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四、解决问题。(共35分)
1. 小锦去文具店买了2个笔记本,4支中性笔和一个15元的笔袋(笔记本和中性笔的价格都是整元数)。她付了50元,营业员找回6元。小锦马上就告诉营业员找错了,她是怎么判断的？写一写。(6分)
1. 小锦去文具店买了2个笔记本,4支中性笔和一个15元的笔袋(笔记本和中性笔的价格都是整元数)。她付了50元,营业员找回6元。小锦马上就告诉营业员找错了,她是怎么判断的？写一写。(6分)
答案
1. 答：因为无论笔记本、中性笔的价格是奇数还是偶数，它们的数量都是偶数，偶数$×$任何自然数 = 偶数。15是奇数，偶数 + 奇数 = 奇数。50是偶数，偶数 - 奇数 = 奇数，而6是偶数，所以肯定是营业员找错了。(理由合理即可)
解析 利用两数和、差、积的奇偶性来解答本题即可。
解析 利用两数和、差、积的奇偶性来解答本题即可。
解析
【分析】
要判断营业员是否找错钱，核心是通过数的奇偶性来推导购买物品总花费的奇偶性，再与付款减找回钱数的结果对比。首先分析各物品总价的奇偶性：2个笔记本、4支中性笔的数量都是偶数，根据“偶数×任何自然数=偶数”，这两类物品的总价均为偶数；笔袋价格15元是奇数。接着利用奇偶性加法规律：偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，可知总花费应为奇数。再看付款与找回钱数的关系，50是偶数，偶数-找回的钱数=总花费，若找回6元（偶数），则总花费为50-6=44元（偶数），与推导的总花费为奇数矛盾，因此小锦能判断找错了。
【解析】
1. 计算若找回6元时的总花费：
$50 - 6 = 44$（元）
2. 分析各物品总价的奇偶性：
2个笔记本：数量为偶数，无论单价是奇数还是偶数，根据“偶数×任何自然数=偶数”，笔记本总价为偶数；
4支中性笔：数量为偶数，同理中性笔总价为偶数；
笔袋价格15元，属于奇数。
3. 推导总花费的奇偶性：
偶数（笔记本总价）+偶数（中性笔总价）=偶数，偶数+奇数（笔袋价格）=奇数，即总花费应为奇数。
4. 对比奇偶性：
若找回6元，总花费为44元（偶数），与推导的总花费应为奇数矛盾，所以营业员找错了。
【答案】
因为无论笔记本、中性笔的价格是奇数还是偶数，它们的数量都是偶数，偶数×任何自然数=偶数。15是奇数，偶数+奇数=奇数。50是偶数，偶数-奇数=奇数，而6是偶数，所以肯定是营业员找错了。
【知识点】
数的奇偶性应用
【点评】
本题考查数的奇偶性在实际场景中的运用，要求学生熟练掌握奇偶性的运算规律，通过逻辑推导判断结果合理性，锻炼知识迁移与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
要判断营业员是否找错钱，核心是通过数的奇偶性来推导购买物品总花费的奇偶性，再与付款减找回钱数的结果对比。首先分析各物品总价的奇偶性：2个笔记本、4支中性笔的数量都是偶数，根据“偶数×任何自然数=偶数”，这两类物品的总价均为偶数；笔袋价格15元是奇数。接着利用奇偶性加法规律：偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，可知总花费应为奇数。再看付款与找回钱数的关系，50是偶数，偶数-找回的钱数=总花费，若找回6元（偶数），则总花费为50-6=44元（偶数），与推导的总花费为奇数矛盾，因此小锦能判断找错了。
【解析】
1. 计算若找回6元时的总花费：
$50 - 6 = 44$（元）
2. 分析各物品总价的奇偶性：
2个笔记本：数量为偶数，无论单价是奇数还是偶数，根据“偶数×任何自然数=偶数”，笔记本总价为偶数；
4支中性笔：数量为偶数，同理中性笔总价为偶数；
笔袋价格15元，属于奇数。
3. 推导总花费的奇偶性：
偶数（笔记本总价）+偶数（中性笔总价）=偶数，偶数+奇数（笔袋价格）=奇数，即总花费应为奇数。
4. 对比奇偶性：
若找回6元，总花费为44元（偶数），与推导的总花费应为奇数矛盾，所以营业员找错了。
【答案】
因为无论笔记本、中性笔的价格是奇数还是偶数，它们的数量都是偶数，偶数×任何自然数=偶数。15是奇数，偶数+奇数=奇数。50是偶数，偶数-奇数=奇数，而6是偶数，所以肯定是营业员找错了。
【知识点】
数的奇偶性应用
【点评】
本题考查数的奇偶性在实际场景中的运用，要求学生熟练掌握奇偶性的运算规律，通过逻辑推导判断结果合理性，锻炼知识迁移与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4
2.
