位为0、2、4、6、8；
5的倍数特征：个位为0或5；
3的倍数特征：各数位数字之和是3的倍数。
(1) 要求既是2的倍数又是5的倍数，结合特征可知个位只能是0，因此两个方框都填0。
(2) 要求既是2的倍数又是3的倍数，首先个位需是偶数，其次各数位和是3的倍数。
对33□：3+3=6，6是3的倍数，因此□需填满足“6+□是3的倍数”的偶数，可选0、6；
对24□：2+4=6，同理□可选0、6；
因此两个方框共同可填0或6。
(3) 要求既是5的倍数又是3的倍数，首先个位只能是0或5：
若填0：580的数字和为5+8+0=13，不是3的倍数，排除；
若填5：585的数字和为5+8+5=18，是3的倍数；615的数字和为6+1+5=12，是3的倍数，符合要求，因此填5。
(4) 要求同时是2、3、5的倍数，结合特征可知个位必须是0，题目要求两个方框填相同的数，因此前一个方框也填0；验证：8070的数字和为8+0+7+0=15，是3的倍数，符合要求，因此填0。
【答案】
(1)0 (2)0或6 (3)5 (4)0
【知识点】
2的倍数特征、3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题是2、3、5倍数特征的基础综合应用题，解题关键是先确定多种倍数的共同个位特征，再结合“填相同数字”的要求验证筛选，牢记相关特征就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题前先牢记2、3、5的倍数特征：①2的倍数：个位是0、2、4、6、8；②5的倍数：个位是0或5；③3的倍数：各数位数字之和是3的倍数。本题每道小题都要求两个方框内填相同的数字，我们先根据题中要求的倍数组合，筛选出个位可填的候选数字，再逐一验证是否同时满足两个数的倍数要求即可。
【解析】
首先明确基础特征：
2的倍数特征：个位为0、2、4、6、8；
5的倍数特征：个位为0或5；
3的倍数特征：各数位数字之和是3的倍数。
(1) 要求既是2的倍数又是5的倍数，结合特征可知个位只能是0，因此两个方框都填0。
(2) 要求既是2的倍数又是3的倍数，首先个位需是偶数，其次各数位和是3的倍数。
对33□：3+3=6，6是3的倍数，因此□需填满足“6+□是3的倍数”的偶数，可选0、6；
对24□：2+4=6，同理□可选0、6；
因此两个方框共同可填0或6。
(3) 要求既是5的倍数又是3的倍数，首先个位只能是0或5：
若填0：580的数字和为5+8+0=13，不是3的倍数，排除；
若填5：585的数字和为5+8+5=18，是3的倍数；615的数字和为6+1+5=12，是3的倍数，符合要求，因此填5。
(4) 要求同时是2、3、5的倍数，结合特征可知个位必须是0，题目要求两个方框填相同的数，因此前一个方框也填0；验证：8070的数字和为8+0+7+0=15，是3的倍数，符合要求，因此填0。
【答案】
(1)0 (2)0或6 (3)5 (4)0
【知识点】
2的倍数特征、3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题是2、3、5倍数特征的基础综合应用题，解题关键是先确定多种倍数的共同个位特征，再结合“填相同数字”的要求验证筛选，牢记相关特征就能快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 新趋势 探索规律 先找出下表中每一横行数的特点，再用含有字母的式子填空。
| 1 | 2 | 3 | 4 | … | a |
| 3 | 6 | 9 |
| 12 | … |
| 4 | 7 | 10 | 13 | … |
| 1 | 2 | 3 | 4 | … | a |
| 3 | 6 | 9 |
| 12 | … | 3×a
|| 4 | 7 | 10 | 13 | … |
3×a+1
|答案
3×a 3×a+1
解析
【分析】
我们先观察每行数字和第一行对应位置数字的关系：首先看第二行，第1个数3对应第一行的1，3=1×3；第2个数6对应第一行的2，6=2×3；第3个数9对应第一行的3，9=3×3，可知第二行每个数都是第一行对应数的3倍。再看第三行，第1个数4对应第一行的1，4=1×3+1；第2个数7对应第一行的2，7=2×3+1；第3个数10对应第一行的3，10=3×3+1，可知第三行每个数都是第一行对应数的3倍再加1。当第一行对应数是a时，就可以按规律推导出另外两行的对应数。
