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10 (2025 扬州高邮期末)定义一种新运算 $ M(x,y)=axy+by+3 $(其中 $ a,b $ 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：$ M(1,0)=a×1×0+b×0+3=3 $. 已知 $ M(3,1)=11 $，$ M(-1,3)=-9 $.
(1) 求 $ a,b $ 的值；
(2) 若 $ x=3 $ 是 $ M(x,2)≥ 5-2c $ 的一个解，求 $ c $ 的取值范围.
(1) 求 $ a,b $ 的值；
(2) 若 $ x=3 $ 是 $ M(x,2)≥ 5-2c $ 的一个解，求 $ c $ 的取值范围.
答案
10. 解：（1）根据题意，得 $ \begin{cases} 3a + b + 3 = 11, \\ -3a + 3b + 3 = -9, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 3, \\ b = -1, \end{cases} $
所以 $ a $ 的值为 3，$ b $ 的值为 $ -1 $.
（2）因为 $ M(x, 2) ≥ 5 - 2c $，
所以 $ 6x - 2 + 3 ≥ 5 - 2c $，解得 $ x ≥ \frac{2 - c}{3} $.
因为 $ x = 3 $ 是 $ M(x, 2) ≥ 5 - 2c $ 的一个解，
所以 $ \frac{2 - c}{3} ≤ 3 $，解得 $ c ≥ -7 $.
所以 $ a $ 的值为 3，$ b $ 的值为 $ -1 $.
（2）因为 $ M(x, 2) ≥ 5 - 2c $，
所以 $ 6x - 2 + 3 ≥ 5 - 2c $，解得 $ x ≥ \frac{2 - c}{3} $.
因为 $ x = 3 $ 是 $ M(x, 2) ≥ 5 - 2c $ 的一个解，
所以 $ \frac{2 - c}{3} ≤ 3 $，解得 $ c ≥ -7 $.
11 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases}2x+y=3k,\\x-y=6\end{cases} $，$ k $ 为常数.
(1) 若该方程组的解 $ x,y $ 满足 $ 4x-y＜4 $，求 $ k $ 的取值范围；
(2) 若该方程组的解 $ x,y $ 均为正整数，且 $ k≤ 6 $，求该方程组的解.
(1) 若该方程组的解 $ x,y $ 满足 $ 4x-y＜4 $，求 $ k $ 的取值范围；
(2) 若该方程组的解 $ x,y $ 均为正整数，且 $ k≤ 6 $，求该方程组的解.
答案
11. 解：（1）$ \begin{cases} 2x + y = 3k ①, \\ x - y = 6 ②, \end{cases} $
由① + ② × 2，得 $ 4x - y = 3k + 12 $.
因为方程组的解 $ x $，$ y $ 满足 $ 4x - y ＜ 4 $，
所以 $ 3k + 12 ＜ 4 $，
解得 $ k ＜ -\frac{8}{3} $，
所以 $ k $ 的取值范围是 $ k ＜ -\frac{8}{3} $.
（2）解方程组，得 $ \begin{cases} x = k + 2, \\ y = k - 4. \end{cases} $
因为方程组的解 $ x $，$ y $ 均为正整数，
所以 $ y = k - 4 ＞ 0 $，所以 $ k ＞ 4 $.
又因为 $ k ≤ 6 $，所以 $ k = 5 $ 或 $ k = 6 $.
当 $ k = 5 $ 时，方程组的解为 $ \begin{cases} x = 7, \\ y = 1; \end{cases} $
当 $ k = 6 $ 时，方程组的解为 $ \begin{cases} x = 8, \\ y = 2. \end{cases} $
由① + ② × 2，得 $ 4x - y = 3k + 12 $.
因为方程组的解 $ x $，$ y $ 满足 $ 4x - y ＜ 4 $，
所以 $ 3k + 12 ＜ 4 $，
解得 $ k ＜ -\frac{8}{3} $，
所以 $ k $ 的取值范围是 $ k ＜ -\frac{8}{3} $.
（2）解方程组，得 $ \begin{cases} x = k + 2, \\ y = k - 4. \end{cases} $
因为方程组的解 $ x $，$ y $ 均为正整数，
所以 $ y = k - 4 ＞ 0 $，所以 $ k ＞ 4 $.
又因为 $ k ≤ 6 $，所以 $ k = 5 $ 或 $ k = 6 $.
当 $ k = 5 $ 时，方程组的解为 $ \begin{cases} x = 7, \\ y = 1; \end{cases} $
当 $ k = 6 $ 时，方程组的解为 $ \begin{cases} x = 8, \\ y = 2. \end{cases} $
12 (2025 宿迁沭阳期末)运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 $ x $”到“结果是否 $ ＞95 $”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么 $ x $ 的取值范围是 (
A.$ x＞23 $
B.$ 23＜x≤ 47 $
C.$ 11≤ x＜23 $
D.$ x＜47 $
B
)A.$ x＞23 $
B.$ 23＜x≤ 47 $
C.$ 11≤ x＜23 $
D.$ x＜47 $
答案
12. B
13 (2025 扬州江都期末)已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}x-2y=m,\\2x+3y=2m+4\end{cases}$ 的解满足不等式组 $ \begin{cases}3x+y≤ 0,\\x+5y＞0,\end{cases}$ 则满足条件的 $ m $ 的整数值为 ______ .
答案
13. $ -3 $，$ -2 $
14 对于三个数 $ a,b,c $，我们规定 $ M\{a,b,c\} $ 表示这三个数的平均数，用 $ \min\{a,b,c\} $ 表示这三个数中最小的数. 例如：$ M\{-1,2,3\}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3} $，$ \min\{-1,2,3\}=-1 $，若 $ M\{4,2x+3,4x-4\}=\min\{3,-x+5,6x\} $，则 $ x $ 的值为
$ \frac{1}{4} $ 或 1
.答案
14. $ \frac{1}{4} $ 或 1
15 解不等式组：
(1) (2025 陕西) $ \begin{cases}x+3＜5,\\2(x+1)＞x-1;\end{cases} $
(2) (2025 苏州) $ \begin{cases}3x+1＞x-3,\frac{x-1}{2}＞\frac{x}{3}.\end{cases} $
(1) (2025 陕西) $ \begin{cases}x+3＜5,\\2(x+1)＞x-1;\end{cases} $
(2) (2025 苏州) $ \begin{cases}3x+1＞x-3,\frac{x-1}{2}＞\frac{x}{3}.\end{cases} $
答案
15. 解：（1）$ \begin{cases} x + 3 ＜ 5 ①, \\ 2(x + 1) ＞ x - 1 ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＜ 2 $.
解不等式②，得 $ x ＞ -3 $，
所以原不等式组的解集为 $ -3 ＜ x ＜ 2 $.
（2）$ \begin{cases} 3x + 1 ＞ x - 3 ①, \\ \frac{x - 1}{2} ＞ \frac{x}{3} ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＞ -2 $.
解不等式②，得 $ x ＞ 3 $，
所以原不等式组的解集是 $ x ＞ 3 $.
解不等式①，得 $ x ＜ 2 $.
解不等式②，得 $ x ＞ -3 $，
所以原不等式组的解集为 $ -3 ＜ x ＜ 2 $.
（2）$ \begin{cases} 3x + 1 ＞ x - 3 ①, \\ \frac{x - 1}{2} ＞ \frac{x}{3} ②, \end{cases} $
解不等式①，得 $ x ＞ -2 $.
解不等式②，得 $ x ＞ 3 $，
所以原不等式组的解集是 $ x ＞ 3 $.