(1)有三种包装盒,规格如上表。要装下这件礼品,应选第(
(2)制作第(1)题中选择的包装盒至少需要多少平方分米的纸板？(7分)
(1)有三种包装盒,规格如上表。要装下这件礼品,应选第(
二
)种包装盒。(3分)(2)制作第(1)题中选择的包装盒至少需要多少平方分米的纸板？(7分)
答案
2. (1)二
解析 本题需要包装盒的长、宽、高分别大于礼品对应的尺寸，$30 ＞ 25$，$20 ＞ 18$，$15 ＞ 12$，所以应选第二种包装盒。
(2)$(30×20 + 20×15 + 30×15)×2 = 2700(\mathrm{cm^{2}})$
$2700\ \mathrm{cm^{2}} = 27\ \mathrm{dm^{2}}$
答：制作第(1)题中选择的包装盒至少需要$27\ \mathrm{dm^{2}}$的纸板。
解析 根据长方体的表面积计算公式计算。
解析 本题需要包装盒的长、宽、高分别大于礼品对应的尺寸，$30 ＞ 25$，$20 ＞ 18$，$15 ＞ 12$，所以应选第二种包装盒。
(2)$(30×20 + 20×15 + 30×15)×2 = 2700(\mathrm{cm^{2}})$
$2700\ \mathrm{cm^{2}} = 27\ \mathrm{dm^{2}}$
答：制作第(1)题中选择的包装盒至少需要$27\ \mathrm{dm^{2}}$的纸板。
解析 根据长方体的表面积计算公式计算。
解析
【分析】
第(1)问：要装下礼品，需保证包装盒的长、宽、高分别大于礼品对应的尺寸。先明确礼品的尺寸：最高处为25cm，底座长18cm、宽12cm，再将三种包装盒的长×宽×高分别与礼品尺寸对比，筛选出能容纳礼品的包装盒。
第(2)问：制作包装盒所需纸板面积就是该长方体包装盒的表面积，利用长方体表面积公式计算后，进行单位换算即可得到结果。
【解析】
(1) 礼品的尺寸：高度25cm，底座长18cm，宽12cm。
对比三种包装盒：
第一种：$30×15×15$，其中高15cm＜25cm，无法装下礼品；
第二种：$30×20×15$，$30\mathrm{cm}＞25\mathrm{cm}$，$20\mathrm{cm}＞18\mathrm{cm}$，$15\mathrm{cm}＞12\mathrm{cm}$，三个维度均满足容纳要求；
第三种：$20×15×20$，其中长20cm＜25cm，高度不足，无法装下礼品。
因此应选第二种包装盒。
(2) 根据长方体表面积公式$S=(长×宽 + 宽×高 + 长×高)×2$，代入第二种包装盒的尺寸：
$\begin{split}&(30×20 + 20×15 + 30×15)×2\\=&(600 + 300 + 450)×2\\=&1350×2\\=&2700(\mathrm{cm^{2}})\end{split}$
因为$1\mathrm{dm^{2}}=100\mathrm{cm^{2}}$，所以$2700\mathrm{cm^{2}}=27\mathrm{dm^{2}}$
【答案】
(1) 二
(2) 制作第(1)题中选择的包装盒至少需要$27\ \mathrm{dm^{2}}$的纸板。
【知识点】
长方体特征、长方体表面积计算、面积单位换算
【点评】
本题结合实际包装场景考查长方体的相关知识，第一问需结合实际需求筛选合适的包装盒，第二问需熟练运用长方体表面积公式，同时注意单位换算的准确性，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问：要装下礼品，需保证包装盒的长、宽、高分别大于礼品对应的尺寸。先明确礼品的尺寸：最高处为25cm，底座长18cm、宽12cm，再将三种包装盒的长×宽×高分别与礼品尺寸对比，筛选出能容纳礼品的包装盒。
第(2)问：制作包装盒所需纸板面积就是该长方体包装盒的表面积，利用长方体表面积公式计算后，进行单位换算即可得到结果。
【解析】
(1) 礼品的尺寸：高度25cm，底座长18cm，宽12cm。