【解析】
1. 计算第二行第a个位置的数：
观察第二行和第一行的对应关系：
$1×3=3$，$2×3=6$，$3×3=9$，$4×3=12$，
规律为：第二行对应数 = 第一行对应数×3，
因此第一行是a时，第二行对应数为$3×a=3a$。
2. 计算第三行第a个位置的数：
观察第三行和第一行的对应关系：
$1×3+1=4$，$2×3+1=7$，$3×3+1=10$，$4×3+1=13$，
规律为：第三行对应数 = 第一行对应数×3 + 1，
因此第一行是a时，第三行对应数为$3×a+1=3a+1$。
【答案】
3a；3a+1
【知识点】
找规律；用字母表示数
【点评】
本题是基础的规律探究题，核心是观察同列不同行数字的关联，总结规律后用字母表达式呈现，能有效锻炼观察和归纳能力。
【难度系数】
0.8
我们先观察每行数字和第一行对应位置数字的关系：首先看第二行，第1个数3对应第一行的1，3=1×3；第2个数6对应第一行的2，6=2×3；第3个数9对应第一行的3，9=3×3，可知第二行每个数都是第一行对应数的3倍。再看第三行，第1个数4对应第一行的1，4=1×3+1；第2个数7对应第一行的2，7=2×3+1；第3个数10对应第一行的3，10=3×3+1，可知第三行每个数都是第一行对应数的3倍再加1。当第一行对应数是a时，就可以按规律推导出另外两行的对应数。
【解析】
1. 计算第二行第a个位置的数：
观察第二行和第一行的对应关系：
$1×3=3$，$2×3=6$，$3×3=9$，$4×3=12$，
规律为：第二行对应数 = 第一行对应数×3，
因此第一行是a时，第二行对应数为$3×a=3a$。
2. 计算第三行第a个位置的数：
观察第三行和第一行的对应关系：
$1×3+1=4$，$2×3+1=7$，$3×3+1=10$，$4×3+1=13$，
规律为：第三行对应数 = 第一行对应数×3 + 1，
因此第一行是a时，第三行对应数为$3×a+1=3a+1$。
【答案】
3a；3a+1
【知识点】
找规律；用字母表示数
【点评】
本题是基础的规律探究题，核心是观察同列不同行数字的关联，总结规律后用字母表达式呈现，能有效锻炼观察和归纳能力。
【难度系数】
0.8
6. 新趋势 说理表达 小夏到文具店买了几支自动铅笔和几个文具盒，付给收银员100元，找回43元，小夏立刻发现了不对，你知道为什么吗？
答案
因为付100元找回43元,花了100-43=57(元),自动铅笔每支5元,文具盒每个10元,无论买几支自动铅笔和几个文具盒,总价都应是5的倍数,但57不是5的倍数,因此找回的钱数不对
解析
【分析】
解决这道题可以按照三步思路思考：第一步先算出小夏买文具实际花费的金额，用支付的总钱数减去找回的钱数即可；第二步分析两种文具的单价特点，自动铅笔单价5元、文具盒单价10元，二者都是5的倍数，因此不管各买多少，总花费一定是5的倍数；第三步判断算出的实际花费是否符合5的倍数的特征，就能判断找回的钱是否正确。
【解析】
首先计算小夏买文具的实际花费：
$100-43=57$（元）
已知自动铅笔每支5元，不管买几支，这部分花费都是5的倍数；文具盒每个10元，不管买几个，这部分花费也都是5的倍数。因此两种文具的总花费一定是5的倍数。
5的倍数的个位只能是0或者5，而57的个位是7，不是5的倍数，不符合总花费的特征，所以找回的钱数不对。
【答案】
因为付100元找回43元,花了100-43=57(元),自动铅笔每支5元,文具盒每个10元,无论买几支自动铅笔和几个文具盒,总价都应是5的倍数,但57不是5的倍数,因此找回的钱数不对
【知识点】
1.5的倍数特征 2.整数减法应用
【点评】
本题结合日常购物的生活场景，考查对倍数特征的灵活运用能力，能够引导学生学会用数学知识解决实际生活中的问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
解决这道题可以按照三步思路思考：第一步先算出小夏买文具实际花费的金额，用支付的总钱数减去找回的钱数即可；第二步分析两种文具的单价特点，自动铅笔单价5元、文具盒单价10元，二者都是5的倍数，因此不管各买多少，总花费一定是5的倍数；第三步判断算出的实际花费是否符合5的倍数的特征，就能判断找回的钱是否正确。
【解析】
首先计算小夏买文具的实际花费：
$100-43=57$（元）
