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1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 50^{\circ}$,则 $\angle A = $(
A.$60^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
C
)A.$60^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案
C
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$。已知$\angle B=50^{\circ}$，则$\angle A=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-90^{\circ}=40^{\circ}$。
C
C
2. 如图,一副三角板这样摆放(直角顶点 $C$ 重合),$\angle E = 45^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,边 $AB$ 与边 $CE$ 交于点 $F$,$DE// BC$,则 $\angle BFC$ 的度数为(
A.$105^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
A
)A.$105^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
A
解析
∵△CDE和△ABC是一副三角板，∠E=45°，∠B=30°，
∴∠DCE=90°，∠ACB=90°，∠A=60°，∠D=45°．
∵DE//BC，
∴∠ECB=∠E=45°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ACB - ∠ECB=90° - 45°=45°．
在△AFC中，∠A=60°，∠ACF=45°，
∴∠AFC=180° - ∠A - ∠ACF=180° - 60° - 45°=75°．
∵∠AFC + ∠BFC=180°，
∴∠BFC=180° - ∠AFC=180° - 75°=105°．
A
3. 下列条件中,不能判定 $\triangle ABC$ 是直角三角形的是(
A.$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$
B.$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$
C.$2\angle A = 3\angle B+4\angle C$
D.$\angle A = 2\angle B = 60^{\circ}$
C
)A.$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$
B.$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$
C.$2\angle A = 3\angle B+4\angle C$
D.$\angle A = 2\angle B = 60^{\circ}$
答案
C
解析
A. $\angle A+\angle B=90°$，则$\angle C=180°-(\angle A+\angle B)=90°$，是直角三角形。
B. 设$\angle A=x$，$\angle B=2x$，$\angle C=3x$，$x+2x+3x=180°$，$x=30°$，$\angle C=90°$，是直角三角形。
C. 由$2\angle A=3\angle B+4\angle C$，且$\angle A+\angle B+\angle C=180°$，得$2(180°-\angle B-\angle C)=3\angle B+4\angle C$，$360°=5\angle B+6\angle C$，无法确定有直角，不是直角三角形。
D. $\angle A=60°$，$2\angle B=60°$，$\angle B=30°$，$\angle C=180°-60°-30°=90°$，是直角三角形。
C
B. 设$\angle A=x$，$\angle B=2x$，$\angle C=3x$，$x+2x+3x=180°$，$x=30°$，$\angle C=90°$，是直角三角形。
C. 由$2\angle A=3\angle B+4\angle C$，且$\angle A+\angle B+\angle C=180°$，得$2(180°-\angle B-\angle C)=3\angle B+4\angle C$，$360°=5\angle B+6\angle C$，无法确定有直角，不是直角三角形。
D. $\angle A=60°$，$2\angle B=60°$，$\angle B=30°$，$\angle C=180°-60°-30°=90°$，是直角三角形。
C
4. 若直角三角形的两锐角之差为 $34^{\circ}$,则较大一个锐角的度数是
62
$^{\circ}$。答案
62
解析
设较大锐角的度数为$x$，则较小锐角的度数为$x - 34^{\circ}$。
因为直角三角形两锐角之和为$90^{\circ}$，所以$x + (x - 34^{\circ}) = 90^{\circ}$。
解得$2x = 124^{\circ}$，$x = 62^{\circ}$。
62
因为直角三角形两锐角之和为$90^{\circ}$，所以$x + (x - 34^{\circ}) = 90^{\circ}$。
解得$2x = 124^{\circ}$，$x = 62^{\circ}$。
62
5. 如图,点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上,$DE\perp AB$ 于点 $E$,交 $AC$ 于点 $F$。若 $\angle A = 35^{\circ}$,$\angle D = 15^{\circ}$,则 $\angle ACB$ 的度数为(
A.$65^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$85^{\circ}$
B
)A.$65^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$85^{\circ}$
答案
B
解析
在$\triangle AEF$中，$\angle A=35°$，$DE\perp AB$，则$\angle AEF=90°$，所以$\angle AFE=180°-\angle A-\angle AEF=180°-35°-90°=55°$。
因为$\angle AFE$与$\angle CFD$是对顶角，所以$\angle CFD=\angle AFE=55°$。
