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23. (本小题 10 分)如图,用一段长 40 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ABCD,墙长为 20 m,设这个菜园垂直于墙的一边 AB 的长为 x m,与墙平行的边 BC 的长为 y m.
(1) 求 y 与 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围.
(2) 当 x 为何值时,围成的矩形菜园的面积最大?最大面积是多少?
(1) 求 y 与 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围.
(2) 当 x 为何值时,围成的矩形菜园的面积最大?最大面积是多少?
答案
(1) $y = 40 - 2x \quad (10 \leq x ＜ 20)$；
(2) 当$x = 10\ m$时，面积最大，最大面积为$200\ m^2$。
解析
(1) 由题意，篱笆总长为$40\ m$，即$2x + y = 40$，故$y = 40 - 2x$。
墙长为$20\ m$，因此$y \leq 20$，即$40 - 2x \leq 20$，解得$x \geq 10$。
同时，$x ＞ 0$且$y ＞ 0$，即$40 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 20$。
综上，自变量$x$的取值范围为$10 \leq x ＜ 20$，$y$与$x$的函数解析式为：
$y = 40 - 2x \quad (10 \leq x ＜ 20)$$ (2) 设矩形面积为$S$，则$S = x \cdot y = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$。 该二次函数开口向下，对称轴为$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-40}{2 × (-2)} = 10$。 由于$x \geq 10$，且在对称轴右侧$S$随$x$增大而减小，故当$x = 10$时，$S$取得最大值。 此时$y = 40 - 2 × 10 = 20$，最大面积为： $S_{max} = 10 × 20 = 200\ m^2$$
最终
墙长为$20\ m$，因此$y \leq 20$，即$40 - 2x \leq 20$，解得$x \geq 10$。
同时，$x ＞ 0$且$y ＞ 0$，即$40 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 20$。
综上，自变量$x$的取值范围为$10 \leq x ＜ 20$，$y$与$x$的函数解析式为：
$y = 40 - 2x \quad (10 \leq x ＜ 20)$$ (2) 设矩形面积为$S$，则$S = x \cdot y = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$。 该二次函数开口向下，对称轴为$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-40}{2 × (-2)} = 10$。 由于$x \geq 10$，且在对称轴右侧$S$随$x$增大而减小，故当$x = 10$时，$S$取得最大值。 此时$y = 40 - 2 × 10 = 20$，最大面积为： $S_{max} = 10 × 20 = 200\ m^2$$
最终
