2. 因式分解：
(1)$x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x)$；
(2)$5a^{3}b + 10a^{2}b^{2}+5ab^{3}$；
(3)$-2x^{2}+32x - 128$.

(1)
$\begin{aligned}&x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x)\\=&x^{2}(x - y)-y^{2}(x - y)\\=&(x - y)(x^{2}-y^{2})\\=&(x - y)(x + y)(x - y)\\=&(x - y)^{2}(x + y)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&5a^{3}b + 10a^{2}b^{2}+5ab^{3}\\=&5ab(a^{2}+2ab + b^{2})\\=&5ab(a + b)^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&-2x^{2}+32x - 128\\=&-2(x^{2}-16x + 64)\\=&-2(x - 8)^{2}\end{aligned}$

1. 多项式$a(x^{2} - 2x + 1)与多项式x^{2} - 1$的公因式是()
A.$x - 1$
B.$x + 1$
C.$x^{2} - 1$
D.$x^{2}$

A

首先，对多项式 $a(x^{2} - 2x + 1)$ 进行因式分解，
$a(x^{2} - 2x + 1) = a(x - 1)^{2}$
接着，对多项式 $x^{2} - 1$ 进行因式分解，
$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$
从上面的分解中，可以看到两个多项式都包含因子 $x - 1$。
因此，多项式 $a(x^{2} - 2x + 1)$ 与多项式 $x^{2} - 1$ 的公因式是 $x - 1$。

2. 把多项式$xy^{2} - x$因式分解正确的是()
A.$x(y^{2} - 1)$
B.$x(y - 1)^{2}$
C.$x(x + y)(y - 1)$
D.$x(y + 1)(y - 1)$

D

原式 $xy^{2} - x$
首先提取公因式 $x$，得到：
$xy^{2} - x = x(y^{2} - 1)$
接着，利用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，将 $y^{2} - 1$ 分解为 $(y + 1)(y - 1)$，代入上式得：
$x(y^{2} - 1) = x(y + 1)(y - 1)$

3. 因式分解：(1)$16x^{3} - 9xy^{2}=$；(2)$8ab + 8a^{2}b + 2b=$.

(1) $x(4x + 3y)(4x - 3y)$ ；(2) $2b(2a + 1)^{2}$。

(1) 对于 $16x^{3} - 9xy^{2}$，
首先观察发现两项都含有 $x$，因此可以提取公因式 $x$（同时考虑到系数，实际提取最大公因数 $x(可能还有数值系数)$，这里数值系数公因数为1，主要关注字母部分）：
$16x^{3} - 9xy^{2} = x(16x^{2} - 9y^{2})$
接着，发现 $16x^{2} - 9y^{2}$ 是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 进行分解：
$x(16x^{2} - 9y^{2}) = x(4x + 3y)(4x - 3y)$
(2) 对于 $8ab + 8a^{2}b + 2b$，
首先观察发现三项都含有 $b$ 和2的倍数，因此可以提取公因式 $2b$：
$8ab + 8a^{2}b + 2b = 2b(4a + 4a^{2} + 1) = 2b(4a^{2} + 4a + 1)$
接着，发现 $4a^{2} + 4a + 1$ 是完全平方形式，即 $(2a + 1)^{2}$，所以：
$2b(4a^{2} + 4a + 1) = 2b(2a + 1)^{2}$

4. 下列因式分解不正确的是()
A.$3a^{2}b - 6ab + 3b = 3b(a - 1)^{2}$
B.$-4b^{2}+36a^{2}= 4(3a + b)(3a - b)$
C.$x^{2}(a - b)-4(b - a)= (a - b)(x + 2)(x - 2)$
D.$(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}= (a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$

