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8. 已知三角形的面积是$6a^{2}-3ab$,一边长是 3a,则这条边上的高是 (
A.$4a+2b$
B.$4a-2b$
C.$2a-4b$
D.$2a+4b$
B
)A.$4a+2b$
B.$4a-2b$
C.$2a-4b$
D.$2a+4b$
答案
B
解析
设这条边上的高为$h$。
三角形面积公式：$\frac{1}{2} × 底 × 高$，
则$\frac{1}{2} × 3a × h = 6a^{2}-3ab$。
化简得：$\frac{3a}{2}h = 6a^{2}-3ab$，
两边同乘$\frac{2}{3a}$：$h = \frac{2(6a^{2}-3ab)}{3a} = \frac{12a^{2}-6ab}{3a} = 4a - 2b$。
B
三角形面积公式：$\frac{1}{2} × 底 × 高$，
则$\frac{1}{2} × 3a × h = 6a^{2}-3ab$。
化简得：$\frac{3a}{2}h = 6a^{2}-3ab$，
两边同乘$\frac{2}{3a}$：$h = \frac{2(6a^{2}-3ab)}{3a} = \frac{12a^{2}-6ab}{3a} = 4a - 2b$。
B
9. 如图,小华同学用四个边长为 a 的正方形、两个长和宽分别为 2a和 b 的长方形拼成图①和图②的图案,则下列四个关系式中,能利用图①和图②验证的是 (
①$a= 2b$;②$4a(a+b)= (2a+b)^{2}-b^{2}$;③$(2a-b)^{2}= 4a^{2}-4ab+b^{2}$;④$(2a+b)^{2}＞4a(a+b)$.
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
B
)①$a= 2b$;②$4a(a+b)= (2a+b)^{2}-b^{2}$;③$(2a-b)^{2}= 4a^{2}-4ab+b^{2}$;④$(2a+b)^{2}＞4a(a+b)$.
A.①②
B.②③
C.①③
D.②④
答案
B
解析
图①面积：$4a^2 + 2 × 2a × b = 4a^2 + 4ab = 4a(a + b)$。
图②面积：$(2a + b)^2 - b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2 - b^2 = 4a^2 + 4ab = 4a(a + b)$，故②正确。
由图②，大正方形边长为$2a + b$，空白部分面积为$4a^2 + 4ab$，则阴影部分面积为$(2a + b)^2 - (4a^2 + 4ab) = b^2$，又阴影部分为小正方形，边长为$b$，可得$2a - b = b$（因空白部分宽为$2a$，阴影边长为$b$），即$(2a - b)^2 = b^2$，但展开$(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$，故③正确。
①中$a = 2b$无法由图形得出；④中$(2a + b)^2 = 4a(a + b) + b^2 ＞ 4a(a + b)$，但题目要求“验证”等量关系，④为不等关系，不符合。
综上，②③正确，选B。
B
图②面积：$(2a + b)^2 - b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2 - b^2 = 4a^2 + 4ab = 4a(a + b)$，故②正确。
由图②，大正方形边长为$2a + b$，空白部分面积为$4a^2 + 4ab$，则阴影部分面积为$(2a + b)^2 - (4a^2 + 4ab) = b^2$，又阴影部分为小正方形，边长为$b$，可得$2a - b = b$（因空白部分宽为$2a$，阴影边长为$b$），即$(2a - b)^2 = b^2$，但展开$(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$，故③正确。
①中$a = 2b$无法由图形得出；④中$(2a + b)^2 = 4a(a + b) + b^2 ＞ 4a(a + b)$，但题目要求“验证”等量关系，④为不等关系，不符合。
综上，②③正确，选B。
B
10. 设 a,b 是实数,定义一种新运算:$a※b= (a-b)^{2}$,例如:$(-5)※3= (-5-3)^{2}= 64$.有下列推断:①$a※b= b※a$;②$(a※b)^{2}= a^{2}※b^{2}$;③$(-a)※b= a※(-b)$;④$a※(b+c)= a※b+a※c$.其中正确的是 (
A.①②③④
B.①③④
C.①②
D.①③
D
)A.①②③④
B.①③④
C.①②
D.①③
答案
D
解析
①$a※b=(a-b)^2$，$b※a=(b-a)^2=(a-b)^2$，故$a※b=b※a$，正确；
②$(a※b)^2=[(a-b)^2]^2=(a-b)^4$，$a^2※b^2=(a^2 - b^2)^2=(a - b)^2(a + b)^2$，当$a + b\neq\pm(a - b)$时不相等，错误；
③$(-a)※b=(-a - b)^2=(a + b)^2$，$a※(-b)=(a - (-b))^2=(a + b)^2$，故$(-a)※b=a※(-b)$，正确；
④$a※(b + c)=(a - (b + c))^2=(a - b - c)^2$，$a※b + a※c=(a - b)^2 + (a - c)^2=a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2=2a^2 - 2ab - 2ac + b^2 + c^2$，与$(a - b - c)^2=a^2 - 2ab - 2ac + b^2 + 2bc + c^2$不相等，错误。
正确的是①③，答案选D。
②$(a※b)^2=[(a-b)^2]^2=(a-b)^4$，$a^2※b^2=(a^2 - b^2)^2=(a - b)^2(a + b)^2$，当$a + b\neq\pm(a - b)$时不相等，错误；
③$(-a)※b=(-a - b)^2=(a + b)^2$，$a※(-b)=(a - (-b))^2=(a + b)^2$，故$(-a)※b=a※(-b)$，正确；
