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题型1 若$(x - ay)(x + ay) = x^2 - 16y^2$,则$a$的值为
±4
。答案
题型1
本题可根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$来求解$a$的值。
已知$(x - ay)(x + ay)=x^2 - 16y^2$，根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$，这里$m = x$，$n = ay$，则$(x - ay)(x + ay)=x^2-(ay)^2$。
所以$x^2-(ay)^2=x^2 - 16y^2$，即$(ay)^2 = 16y^2$，那么$a^{2}y^{2}=16y^{2}$（$y\neq0$时），等式两边同时除以$y^{2}$可得$a^{2}=16$，解得$a=\pm4$。
当$y = 0$时，$a$可以取任意实数，因为原式变为$x\cdot x=x^2$，等式恒成立，但结合$x^2 - 16y^2$的形式，$y$的系数不为$0$更符合题意，所以$a = \pm4$。
本题可根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$来求解$a$的值。
已知$(x - ay)(x + ay)=x^2 - 16y^2$，根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$，这里$m = x$，$n = ay$，则$(x - ay)(x + ay)=x^2-(ay)^2$。
所以$x^2-(ay)^2=x^2 - 16y^2$，即$(ay)^2 = 16y^2$，那么$a^{2}y^{2}=16y^{2}$（$y\neq0$时），等式两边同时除以$y^{2}$可得$a^{2}=16$，解得$a=\pm4$。
当$y = 0$时，$a$可以取任意实数，因为原式变为$x\cdot x=x^2$，等式恒成立，但结合$x^2 - 16y^2$的形式，$y$的系数不为$0$更符合题意，所以$a = \pm4$。
题型2 下列计算中,结果正确的是( )
A.$(x - 3)(3 + x) = x^2 - 3$
B.$(3x - 2)(2 + x) = 3x^2 - 4$
C.$(7ab - c)(7ab + c) = 49a^2b^2 - c^2$
D.$(-x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
A.$(x - 3)(3 + x) = x^2 - 3$
B.$(3x - 2)(2 + x) = 3x^2 - 4$
C.$(7ab - c)(7ab + c) = 49a^2b^2 - c^2$
D.$(-x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
答案
1. 首先分析选项A：
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(x - 3)(3 + x)=(x - 3)(x + 3)$，这里$a = x$，$b = 3$。
则$(x - 3)(x + 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9\neq x^{2}-3$。
2. 然后分析选项B：
根据多项式乘多项式法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，对于$(3x - 2)(2 + x)$，$a = 3x$，$b=-2$，$c = 2$，$d = x$。
则$(3x - 2)(2 + x)=3x×2+3x× x-2×2 - 2× x=6x+3x^{2}-4 - 2x=3x^{2}+4x - 4\neq3x^{2}-4$。
3. 接着分析选项C：
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(7ab - c)(7ab + c)$，这里$a = 7ab$，$b = c$。
则$(7ab - c)(7ab + c)=(7ab)^{2}-c^{2}=49a^{2}b^{2}-c^{2}$。
4. 最后分析选项D：
对于$(-x - y)(x + y)=-(x + y)(x + y)=-(x + y)^{2}$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（这里$a = x$，$b = y$），$-(x + y)^{2}=-(x^{2}+2xy + y^{2})=-x^{2}-2xy - y^{2}\neq x^{2}-y^{2}$。
所以结果正确的是选项C。
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(x - 3)(3 + x)=(x - 3)(x + 3)$，这里$a = x$，$b = 3$。
则$(x - 3)(x + 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9\neq x^{2}-3$。
2. 然后分析选项B：
根据多项式乘多项式法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，对于$(3x - 2)(2 + x)$，$a = 3x$，$b=-2$，$c = 2$，$d = x$。
则$(3x - 2)(2 + x)=3x×2+3x× x-2×2 - 2× x=6x+3x^{2}-4 - 2x=3x^{2}+4x - 4\neq3x^{2}-4$。
3. 接着分析选项C：
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对于$(7ab - c)(7ab + c)$，这里$a = 7ab$，$b = c$。
则$(7ab - c)(7ab + c)=(7ab)^{2}-c^{2}=49a^{2}b^{2}-c^{2}$。