对比三种包装盒：
第一种：$30×15×15$，其中高15cm＜25cm，无法装下礼品；
第二种：$30×20×15$，$30\mathrm{cm}＞25\mathrm{cm}$，$20\mathrm{cm}＞18\mathrm{cm}$，$15\mathrm{cm}＞12\mathrm{cm}$，三个维度均满足容纳要求；
第三种：$20×15×20$，其中长20cm＜25cm，高度不足，无法装下礼品。
因此应选第二种包装盒。
(2) 根据长方体表面积公式$S=(长×宽 + 宽×高 + 长×高)×2$，代入第二种包装盒的尺寸：
$\begin{split}&(30×20 + 20×15 + 30×15)×2\\=&(600 + 300 + 450)×2\\=&1350×2\\=&2700(\mathrm{cm^{2}})\end{split}$
因为$1\mathrm{dm^{2}}=100\mathrm{cm^{2}}$，所以$2700\mathrm{cm^{2}}=27\mathrm{dm^{2}}$
【答案】
(1) 二
(2) 制作第(1)题中选择的包装盒至少需要$27\ \mathrm{dm^{2}}$的纸板。
【知识点】
长方体特征、长方体表面积计算、面积单位换算
【点评】
本题结合实际包装场景考查长方体的相关知识，第一问需结合实际需求筛选合适的包装盒，第二问需熟练运用长方体表面积公式，同时注意单位换算的准确性，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 李强为了比较土豆和红薯的体积做了如下实验。(玻璃的厚度不计,单位:cm)
谁的体积更大？大了多少立方厘米？(8分)
谁的体积更大？大了多少立方厘米？(8分)
答案
3. 方法一：$12×8×(9.5 - 8) = 144(\mathrm{cm^{3}})$
$12×8×(12 - 9.5) = 240(\mathrm{cm^{3}})$
$240 ＞ 144$ $240 - 144 = 96(\mathrm{cm^{3}})$
方法二：$9.5 - 8 = 1.5(\mathrm{cm})$
$12 - 9.5 = 2.5(\mathrm{cm})$ $2.5 ＞ 1.5$
$12×8×(2.5 - 1.5) = 96(\mathrm{cm^{3}})$
答：红薯的体积更大，大了$96\ \mathrm{cm^{3}}$。
解析 用“排水法”求不规则物体的体积时，上升部分水的体积就是不规则物体的体积。
注意：因为是放入土豆后再放的红薯，所以放入红薯后水面上升的高度为$(12 - 9.5)\mathrm{cm}$。
方法一 分别求出土豆和红薯的体积，进行比较和计算即可得出答案。
方法二 因为上升部分水的底面积相同，所以只比较两次上升部分的水的高度即可。底面积乘高度差所得的积即为红薯比土豆大的体积。
$12×8×(12 - 9.5) = 240(\mathrm{cm^{3}})$
$240 ＞ 144$ $240 - 144 = 96(\mathrm{cm^{3}})$
方法二：$9.5 - 8 = 1.5(\mathrm{cm})$
$12 - 9.5 = 2.5(\mathrm{cm})$ $2.5 ＞ 1.5$
$12×8×(2.5 - 1.5) = 96(\mathrm{cm^{3}})$
答：红薯的体积更大，大了$96\ \mathrm{cm^{3}}$。
解析 用“排水法”求不规则物体的体积时，上升部分水的体积就是不规则物体的体积。
注意：因为是放入土豆后再放的红薯，所以放入红薯后水面上升的高度为$(12 - 9.5)\mathrm{cm}$。
方法一 分别求出土豆和红薯的体积，进行比较和计算即可得出答案。