④$a※(b + c)=(a - (b + c))^2=(a - b - c)^2$，$a※b + a※c=(a - b)^2 + (a - c)^2=a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2=2a^2 - 2ab - 2ac + b^2 + c^2$，与$(a - b - c)^2=a^2 - 2ab - 2ac + b^2 + 2bc + c^2$不相等，错误。
正确的是①③，答案选D。
11. 计算:$(3-\pi )^{0}=$
1
.答案
1
解析
根据零指数幂的定义，对于任何非零实数$a$，有$a^{0}=1$。
所以，$(3-\pi)^{0}=1$，因为$3-\pi$是一个非零实数。
所以，$(3-\pi)^{0}=1$，因为$3-\pi$是一个非零实数。
12. 计算:$123^{2}-124× 122=$
1
.答案
1
解析
$123^{2}-124×122$
$=123^{2}-(123+1)×(123-1)$
$=123^{2}-(123^{2}-1^{2})$
$=123^{2}-123^{2}+1$
$=1$
$=123^{2}-(123+1)×(123-1)$
$=123^{2}-(123^{2}-1^{2})$
$=123^{2}-123^{2}+1$
$=1$
13. 已知$P= (x+2)^{2},Q= (x+1)(x+3)$,则 P
＞
Q.(填“＞”“＜”或“=”)答案
＞
解析
$P=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$，$Q=(x+1)(x+3)=x^{2}+4x+3$，$P-Q=(x^{2}+4x+4)-(x^{2}+4x+3)=1＞0$，故$P＞Q$。
＞
＞
14. 若$(x+2)(x^{2}-ax+5)$的乘积中不含 x 的一次项,则 a 的值为
$\frac{5}{2}$
.答案
$\frac{5}{2}$
解析
$(x+2)(x^{2}-ax+5)$
$=x^{3}-ax^{2}+5x+2x^{2}-2ax+10$
$=x^{3}+(2-a)x^{2}+(5-2a)x+10$，
因为乘积中不含$x$的一次项，所以$5-2a=0$，解得$a=\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
$=x^{3}-ax^{2}+5x+2x^{2}-2ax+10$
$=x^{3}+(2-a)x^{2}+(5-2a)x+10$，
因为乘积中不含$x$的一次项，所以$5-2a=0$，解得$a=\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
15. 已知$m-n= 4,mn= 12$,则$(m+n)^{2}$的值为
64
.答案
64
解析
$(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}$，
$m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}+2mn$，
因为$m-n=4$，$mn=12$，
所以$m^{2}+n^{2}=4^{2}+2×12=16 + 24=40$，
则$(m+n)^{2}=40 + 2×12=40 + 24=64$。
64
$m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}+2mn$，
因为$m-n=4$，$mn=12$，
所以$m^{2}+n^{2}=4^{2}+2×12=16 + 24=40$，
则$(m+n)^{2}=40 + 2×12=40 + 24=64$。
64
16. 已知$x= y+4$,则代数式$x^{2}-2xy+y^{2}-25$的值为
$-9$
.答案
$-9$
解析
$x^{2}-2xy+y^{2}-25=(x-y)^{2}-25$
因为$x=y+4$，所以$x-y=4$
则原式$=4^{2}-25=16-25=-9$
$-9$
因为$x=y+4$，所以$x-y=4$
则原式$=4^{2}-25=16-25=-9$
$-9$
17. 已知一个正方形的边长增加 4 cm,它的面积就增加$72cm^{2}$,则原来这个正方形的边长是
7
cm.答案
7
解析
设原来正方形的边长为$x$cm。
边长增加4cm后，新正方形的边长为$(x + 4)$cm。
原来正方形的面积为$x^2$cm²，新正方形的面积为$(x + 4)^2$cm²。
根据面积增加$72cm^2$，可列方程：
$(x + 4)^2 - x^2 = 72$
展开得：$x^2 + 8x + 16 - x^2 = 72$
化简得：$8x + 16 = 72$
移项得：$8x = 72 - 16$
计算得：$8x = 56$
解得：$x = 7$
7
边长增加4cm后，新正方形的边长为$(x + 4)$cm。
原来正方形的面积为$x^2$cm²，新正方形的面积为$(x + 4)^2$cm²。
根据面积增加$72cm^2$，可列方程：
$(x + 4)^2 - x^2 = 72$
展开得：$x^2 + 8x + 16 - x^2 = 72$
化简得：$8x + 16 = 72$
移项得：$8x = 72 - 16$
计算得：$8x = 56$
解得：$x = 7$
7
18. 已知$x= 31^{2}+59^{2}+118,y= 69^{2}-1$,则$x-y$的值为
A
.答案
A（假设选项A代表$-200$，由于题目未给出具体选项，这里仅根据常规选择题设定进行假设）
解析
$x=31^{2}+59^{2}+118=31^{2}+59^{2}+2×59$
$y=69^{2}-1=(69-1)(69+1)=68×70=4760$
$x-y=31^{2}+59^{2}+2×59 - 4760=961 + 3481 + 118 - 4760=4560 - 4760=-200$
$-200$
$y=69^{2}-1=(69-1)(69+1)=68×70=4760$
$x-y=31^{2}+59^{2}+2×59 - 4760=961 + 3481 + 118 - 4760=4560 - 4760=-200$
$-200$