4. 最后分析选项D：
对于$(-x - y)(x + y)=-(x + y)(x + y)=-(x + y)^{2}$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$（这里$a = x$，$b = y$），$-(x + y)^{2}=-(x^{2}+2xy + y^{2})=-x^{2}-2xy - y^{2}\neq x^{2}-y^{2}$。
所以结果正确的是选项C。
题型3 计算：
(1)$a(a - 3) - (-a + 7) \cdot (-a - 7)$；
(2)$(2m + n)(2m - n) - (-m + 2n)(-m - 2n)$。
学习小助手 去括号时括号外面是负号,要注意符号变化哦。
(1)$a(a - 3) - (-a + 7) \cdot (-a - 7)$；
(2)$(2m + n)(2m - n) - (-m + 2n)(-m - 2n)$。
学习小助手 去括号时括号外面是负号,要注意符号变化哦。
答案
1. 计算$a(a - 3)-(-a + 7)\cdot(-a - 7)$：
首先，根据单项式乘多项式法则计算$a(a - 3)$：
根据$m(a + b)=ma+mb$，这里$m = a$，$a=a$，$b=-3$，则$a(a - 3)=a^{2}-3a$。
然后，根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$计算$(-a + 7)\cdot(-a - 7)$：
令$x=-a$，$y = 7$，则$(-a + 7)\cdot(-a - 7)=(-a)^{2}-7^{2}=a^{2}-49$。
最后，计算$a(a - 3)-(-a + 7)\cdot(-a - 7)$：
$a(a - 3)-(-a + 7)\cdot(-a - 7)=a^{2}-3a-(a^{2}-49)$。
去括号得$a^{2}-3a - a^{2}+49$。
合并同类项：$(a^{2}-a^{2})-3a + 49=-3a + 49$。
2. 计算$(2m + n)(2m - n)-(-m + 2n)(-m - 2n)$：
首先，根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$计算$(2m + n)(2m - n)$和$(-m + 2n)(-m - 2n)$：
对于$(2m + n)(2m - n)$，令$x = 2m$，$y=n$，则$(2m + n)(2m - n)=(2m)^{2}-n^{2}=4m^{2}-n^{2}$。
对于$(-m + 2n)(-m - 2n)$，令$x=-m$，$y = 2n$，则$(-m + 2n)(-m - 2n)=(-m)^{2}-(2n)^{2}=m^{2}-4n^{2}$。
然后，计算$(2m + n)(2m - n)-(-m + 2n)(-m - 2n)$：
$(2m + n)(2m - n)-(-m + 2n)(-m - 2n)=(4m^{2}-n^{2})-(m^{2}-4n^{2})$。
去括号得$4m^{2}-n^{2}-m^{2}+4n^{2}$。
合并同类项：$(4m^{2}-m^{2})+(4n^{2}-n^{2})=3m^{2}+3n^{2}$。
综上，（1）的结果为$-3a + 49$；（2）的结果为$3m^{2}+3n^{2}$。
首先，根据单项式乘多项式法则计算$a(a - 3)$：
根据$m(a + b)=ma+mb$，这里$m = a$，$a=a$，$b=-3$，则$a(a - 3)=a^{2}-3a$。
然后，根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$计算$(-a + 7)\cdot(-a - 7)$：
令$x=-a$，$y = 7$，则$(-a + 7)\cdot(-a - 7)=(-a)^{2}-7^{2}=a^{2}-49$。
最后，计算$a(a - 3)-(-a + 7)\cdot(-a - 7)$：
$a(a - 3)-(-a + 7)\cdot(-a - 7)=a^{2}-3a-(a^{2}-49)$。
去括号得$a^{2}-3a - a^{2}+49$。
合并同类项：$(a^{2}-a^{2})-3a + 49=-3a + 49$。
2. 计算$(2m + n)(2m - n)-(-m + 2n)(-m - 2n)$：
首先，根据平方差公式$(x + y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$计算$(2m + n)(2m - n)$和$(-m + 2n)(-m - 2n)$：
对于$(2m + n)(2m - n)$，令$x = 2m$，$y=n$，则$(2m + n)(2m - n)=(2m)^{2}-n^{2}=4m^{2}-n^{2}$。
对于$(-m + 2n)(-m - 2n)$，令$x=-m$，$y = 2n$，则$(-m + 2n)(-m - 2n)=(-m)^{2}-(2n)^{2}=m^{2}-4n^{2}$。
然后，计算$(2m + n)(2m - n)-(-m + 2n)(-m - 2n)$：
$(2m + n)(2m - n)-(-m + 2n)(-m - 2n)=(4m^{2}-n^{2})-(m^{2}-4n^{2})$。
去括号得$4m^{2}-n^{2}-m^{2}+4n^{2}$。
合并同类项：$(4m^{2}-m^{2})+(4n^{2}-n^{2})=3m^{2}+3n^{2}$。
综上，（1）的结果为$-3a + 49$；（2）的结果为$3m^{2}+3n^{2}$。
题型4 计算$\frac{2023}{2023^2 - 2022×2024}$时,小刚从书包里拿计算器,而小灵当场制止,并很快得到答案,你会算吗？
答案
解：
$\begin{aligned}&2023^2 - 2022×2024\\=&2023^2 - (2023 - 1)×(2023 + 1)\\=&2023^2 - (2023^2 - 1^2)\\=&2023^2 - 2023^2 + 1\\=&1\end{aligned}$