方法二 因为上升部分水的底面积相同，所以只比较两次上升部分的水的高度即可。底面积乘高度差所得的积即为红薯比土豆大的体积。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“排水法”的原理：不规则物体的体积等于放入物体后上升部分水的体积。首先观察容器是长方体，底面积固定为$12×8$平方厘米。我们可以分别求出土豆和红薯放入后水面上升的高度，再结合长方体体积公式计算出两者的体积，之后比较大小并求出体积差；也可以利用底面积相同的特点，先比较水面上升的高度，再用底面积乘高度差直接得到体积差。
【解析】
方法一：
1. 计算土豆的体积：放入土豆后水面从$8\mathrm{cm}$上升到$9.5\mathrm{cm}$，上升高度为$9.5 - 8 = 1.5(\mathrm{cm})$，根据长方体体积公式，土豆体积为$12×8×1.5 = 144(\mathrm{cm^{3}})$。
2. 计算红薯的体积：放入红薯后水面从$9.5\mathrm{cm}$上升到$12\mathrm{cm}$，上升高度为$12 - 9.5 = 2.5(\mathrm{cm})$，红薯体积为$12×8×2.5 = 240(\mathrm{cm^{3}})$。
3. 比较体积并求差值：因为$240＞144$，所以红薯体积更大，体积差为$240 - 144 = 96(\mathrm{cm^{3}})$。
方法二：
1. 计算两次水面上升的高度：土豆使水面上升$9.5 - 8 = 1.5(\mathrm{cm})$，红薯使水面上升$12 - 9.5 = 2.5(\mathrm{cm})$。
2. 比较上升高度：$2.5＞1.5$，说明红薯体积更大。
3. 计算体积差：由于容器底面积相同，体积差等于底面积乘高度差，即$12×8×(2.5 - 1.5) = 96(\mathrm{cm^{3}})$。
答：红薯的体积更大，大了$96\ \mathrm{cm^{3}}$。
【答案】
红薯的体积更大，大了$96\ \mathrm{cm^{3}}$。
【知识点】
排水法求体积、长方体体积计算
【点评】
本题考查排水法在求不规则物体体积中的应用，关键是要准确判断每个物体放入后水面上升的高度，避免混淆两次水面上升的起始高度。两种方法可以灵活选择，方法二更简便，利用底面积相同的特点简化计算。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用“排水法”的原理：不规则物体的体积等于放入物体后上升部分水的体积。首先观察容器是长方体，底面积固定为$12×8$平方厘米。我们可以分别求出土豆和红薯放入后水面上升的高度，再结合长方体体积公式计算出两者的体积，之后比较大小并求出体积差；也可以利用底面积相同的特点，先比较水面上升的高度，再用底面积乘高度差直接得到体积差。
【解析】
方法一：
1. 计算土豆的体积：放入土豆后水面从$8\mathrm{cm}$上升到$9.5\mathrm{cm}$，上升高度为$9.5 - 8 = 1.5(\mathrm{cm})$，根据长方体体积公式，土豆体积为$12×8×1.5 = 144(\mathrm{cm^{3}})$。
2. 计算红薯的体积：放入红薯后水面从$9.5\mathrm{cm}$上升到$12\mathrm{cm}$，上升高度为$12 - 9.5 = 2.5(\mathrm{cm})$，红薯体积为$12×8×2.5 = 240(\mathrm{cm^{3}})$。
3. 比较体积并求差值：因为$240＞144$，所以红薯体积更大，体积差为$240 - 144 = 96(\mathrm{cm^{3}})$。
方法二：
1. 计算两次水面上升的高度：土豆使水面上升$9.5 - 8 = 1.5(\mathrm{cm})$，红薯使水面上升$12 - 9.5 = 2.5(\mathrm{cm})$。
2. 比较上升高度：$2.5＞1.5$，说明红薯体积更大。
3. 计算体积差：由于容器底面积相同，体积差等于底面积乘高度差，即$12×8×(2.5 - 1.5) = 96(\mathrm{cm^{3}})$。