已知自动铅笔每支5元，不管买几支，这部分花费都是5的倍数；文具盒每个10元，不管买几个，这部分花费也都是5的倍数。因此两种文具的总花费一定是5的倍数。
5的倍数的个位只能是0或者5，而57的个位是7，不是5的倍数，不符合总花费的特征，所以找回的钱数不对。
【答案】
因为付100元找回43元,花了100-43=57(元),自动铅笔每支5元,文具盒每个10元,无论买几支自动铅笔和几个文具盒,总价都应是5的倍数,但57不是5的倍数,因此找回的钱数不对
【知识点】
1.5的倍数特征 2.整数减法应用
【点评】
本题结合日常购物的生活场景，考查对倍数特征的灵活运用能力，能够引导学生学会用数学知识解决实际生活中的问题，实用性较强。
【难度系数】
0.7
7. 新趋势 创新应用 爸爸给手机设置了一个锁屏密码“63□□”，但他忘记了后两位数字，只记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。为了解锁，他最多需要试几次？
答案
最多需要试7次
解析:这个四位数密码是5的倍数,所以可能是63□0或63□5。如果是63□0,那么要使这个数是3的倍数,十位上的数字可能是0,3,6,9;如果是63□5,那么要使这个数是3的倍数,十位上的数字可能是1,4,7,所以这个四位数密码可能是6300,6330,6360,6390,6315,6345,6375。所以最多需要试7次。
解析:这个四位数密码是5的倍数,所以可能是63□0或63□5。如果是63□0,那么要使这个数是3的倍数,十位上的数字可能是0,3,6,9;如果是63□5,那么要使这个数是3的倍数,十位上的数字可能是1,4,7,所以这个四位数密码可能是6300,6330,6360,6390,6315,6345,6375。所以最多需要试7次。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先找出所有满足“既是5的倍数，又是3的倍数”的四位数63□□的总个数，这个总数就是最多需要尝试的次数。解题思路如下：首先根据5的倍数特征确定个位数字的两种可能，分两类讨论；再针对每一类，结合3的倍数特征找出十位上可填的所有数字；最后统计符合要求的组合总数即可。
【解析】
根据5的倍数特征，个位上是0或5的数是5的倍数，因此这个四位数分两种情况讨论：
1. 若个位是0，即密码为63□0：
3的倍数特征是各数位数字之和是3的倍数，先算已知数位的和：6+3+0=9，9已经是3的倍数，因此十位上的数只要是3的倍数就符合要求，可填0、3、6、9，共4种可能。
2. 若个位是5，即密码为63□5：
计算已知数位的和：6+3+5=14，14加上十位的数需要是3的倍数，符合要求的十位数字有1、4、7，共3种可能。
两种情况总共有4+3=7种符合要求的密码，因此最多需要试7次。
【答案】
最多需要试7次
【知识点】
5的倍数特征，3的倍数特征
【点评】
这道题结合生活中锁屏密码的实际场景，考查了数字倍数特征的应用，解题的核心是先按5的倍数特征分类，再结合3的倍数特征枚举所有情况，要注意避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先找出所有满足“既是5的倍数，又是3的倍数”的四位数63□□的总个数，这个总数就是最多需要尝试的次数。解题思路如下：首先根据5的倍数特征确定个位数字的两种可能，分两类讨论；再针对每一类，结合3的倍数特征找出十位上可填的所有数字；最后统计符合要求的组合总数即可。
【解析】
根据5的倍数特征，个位上是0或5的数是5的倍数，因此这个四位数分两种情况讨论：
1. 若个位是0，即密码为63□0：
3的倍数特征是各数位数字之和是3的倍数，先算已知数位的和：6+3+0=9，9已经是3的倍数，因此十位上的数只要是3的倍数就符合要求，可填0、3、6、9，共4种可能。
2. 若个位是5，即密码为63□5：
计算已知数位的和：6+3+5=14，14加上十位的数需要是3的倍数，符合要求的十位数字有1、4、7，共3种可能。
两种情况总共有4+3=7种符合要求的密码，因此最多需要试7次。
【答案】
最多需要试7次
【知识点】
5的倍数特征，3的倍数特征
【点评】
这道题结合生活中锁屏密码的实际场景，考查了数字倍数特征的应用，解题的核心是先按5的倍数特征分类，再结合3的倍数特征枚举所有情况，要注意避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7