所以$\frac{2023}{2023^2 - 2022×2024}=\frac{2023}{1}=2023$。
$\begin{aligned}&2023^2 - 2022×2024\\=&2023^2 - (2023 - 1)×(2023 + 1)\\=&2023^2 - (2023^2 - 1^2)\\=&2023^2 - 2023^2 + 1\\=&1\end{aligned}$
所以$\frac{2023}{2023^2 - 2022×2024}=\frac{2023}{1}=2023$。
题型5 先化简,再求值：$(2a + 3b)(2a - 3b) \cdot (4a^2 + 9b^2)$,其中$a = -1$,$b = -1$。
学习小助手 $(2a + 3b)(2a - 3b)$构成了平方差的形式,它的结果与$(4a^2 + 9b^2)$的乘法符合平方差的形式吗？
学习小助手 $(2a + 3b)(2a - 3b)$构成了平方差的形式,它的结果与$(4a^2 + 9b^2)$的乘法符合平方差的形式吗？
答案
1. 首先，利用平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$化简$(2a + 3b)(2a - 3b)$：
对于$(2a + 3b)(2a - 3b)$，这里$m = 2a$，$n = 3b$，根据平方差公式可得$(2a + 3b)(2a - 3b)=(2a)^{2}-(3b)^{2}=4a^{2}-9b^{2}$。
2. 然后，再计算$(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})$：
此时，把$4a^{2}$看作$m$，$9b^{2}$看作$n$，根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，则$(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})=(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}$。
计算$(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}$：
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(4a^{2})^{2}=4^{2}×(a^{2})^{2}=16a^{4}$，$(9b^{2})^{2}=9^{2}×(b^{2})^{2}=81b^{4}$。
所以$(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})=16a^{4}-81b^{4}$。
3. 最后，代入$a=-1$，$b = - 1$求值：
当$a=-1$，$b=-1$时，$16a^{4}-81b^{4}=16×(-1)^{4}-81×(-1)^{4}$。
因为$(-1)^{4}=1$，所以$16×(-1)^{4}-81×(-1)^{4}=16×1 - 81×1$。
$16×1 - 81×1=16 - 81=-65$。
对于$(2a + 3b)(2a - 3b)$的结果$(4a^{2}-9b^{2})$与$(4a^{2}+9b^{2})$的乘法，符合平方差的形式$(m + n)(m - n)$（其中$m = 4a^{2}$，$n = 9b^{2}$）。
解：$(2a + 3b)(2a - 3b)(4a^{2}+9b^{2})$
$=(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})$（利用平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = 2a$，$n = 3b$）
$=(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}$（利用平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = 4a^{2}$，$n = 9b^{2}$）
$=16a^{4}-81b^{4}$。
当$a=-1$，$b=-1$时，
$16a^{4}-81b^{4}=16×(-1)^{4}-81×(-1)^{4}$
$=16×1 - 81×1$
$=16 - 81=-65$。
$(2a + 3b)(2a - 3b)$的结果与$(4a^{2}+9b^{2})$的乘法**符合**平方差的形式。
对于$(2a + 3b)(2a - 3b)$，这里$m = 2a$，$n = 3b$，根据平方差公式可得$(2a + 3b)(2a - 3b)=(2a)^{2}-(3b)^{2}=4a^{2}-9b^{2}$。
2. 然后，再计算$(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})$：
此时，把$4a^{2}$看作$m$，$9b^{2}$看作$n$，根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，则$(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})=(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}$。
计算$(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}$：
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(4a^{2})^{2}=4^{2}×(a^{2})^{2}=16a^{4}$，$(9b^{2})^{2}=9^{2}×(b^{2})^{2}=81b^{4}$。
所以$(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})=16a^{4}-81b^{4}$。
3. 最后，代入$a=-1$，$b = - 1$求值：
