23. (本小题8分)如图,D 是$△ABC$内一点,$DA= DB,∠CAD= ∠CBD$.求证:$∠ADC= ∠BDC$.小华的证明如下:
证明:在$△ADC和△BDC$中,
$\left\{\begin{array}{l} DA= DB,\\ ∠CAD= ∠CBD,\\ CD= CD,\end{array} \right.$
$\therefore △ADC\cong △BDC$.(第一步)
$\therefore ∠ADC= ∠BDC$.(第二步)


(1)小华的证明过程从第步开始出现错误;(填"一"或"二")
(2)请写出你认为正确的证明过程.
证明：
∵ DA=DB，
∴ ∠DAB=∠DBA（等边对等角）。
∵ ∠CAD=∠CBD，
∴ ∠CAD+∠DAB=∠CBD+∠DBA，即∠CAB=∠CBA。
∴ AC=BC（等角对等边）。
在△ADC和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ DA=DB,\\ CD=CD,\end{array}\right.$
∴ △ADC≌△BDC（SSS）。
∴ ∠ADC=∠BDC（全等三角形对应角相等）。

(1) 一
(2) 证明：
∵ DA=DB，
∴ ∠DAB=∠DBA（等边对等角）。
∵ ∠CAD=∠CBD，
∴ ∠CAD+∠DAB=∠CBD+∠DBA，即∠CAB=∠CBA。
∴ AC=BC（等角对等边）。
在△ADC和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ DA=DB,\\ CD=CD,\end{array}\right.$
∴ △ADC≌△BDC（SSS）。
∴ ∠ADC=∠BDC（全等三角形对应角相等）。

24. (本小题8分)如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,D 是边 AB 上一点,过点 D 作$DE⊥BC$,垂足为 E,交 CA 的延长线于点 F.
(1)求证:$AD= AF;$
(2)若$∠B= 2∠F,BE= 2,CF= 16$,求 BC 的长.

(1)见解析；(2)10．

(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠BDE=90°-∠B，∠F=90°-∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠F，
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AD=AF；
(2)设∠F=x，则∠B=2x，
∵∠B=∠C，
∴∠C=2x，
在△FEC中，∠F+∠C+∠FEC=180°，
∴x+2x+90°=180°，解得x=30°，
∴∠F=30°，∠B=∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
设AD=AF=y，AB=AC=BC=a，
则CF=AC+AF=a+y=16，
BD=AB-AD=a-y，
在Rt△BDE中，∠BDE=∠F=30°，BE=2，
∴BD=2BE=4，即a-y=4，
联立方程组：$\begin{cases}a+y=16\\a-y=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=10\\y=6\end{cases}$，
∴BC=10．