在$\triangle CDF$中，$\angle D=15°$，$\angle CFD=55°$，则$\angle FCD=180°-\angle D-\angle CFD=180°-15°-55°=110°$。
又因为点$D$在$BC$的延长线上，所以$\angle ACB+\angle FCD=180°$，故$\angle ACB=180°-\angle FCD=180°-110°=70°$。
B
因为$\angle AFE$与$\angle CFD$是对顶角，所以$\angle CFD=\angle AFE=55°$。
在$\triangle CDF$中，$\angle D=15°$，$\angle CFD=55°$，则$\angle FCD=180°-\angle D-\angle CFD=180°-15°-55°=110°$。
又因为点$D$在$BC$的延长线上，所以$\angle ACB+\angle FCD=180°$，故$\angle ACB=180°-\angle FCD=180°-110°=70°$。
B
6. 如图,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$ 于点 $D$,那么图中与 $\angle A$ 相等的角是
∠BCD
。答案
∠BCD
7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,沿 $CD$ 折叠 $\triangle CBD$,使点 $B$ 恰好落在边 $AC$ 上点 $E$ 处。若 $\angle A = 25^{\circ}$,则 $\angle ADE$ 的度数为
40°
。答案
40°
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=25^{\circ}$，
$\angle B=180^{\circ}-\angle ACB-\angle A=180^{\circ}-90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
由折叠性质得：$\angle CED=\angle B=65^{\circ}$，$CE=CB$。
$\angle AED=180^{\circ}-\angle CED=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle ADE=180^{\circ}-\angle A-\angle AED=180^{\circ}-25^{\circ}-115^{\circ}=40^{\circ}$。
$40^{\circ}$
$\angle B=180^{\circ}-\angle ACB-\angle A=180^{\circ}-90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
由折叠性质得：$\angle CED=\angle B=65^{\circ}$，$CE=CB$。
$\angle AED=180^{\circ}-\angle CED=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle ADE=180^{\circ}-\angle A-\angle AED=180^{\circ}-25^{\circ}-115^{\circ}=40^{\circ}$。
$40^{\circ}$
8. 在直角三角形中,锐角 $\alpha$ 是另一个内角的一半,则锐角 $\alpha$ 的度数为
45°或30°
。答案
45°或30°
解析
情况一：若锐角$\alpha$是直角的一半，则$\alpha=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
情况二：若锐角$\alpha$是另一个锐角的一半，设另一个锐角为$\beta$，则$\beta=2\alpha$。因为直角三角形两锐角和为$90^{\circ}$，所以$\alpha+\beta=90^{\circ}$，即$\alpha + 2\alpha=90^{\circ}$，$3\alpha=90^{\circ}$，$\alpha=30^{\circ}$。
$45^{\circ}$或$30^{\circ}$
情况二：若锐角$\alpha$是另一个锐角的一半，设另一个锐角为$\beta$，则$\beta=2\alpha$。因为直角三角形两锐角和为$90^{\circ}$，所以$\alpha+\beta=90^{\circ}$，即$\alpha + 2\alpha=90^{\circ}$，$3\alpha=90^{\circ}$，$\alpha=30^{\circ}$。
$45^{\circ}$或$30^{\circ}$
9. 在综合与实践课上,老师让同学们以“两条平行线 $AB$,$CD$ 和一块含 $60^{\circ}$ 角的直角三角尺 $EFG(\angle EFG = 90^{\circ},\angle EGF = 60^{\circ})$”为主题开展数学活动。
(1)如图1,若三角尺的 $60^{\circ}$ 角的顶点 $G$ 放在 $CD$ 上,$\angle 2 = 2\angle 1$,求 $\angle 1$ 的度数。
(2)如图2,小颖把三角尺的两个锐角的顶点 $E$,$G$ 分别放在 $AB$ 和 $CD$ 上,请你探索并说明 $\angle AEF$ 与 $\angle FGC$ 间的数量关系。
(1)如图1,若三角尺的 $60^{\circ}$ 角的顶点 $G$ 放在 $CD$ 上,$\angle 2 = 2\angle 1$,求 $\angle 1$ 的度数。
(2)如图2,小颖把三角尺的两个锐角的顶点 $E$,$G$ 分别放在 $AB$ 和 $CD$ 上,请你探索并说明 $\angle AEF$ 与 $\angle FGC$ 间的数量关系。
答案
9.解:
(1)
∵AB//CD，
∴∠1=∠EGD.
又
∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠EGD.
又
∵∠FGE=60°，
∴∠EGD=$\frac{1}{3}$(180°-60°)=40°，
∴∠1=40°.
(2)
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°.
又
∵∠FEG+∠EGF=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°.
(1)
∵AB//CD，
∴∠1=∠EGD.
又
∵∠2=2∠1，
∴∠2=2∠EGD.
又
∵∠FGE=60°，
∴∠EGD=$\frac{1}{3}$(180°-60°)=40°，
∴∠1=40°.
(2)
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°.
又
∵∠FEG+∠EGF=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°.