答：红薯的体积更大，大了$96\ \mathrm{cm^{3}}$。
【答案】
红薯的体积更大，大了$96\ \mathrm{cm^{3}}$。
【知识点】
排水法求体积、长方体体积计算
【点评】
本题考查排水法在求不规则物体体积中的应用，关键是要准确判断每个物体放入后水面上升的高度，避免混淆两次水面上升的起始高度。两种方法可以灵活选择，方法二更简便，利用底面积相同的特点简化计算。
【难度系数】
0.6
4. 如图,笑笑家有甲、乙两个不同规格的带盖收纳盒,她想把家里散落的小包纸巾分别放入这两个收纳盒中。(纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压,图中单位:cm)
(1)甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？(5分)
(2)尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾,你可以放置多少包？下面左图是笑笑的想法。
你同意笑笑的想法吗？若同意,请写出理由;若不同意,你可以放置多少包？(6分)
(1)甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？(5分)
(2)尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾,你可以放置多少包？下面左图是笑笑的想法。
你同意笑笑的想法吗？若同意,请写出理由;若不同意,你可以放置多少包？(6分)
答案
4. (1)$15÷5 = 3$(包)
$14÷7 = 2$(包)
$6÷3 = 2$(包)
$3×2×2 = 12$(包)
答：甲收纳盒中最多可以放置12包纸巾。
(2)我不同意笑笑的想法。
方法一：$15÷5 = 3$(包)
$17÷7 = 2$(包)$······3(\mathrm{cm})$
$4÷3 = 1$(包)$······1(\mathrm{cm})$
$3×2×1 = 6$(包)
答：我可以放置6包。
方法二：$4 ＞ 3$，就看$17\ \mathrm{cm}×15\ \mathrm{cm}$里面最多有多少个$7\ \mathrm{cm}×5\ \mathrm{cm}$，如图。
答：我可以放置7包。
解析 不能挤压的情况下不能直接用体积相除计算。根据情况可采用下面这两种方法计算。
方法一 找出倍数关系，看收纳盒的长、宽、高分别可以放置几包纸巾，再相乘。
方法二 ● 先整体感知：$3 ＜ 4 ＜ 3×2$且$4 ＜ 5 ＜ 7$，也就是乙收纳盒的高度只比纸巾的高度略大，比纸巾的长和宽都小，所以纸巾只能水平放置一层。由此我们可把立体的问题平面化，看$17\ \mathrm{cm}×15\ \mathrm{cm}$的长方形最多可以分成多少个$7\ \mathrm{cm}×5\ \mathrm{cm}$的长方形。
● 再估一估：$(17×15)÷(7×5)\approx7.3$，也就是乙收纳盒最多可能放置7包纸巾。
● 最后再来构造一下：$17 = 7 + 5 + 5$，把长分成三份能够最大化地利用收纳盒的空间，如右图。
注：第(2)题，算出可以放置6包纸巾得5分，算出可以放置7包纸巾得6分。
解析
【分析】
1. 第(1)问：要确定甲收纳盒最多放多少包纸巾，由于纸巾不能挤压，需分别计算甲收纳盒的长、宽、高各能容纳纸巾对应维度的数量，即收纳盒的长、宽、高分别除以纸巾的对应边长，得到每个方向可放的包数，最后将三个方向的数量相乘得到总数量。
2. 第(2)问：首先判断笑笑的想法是否合理，需分析乙收纳盒与纸巾的尺寸关系。乙收纳盒高度4cm大于纸巾高度3cm，但小于纸巾的长7cm和宽5cm，因此纸巾只能水平放置一层，可将立体问题转化为平面问题，考虑乙收纳盒底面最多能放下多少个纸巾的底面，除常规摆放外，还要寻找更节省空间的摆放组合来最大化利用空间。
【解析】
(1) 计算甲收纳盒各方向可放纸巾数量：
