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11. 一游泳池长 90 m，甲、乙二人分别在游泳池相对的两边同时朝另一边游泳，甲的速度是 3 m/s，乙的速度是 2 m/s，下图中的实线和虚线分别为甲、乙与游泳池一边的距离随游泳时间的变化而变化的图象。若不计转向时间，则从开始起到 5 min 止，他们相遇的次数为(
A.8
B.7
C.6
D.5
A
)。A.8
B.7
C.6
D.5
答案
11. A
解析
解：甲速度$v_甲=3\,\mathrm{m/s}$，乙速度$v_乙=2\,\mathrm{m/s}$，泳池长$90\,\mathrm{m}$。
首次相遇：$(3 + 2)t_1=90$，$t_1=18\,\mathrm{s}$。
之后每次相遇需共游$2×90=180\,\mathrm{m}$，时间间隔$\Delta t=\frac{180}{3 + 2}=36\,\mathrm{s}$。
总时间$5\,\mathrm{min}=300\,\mathrm{s}$，相遇次数$n$满足：$18 + (n - 1)×36≤300$，解得$n≤8.05$，故$n=8$。
答案：A
首次相遇：$(3 + 2)t_1=90$，$t_1=18\,\mathrm{s}$。
之后每次相遇需共游$2×90=180\,\mathrm{m}$，时间间隔$\Delta t=\frac{180}{3 + 2}=36\,\mathrm{s}$。
总时间$5\,\mathrm{min}=300\,\mathrm{s}$，相遇次数$n$满足：$18 + (n - 1)×36≤300$，解得$n≤8.05$，故$n=8$。
答案：A
12. 某自行车厂甲、乙两名工人生产同种零件，2 小时后，甲的机器出现故障进行维修，乙加速生产，他们每人生产零件 y(个)与生产时间 t(时)的关系如图所示。根据图象回答：
(1) 2 小时后，乙每小时生产几个零件?
(2) 经过多少小时，乙生产零件 25 个?
(3) 甲维修好机器后，每小时生产几个零件?
(4) 甲维修好机器后，t 为多少时，甲与乙生产的零件一样多?
(1) 2 小时后，乙每小时生产几个零件?
(2) 经过多少小时，乙生产零件 25 个?
(3) 甲维修好机器后，每小时生产几个零件?
(4) 甲维修好机器后，t 为多少时，甲与乙生产的零件一样多?
答案
12. 解：（1）由图象可知：2小时后，乙每小时生产(40−4)÷(8−2)=6（个）零件。
（2）(25−4)÷6=3.5（小时），3.5+2=5.5（小时）。
即经过5.5小时，乙生产零件25个。
（3）甲维修好机器后，每小时生产(40−10)÷(7−5)=15（个）零件。
（4）设甲维修好机器后，经过$x$小时，甲与乙生产的零件一样多。
由题意可知，
$\begin{aligned}10 + 15x &= 4 + 6(3 + x)\\10+15x&=22+6x\\9x&=12\\x&=\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
$t=5+\dfrac{4}{3}=\dfrac{19}{3}$
即t为$\dfrac{19}{3}$时，甲与乙生产的零件一样多。
（2）(25−4)÷6=3.5（小时），3.5+2=5.5（小时）。
即经过5.5小时，乙生产零件25个。
（3）甲维修好机器后，每小时生产(40−10)÷(7−5)=15（个）零件。
（4）设甲维修好机器后，经过$x$小时，甲与乙生产的零件一样多。
由题意可知，
$\begin{aligned}10 + 15x &= 4 + 6(3 + x)\\10+15x&=22+6x\\9x&=12\\x&=\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
$t=5+\dfrac{4}{3}=\dfrac{19}{3}$
即t为$\dfrac{19}{3}$时，甲与乙生产的零件一样多。
解析
【分析】
这是一道结合分段函数图像的工程实际应用题，解题思路是先从图像中提取每个阶段对应的时间、总产量信息，再结合工程问题“工作效率=工作总量÷工作时间”的关系逐步求解：
1. 第一问：先定位t=2和t=8时刻乙的总产量，算出2小时后乙的工作总时长和对应新增总产量，相除得到每小时产量；
2. 第二问：先减去乙前2小时的产量，算出2小时后乙需要额外生产的零件数，除以乙2小时后的工作效率，得到后续所需时间，加上前2小时就是总时间；