【解析】：
A：对$3a^{2}b - 6ab + 3b$提取公因式$3b$得：$3b(a^{2}-2a + 1)$，根据完全平方公式$a^2-2a + 1=(a - 1)^{2}$，所以$3a^{2}b - 6ab + 3b = 3b(a - 1)^{2}$，该选项正确。
B：对$-4b^{2}+36a^{2}$提取公因式$4$得：$4(9a^{2}-b^{2})$，根据平方差公式$9a^{2}-b^{2}=(3a + b)(3a - b)$，所以$-4b^{2}+36a^{2}=4(3a + b)(3a - b)$，该选项正确。
C：因为$b - a=-(a - b)$，所以$x^{2}(a - b)-4(b - a)=x^{2}(a - b)+4(a - b)$，提取公因式$(a - b)$得：$(a - b)(x^{2}+4)$（原变形$x^{2}(a - b)-4(b - a)=x^{2}(a - b)+4(a - b)=(a - b)(x^{2}+4)$，而$x^{2}+4$不能在实数范围内继续分解，若按照$x^{2}(a - b)-4(b - a)=(a - b)(x + 2)(x - 2)$是从$x^{2}(a - b)+4(a - b)=(a - b)(x^{2}+4)$错误变形来的，原式$x^{2}(a - b)-4(b - a)=x^{2}(a - b)+4(a - b)=(a - b)(x^{2}+4)$，若把$x^{2}+4$错误处理，而正确对$x^{2}(a - b)-4(b - a)$变形是$x^{2}(a - b)+4(a - b)=(a - b)(x^{2}+4)$，若按选项C的$(a - b)(x + 2)(x - 2)=(a - b)(x^{2}-4)$是错误的，原式应该是$x^{2}(a - b)+4(a - b)=(a - b)(x^{2}+4)$，这里假设题目想表达的是对$x^{2}(a - b)-4(b - a)$正确变形后与选项对比，选项C的$(a - b)(x + 2)(x - 2)$是错误的，正确对$x^{2}(a - b)-4(b - a)$因式分解是$(a - b)(x^{2}+4)$（实数范围），若从选项本身形式看，它把$x^{2}(a - b)-4(b - a)$错误分解成$(a - b)(x + 2)(x - 2)$，该选项错误。
D：把$(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}$变形为$(a^{2}+1)^{2}-(2a)^{2}$，根据平方差公式得：$(a^{2}+1 + 2a)(a^{2}+1 - 2a)$，再根据完全平方公式$a^{2}+1 + 2a=(a + 1)^{2}$，$a^{2}+1 - 2a=(a - 1)^{2}$，所以$(a^{2}+1)^{2}-4a^{2}=(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$，该选项正确。
【答案】：D（原解析D选项判断正确，题目问分解不正确的，D选项分解正确，不正确的选项是C，这里按照题目要求选不正确的选项，应选C对应的选项位置，原答案写D有误，正确应选C） 修正后答案：C

5. 因式分解：
(1)$-2x^{4}+32x^{2}$；
(2)$x^{4}y^{4}-1$；
(3)$ab^{3}-10a^{2}b^{2}+25a^{3}b$；
(4)$(x^{2}-2xy + y^{2})+(-2x + 2y)+1$.

(3)ab(b-5a)²；
(4)(x-y-1)²

6. 已知$a - b= \frac{1}{2}$,$ab = 2$,求$-a^{4}b^{2}+2a^{3}b^{3}-a^{2}b^{4}$的值.

解:原式=-a²b²(a²-2ab+b²)=-(ab)²(a-b)².
∵ab=2,a-b= $\frac{1}{2}$,
∴原式=-2²×$(\frac{1}{2})$²=-1.

7. 小明看了一个有解答过程的例题：若$m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,求$m和n$的值.
解：$\because m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,
$\therefore m^{2}+2mn + n^{2}+n^{2}-6n + 9 = 0$,
$\therefore (m + n)^{2}+(n - 3)^{2}= 0$,
$\therefore m + n = 0$,$n - 3 = 0$,$\therefore m = - 3$,$n = 3$.
为什么要对$2n^{2}$进行拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法,很快解决了下面两个问题. 相信你也能很快的解决下面的这两个问题,请写出你的解题过程.
(1)若$x^{2}-4xy + 5y^{2}+2y + 1 = 0$,求$x - y$的值.
(2)已知$a$,$b$,$c$($a \neq b \neq c$)是$\triangle ABC$的三边长,满足$a^{2}+b^{2}= 10a + 12b - 61$,$c是\triangle ABC$中最短边的边长,且$c$为整数,那么$c$可能是哪几个数？

解:
(1)
∵x²-4xy+5y²+2y+1=0,
∴x²-4xy+4y²+y²+2y+1=0,
∴(x-2y)²+(y+1)²=0,
∴x-2y=0,y+1=0,
∴x=-2,y=-1,
∴x-y=-2+1=-1.
(2)
∵a²+b²=10a+12b-61,
∴(a-5)²+(b-6)²=0,
∴a=5,b=6.
∵1＜c＜11,且c为最短边,c为整数,
∴c为2,3,4.