甲收纳盒长15cm对应纸巾宽5cm：$15÷5 = 3$(包)
甲收纳盒宽14cm对应纸巾长7cm：$14÷7 = 2$(包)
甲收纳盒高6cm对应纸巾高3cm：$6÷3 = 2$(包)
总数量：$3×2×2 = 12$(包)
(2) 我不同意笑笑的想法。
方法一：常规维度对应计算
乙收纳盒长15cm对应纸巾宽5cm：$15÷5 = 3$(包)
乙收纳盒宽17cm对应纸巾长7cm：$17÷7 = 2$(包)$······3(\mathrm{cm})$
乙收纳盒高4cm对应纸巾高3cm：$4÷3 = 1$(包)$······1(\mathrm{cm})$
总数量：$3×2×1 = 6$(包)
方法二：立体问题平面化，最大化利用空间
因为乙收纳盒高度仅能容纳纸巾水平放置一层，只需看$17\ \mathrm{cm}×15\ \mathrm{cm}$的底面最多能放多少个$7\ \mathrm{cm}×5\ \mathrm{cm}$的纸巾底面。通过构造摆放$17 = 7 + 5 + 5$，可摆放7包纸巾，如图：
【答案】
(1) 甲收纳盒中最多可以放置12包纸巾。
(2) 我不同意笑笑的想法。
方法一：可以放置6包。
方法二：可以放置7包，如图：
【知识点】
长方体空间利用、整数除法应用、空间优化策略
【点评】
本题考查长方体空间的实际应用，不能直接通过体积相除计算放置数量，需结合实际摆放情况分析。第(1)问较为基础，按维度对应计算即可；第(2)问需要较强的空间想象能力，灵活转换思路，将立体问题平面化，找到空间利用最大化的摆放方式，培养学生的实际应用与优化思维。
【难度系数】
0.4
1. 第(1)问：要确定甲收纳盒最多放多少包纸巾，由于纸巾不能挤压，需分别计算甲收纳盒的长、宽、高各能容纳纸巾对应维度的数量，即收纳盒的长、宽、高分别除以纸巾的对应边长，得到每个方向可放的包数，最后将三个方向的数量相乘得到总数量。
2. 第(2)问：首先判断笑笑的想法是否合理，需分析乙收纳盒与纸巾的尺寸关系。乙收纳盒高度4cm大于纸巾高度3cm，但小于纸巾的长7cm和宽5cm，因此纸巾只能水平放置一层，可将立体问题转化为平面问题，考虑乙收纳盒底面最多能放下多少个纸巾的底面，除常规摆放外，还要寻找更节省空间的摆放组合来最大化利用空间。
【解析】
(1) 计算甲收纳盒各方向可放纸巾数量：
甲收纳盒长15cm对应纸巾宽5cm：$15÷5 = 3$(包)
甲收纳盒宽14cm对应纸巾长7cm：$14÷7 = 2$(包)
甲收纳盒高6cm对应纸巾高3cm：$6÷3 = 2$(包)
总数量：$3×2×2 = 12$(包)
(2) 我不同意笑笑的想法。
方法一：常规维度对应计算
乙收纳盒长15cm对应纸巾宽5cm：$15÷5 = 3$(包)
乙收纳盒宽17cm对应纸巾长7cm：$17÷7 = 2$(包)$······3(\mathrm{cm})$
乙收纳盒高4cm对应纸巾高3cm：$4÷3 = 1$(包)$······1(\mathrm{cm})$
总数量：$3×2×1 = 6$(包)
方法二：立体问题平面化，最大化利用空间
因为乙收纳盒高度仅能容纳纸巾水平放置一层，只需看$17\ \mathrm{cm}×15\ \mathrm{cm}$的底面最多能放多少个$7\ \mathrm{cm}×5\ \mathrm{cm}$的纸巾底面。通过构造摆放$17 = 7 + 5 + 5$，可摆放7包纸巾，如图：
【答案】
(1) 甲收纳盒中最多可以放置12包纸巾。
(2) 我不同意笑笑的想法。
方法一：可以放置6包。
方法二：可以放置7包，如图：
【知识点】
长方体空间利用、整数除法应用、空间优化策略
【点评】
本题考查长方体空间的实际应用，不能直接通过体积相除计算放置数量，需结合实际摆放情况分析。第(1)问较为基础，按维度对应计算即可；第(2)问需要较强的空间想象能力，灵活转换思路，将立体问题平面化，找到空间利用最大化的摆放方式，培养学生的实际应用与优化思维。
【难度系数】
0.4