当$a=-1$，$b=-1$时，$16a^{4}-81b^{4}=16×(-1)^{4}-81×(-1)^{4}$。
因为$(-1)^{4}=1$，所以$16×(-1)^{4}-81×(-1)^{4}=16×1 - 81×1$。
$16×1 - 81×1=16 - 81=-65$。
对于$(2a + 3b)(2a - 3b)$的结果$(4a^{2}-9b^{2})$与$(4a^{2}+9b^{2})$的乘法，符合平方差的形式$(m + n)(m - n)$（其中$m = 4a^{2}$，$n = 9b^{2}$）。
解：$(2a + 3b)(2a - 3b)(4a^{2}+9b^{2})$
$=(4a^{2}-9b^{2})(4a^{2}+9b^{2})$（利用平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = 2a$，$n = 3b$）
$=(4a^{2})^{2}-(9b^{2})^{2}$（利用平方差公式$(m + n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$，这里$m = 4a^{2}$，$n = 9b^{2}$）
$=16a^{4}-81b^{4}$。
当$a=-1$，$b=-1$时，
$16a^{4}-81b^{4}=16×(-1)^{4}-81×(-1)^{4}$
$=16×1 - 81×1$
$=16 - 81=-65$。
$(2a + 3b)(2a - 3b)$的结果与$(4a^{2}+9b^{2})$的乘法**符合**平方差的形式。
1. 若$(2a + 3b)$( )$= 4a^2 - 9b^2$,则括号内应填的多项式是(
A.$-2a - 3b$
B.$2a + 3b$
C.$2a - 3b$
D.$3b - 2a$
C
)A.$-2a - 3b$
B.$2a + 3b$
C.$2a - 3b$
D.$3b - 2a$
答案
C
解析
因为$4a^2 - 9b^2=(2a)^2-(3b)^2=(2a + 3b)(2a - 3b)$，所以括号内应填的多项式是$2a - 3b$。
C
C
2. 已知$x^2 - y^2 = 18$,$x比y大3$,则$x + y = $
6
。答案
6
解析
因为$x$比$y$大$3$，所以$x - y = 3$。
已知$x^2 - y^2 = 18$，而$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，将$x - y = 3$代入可得：
$(x + y)×3 = 18$，则$x + y = 18÷3 = 6$。
6
已知$x^2 - y^2 = 18$，而$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，将$x - y = 3$代入可得：
$(x + y)×3 = 18$，则$x + y = 18÷3 = 6$。
6
3. 如果$(a + b + 1)(a + b - 1) = 3$,那么$a + b$的值为
±2
。答案
±2
解析
设$x = a + b$，则原方程可化为$(x + 1)(x - 1) = 3$，
即$x^2 - 1 = 3$，
$x^2 = 4$，
解得$x = \pm 2$，
所以$a + b$的值为$\pm 2$。
即$x^2 - 1 = 3$，
$x^2 = 4$，
解得$x = \pm 2$，
所以$a + b$的值为$\pm 2$。
1. 下列各式中能用平方差公式计算的是(
A.$(a + 3b)(3a - b)$
B.$(3a - b)(3a - b)$
C.$(3a - b)(-3a + b)$
D.$(3a - b)(3a + b)$
D
)A.$(a + 3b)(3a - b)$
B.$(3a - b)(3a - b)$
C.$(3a - b)(-3a + b)$
D.$(3a - b)(3a + b)$
答案
D
解析
平方差公式为$(x + y)(x - y)=x^2 - y^2$，其特点是两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(a + 3b)(3a - b)$，两项均不满足上述特点，不能用平方差公式计算。
选项B：$(3a - b)(3a - b)$，两项完全相同，是完全平方公式，不能用平方差公式计算。
选项C：$(3a - b)(-3a + b)=-(3a - b)(3a - b)$，两项完全相同，不能用平方差公式计算。
选项D：$(3a - b)(3a + b)$，$3a$完全相同，$-b$与$b$互为相反数，能用平方差公式计算。
D
选项A：$(a + 3b)(3a - b)$，两项均不满足上述特点，不能用平方差公式计算。
选项B：$(3a - b)(3a - b)$，两项完全相同，是完全平方公式，不能用平方差公式计算。
选项C：$(3a - b)(-3a + b)=-(3a - b)(3a - b)$，两项完全相同，不能用平方差公式计算。
选项D：$(3a - b)(3a + b)$，$3a$完全相同，$-b$与$b$互为相反数，能用平方差公式计算。
D
2. 下列各式中,计算结果为$81 - x^2$的是(
A.$(x + 9)(x - 9)$
B.$(x + 9)(-x - 9)$
C.$(-x + 9)(-x - 9)$
D.$(-x - 9)(x - 9)$
D
)A.$(x + 9)(x - 9)$
B.$(x + 9)(-x - 9)$
C.$(-x + 9)(-x - 9)$
D.$(-x - 9)(x - 9)$
答案
D
解析
A. $(x + 9)(x - 9) = x^2 - 81$
B. $(x + 9)(-x - 9) = -x^2 - 18x - 81$
C. $(-x + 9)(-x - 9) = x^2 - 81$
D. $(-x - 9)(x - 9) = 81 - x^2$
D
B. $(x + 9)(-x - 9) = -x^2 - 18x - 81$
C. $(-x + 9)(-x - 9) = x^2 - 81$
D. $(-x - 9)(x - 9) = 81 - x^2$
D
