1. 计算$(a - 2)(a + 3)$的结果是()
A.$a^{2} - 6$
B.$a^{2} + a - 6$
C.$a^{2} + 6$
D.$a^{2} - a + 6$

B

$(a - 2)(a + 3)$
$=a \cdot a + a \cdot 3 - 2 \cdot a - 2 \cdot 3$
$=a^{2} + 3a - 2a - 6$
$=a^{2} + a - 6$
B

2. 计算：$(2x - 4)(2x + 1)= $.

4x²-6x-4

$(2x - 4)(2x + 1)$
$=2x×2x + 2x×1 - 4×2x - 4×1$
$=4x^{2} + 2x - 8x - 4$
$=4x^{2}-6x - 4$

3. 计算：(1)$(3x + y)(3x - y)$；(2)$(2a - 3b)\cdot(3a - 4b)$；(3)$(m - n)(m + n - 1)$.

解:
(1)原式=9x²-y².
(2)原式=6a²-17ab+12b².
(3)原式=m²-n²-m+n.

题型1 已知$a + b = m$,$ab = - 4$,化简$(a - 2)(b - 2)$的结果是()
A.6
B.$2m - 8$
C.$2m$
D.$- 2m$

题型1
解：
$\begin{aligned}&(a - 2)(b - 2)\\=&ab-2a - 2b + 4\\=&ab-2(a + b)+4\end{aligned}$
把$a + b = m$，$ab = - 4$代入上式得：
$-4-2m + 4=-2m$
题型2
解：
$\begin{aligned}&(x - 1)(x + 3)\\=&x^{2}+3x-x - 3\\=&x^{2}+2x - 3\end{aligned}$
因为$(x - 1)(x + 3)=ax^{2}+bx + c$，所以$a = 1$，$b = 2$，$c = - 3$。
把$a = 1$，$b = 2$，$c = - 3$代入$9a-3b + c$得：
$9×1-3×2-3=9 - 6 - 3=0$
题型3
解：
$\begin{aligned}&(2x - y)(2x + y)+(2x - y)(y - 4x)\\=&(2x - y)[(2x + y)+(y - 4x)]\\=&(2x - y)(2x + y + y - 4x)\\=&(2x - y)(2y - 2x)\\=&4xy-4x^{2}-2y^{2}+2xy\\=&6xy-4x^{2}-2y^{2}\end{aligned}$
把$x = - 1$，$y = 2$代入上式得：
$6×(-1)×2-4×(-1)^{2}-2×2^{2}=-12 - 4 - 8=-24$
题型4
解：
$\begin{aligned}&(3x - 2)(2x - 3)=(6x + 5)(x - 1)-1\\&6x^{2}-9x-4x + 6=6x^{2}-6x + 5x-5-1\\&6x^{2}-13x + 6=6x^{2}-x-6\\&-13x + x=-6 - 6\\&-12x=-12\\&x = 1\end{aligned}$
题型5
解：
摄影作品的长为$(a + 4)\mathrm{cm}$，宽为$(b + 4)\mathrm{cm}$，
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得面积$S=(a + 4)(b + 4)=ab+4a + 4b + 16(\mathrm{cm}^{2})$。
综上，答案依次为：题型1：$\boldsymbol{D}$；题型2：$\boldsymbol{0}$；题型3：$\boldsymbol{-24}$；题型4：$\boldsymbol{x = 1}$；题型5：$\boldsymbol{(ab + 4a + 4b + 16)\mathrm{cm}^{2}}$。

题型2 已知$(x - 1)(x + 3)= ax^{2} + bx + c$,求式子$9a - 3b + c$的值.
学习小助手 将多项式的乘法展开,等式的两边对比,根据对应项的系数相等确定$a$,$b$,$c$的值.

1. 首先展开$(x - 1)(x + 3)$：
根据多项式乘法法则$(m + n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，对于$(x - 1)(x + 3)$，有$(x - 1)(x + 3)=x\cdot x+x\cdot3+(-1)\cdot x+(-1)\cdot3$。
即$(x - 1)(x + 3)=x^{2}+3x - x - 3$。
合并同类项得$(x - 1)(x + 3)=x^{2}+2x - 3$。
2. 然后对比系数：
因为$(x - 1)(x + 3)=ax^{2}+bx + c$，所以$a = 1$，$b = 2$，$c=-3$。
3. 最后求$9a - 3b + c$的值：
把$a = 1$，$b = 2$，$c=-3$代入$9a - 3b + c$，得$9×1-3×2+( - 3)$。
先算乘法：$9×1 = 9$，$3×2 = 6$。
再算加减法：$9-6 - 3=0$。
所以$9a - 3b + c$的值为$0$。

题型3 先化简,再求值：$(2x - y)(2x + y)+(2x - y)(y - 4x)$,其中$x = - 1$,$y = 2$.

解：
$\begin{aligned}&(2x - y)(2x + y)+(2x - y)(y - 4x)\\=&(2x - y)[(2x + y)+(y - 4x)]\\=&(2x - y)(2x + y + y - 4x)\\=&(2x - y)(2y - 2x)\\=&4xy-4x^{2}-2y^{2}+2xy\\=&6xy-4x^{2}-2y^{2}\end{aligned}$
当$x = - 1$，$y = 2$时，
$\begin{aligned}&6×(-1)×2-4×(-1)^{2}-2×2^{2}\\=&-12 - 4 - 8\\=&-24\end{aligned}$
综上，原式化简后为$6xy - 4x^{2}-2y^{2}$，值为$-24$。

题型4 解方程：$(3x - 2)(2x - 3)= (6x + 5)(x - 1)-1$.

解：
$\begin{aligned}(3x - 2)(2x - 3)&=(6x + 5)(x - 1)-1\\6x^2-9x-4x + 6&=6x^2-6x+5x-5-1\\6x^2-13x + 6&=6x^2-x-6\\6x^2-13x-6x^2+x&=-6 - 6\\-12x&=-12\\x&=1\end{aligned}$
所以方程的解为$x = 1$。

题型5 为了参加某市“小主人杯”摄影大赛,小明同学将同学们参加植树活动的照片放大到长为$a$cm,宽为$b$cm,又精心地在四周加上了宽为2cm的木框,求小明同学的摄影作品的面积.

解：
照片放大后长为$a$cm，宽为$b$cm，四周木框宽为$2$cm。
那么加上木框后，长变为$(a + 2×2)$cm，宽变为$(b + 2×2)$cm。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得摄影作品面积$S=(a + 4)(b + 4)$
根据多项式乘法法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$展开$(a + 4)(b + 4)$：
$\begin{aligned}(a + 4)(b + 4)&=ab+4a+4b+16\end{aligned}$
所以小明同学的摄影作品的面积为$(ab + 4a + 4b + 16)\mathrm{cm}^2$。