3. 第三问：先定位甲维修结束（t=5）和完成全部40个零件（t=7）的时刻，算出甲维修后新增总产量和对应工作时长，相除得到甲维修后的每小时产量；
4. 第四问：设甲恢复生产后经过x小时两人产量相等，分别表示出此时甲、乙的总产量，列一元一次方程求解，再加上甲恢复生产的时刻t=5，得到最终的t值。
【解析】
解：
(1) 由图像可知，t=2时乙生产零件4个，t=8时乙生产零件40个，
2小时后乙的工作时长为小时，新增零件数为个，
因此乙每小时生产零件数为个。
(2) 乙生产25个零件时，减去前2小时生产的4个，剩余待生产零件数为个，
2小时后乙每小时生产6个，后续所需时间为小时，
总时间为小时。
(3) 由图像可知，甲在t=2到t=5期间处于维修状态，总产量保持10个不变，t=7时甲完成全部40个零件，
甲维修好后工作时长为小时，新增零件数为个，
因此甲维修好后每小时生产零件数为个。
(4) 设甲维修好机器后，经过小时，甲与乙生产的零件一样多，
此时甲的总产量为，乙的总产量为，
列方程得：$\begin{aligned}10 + 15x &= 4 + 6(3 + x)\\10+15x&=22+6x\\9x&=12\\x&=\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
$t=5+\dfrac{4}{3}=\dfrac{19}{3}$
答：$t$为$\dfrac{19}{3}$时，甲与乙生产的零件一样多。
【答案】
(1) 6个；(2) 5.5小时；(3) 15个；(4) 小时
【知识点】
函数图像解读，工程效率计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是分段函数在生产实际中的典型应用，核心考点是从图像中准确提取不同阶段的时间、产量信息，区分甲乙两人不同阶段的工作状态，易错点是列方程时容易搞错乙的累计工作时长，需要注意甲恢复生产的时刻是t=5，此时乙已经在加速阶段生产了3小时，避免时间计算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道结合分段函数图像的工程实际应用题，解题思路是先从图像中提取每个阶段对应的时间、总产量信息，再结合工程问题“工作效率=工作总量÷工作时间”的关系逐步求解：
1. 第一问：先定位t=2和t=8时刻乙的总产量，算出2小时后乙的工作总时长和对应新增总产量，相除得到每小时产量；
2. 第二问：先减去乙前2小时的产量，算出2小时后乙需要额外生产的零件数，除以乙2小时后的工作效率，得到后续所需时间，加上前2小时就是总时间；
3. 第三问：先定位甲维修结束（t=5）和完成全部40个零件（t=7）的时刻，算出甲维修后新增总产量和对应工作时长，相除得到甲维修后的每小时产量；
4. 第四问：设甲恢复生产后经过x小时两人产量相等，分别表示出此时甲、乙的总产量，列一元一次方程求解，再加上甲恢复生产的时刻t=5，得到最终的t值。
【解析】
解：
(1) 由图像可知，t=2时乙生产零件4个，t=8时乙生产零件40个，
2小时后乙的工作时长为小时，新增零件数为个，
因此乙每小时生产零件数为个。
(2) 乙生产25个零件时，减去前2小时生产的4个，剩余待生产零件数为个，
2小时后乙每小时生产6个，后续所需时间为小时，
总时间为小时。
(3) 由图像可知，甲在t=2到t=5期间处于维修状态，总产量保持10个不变，t=7时甲完成全部40个零件，
甲维修好后工作时长为小时，新增零件数为个，
因此甲维修好后每小时生产零件数为个。
(4) 设甲维修好机器后，经过小时，甲与乙生产的零件一样多，
此时甲的总产量为，乙的总产量为，
列方程得：$\begin{aligned}10 + 15x &= 4 + 6(3 + x)\\10+15x&=22+6x\\9x&=12\\x&=\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
$t=5+\dfrac{4}{3}=\dfrac{19}{3}$
答：$t$为$\dfrac{19}{3}$时，甲与乙生产的零件一样多。
【答案】
(1) 6个；(2) 5.5小时；(3) 15个；(4) 小时
【知识点】
函数图像解读，工程效率计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是分段函数在生产实际中的典型应用，核心考点是从图像中准确提取不同阶段的时间、产量信息，区分甲乙两人不同阶段的工作状态，易错点是列方程时容易搞错乙的累计工作时长，需要注意甲恢复生产的时刻是t=5，此时乙已经在加速阶段生产了3小时，避免时间计算错误。
【难度系数】
0.6
