1. (2024 文山期中)数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：$ - 3xy(4y - 2x - 1) = - 12xy^{2} + 6x^{2}y + ■ $. ■的地方被墨水弄污了，你认为■内应填写().

A.$ 3xy $
B.$ - 3xy $
C.$ - 1 $
D.$ 1 $

A

根据单项式与多项式相乘的运算法则，将单项式 $-3xy$ 分别与多项式 $4y - 2x - 1$ 的每一项相乘：
$-3xy × 4y = -12xy^2$，
$-3xy × (-2x) = 6x^2y$，
$-3xy × (-1) = 3xy$。
将上述结果相加，得到：
$-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$。
与题目中的等式对比，被墨水弄污的部分应为 $3xy$。

2. 已知$ x^{2} - 2x + 1 = 0 $，则代数式$ x(x - 2) + 3 $的值为().

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

C

由$x^{2}-2x+1=0$得$x^{2}-2x=-1$，$x(x-2)+3=x^{2}-2x+3=-1+3=2$

3. 计算：
(1) $ (- 4x^{2})(3x - 1) $；
(2) $ (3x^{2}y - 4xy + 1)( - \frac{1}{2}xy^{2}) $；
(3) $ (2xy^{2})^{2}(3x^{2} + y - 1) $.

(1) $(-4x^{2})(3x - 1)$
$=(-4x^{2})·3x + (-4x^{2})·(-1)$
$=-12x^{3} + 4x^{2}$
(2) $(3x^{2}y - 4xy + 1)(-\frac{1}{2}xy^{2})$
$=3x^{2}y·(-\frac{1}{2}xy^{2}) - 4xy·(-\frac{1}{2}xy^{2}) + 1·(-\frac{1}{2}xy^{2})$
$=-\frac{3}{2}x^{3}y^{3} + 2x^{2}y^{3} - \frac{1}{2}xy^{2}$
(3) $(2xy^{2})^{2}(3x^{2} + y - 1)$
$=4x^{2}y^{4}(3x^{2} + y - 1)$
$=4x^{2}y^{4}·3x^{2} + 4x^{2}y^{4}· y + 4x^{2}y^{4}·(-1)$
$=12x^{4}y^{4} + 4x^{2}y^{5} - 4x^{2}y^{4}$

4. 若$ (- 6x^{3})(x^{2} + ax - 3) $的展开式中不含$ x^{4} $项，则$ a $的值为().

A.$ 1 $
B.$ 0 $
C.$ - 1 $
D.$ \frac{1}{6} $

B

首先展开式子 $(-6x^{3})(x^{2} + ax - 3)$，根据分配律，有：
$-6x^{3} · x^{2} + (-6x^{3}) · (ax) + (-6x^{3}) · (-3)$
$= -6x^{5} - 6ax^{4} + 18x^{3}$
由题意，展开式中不含 $x^{4}$ 项，即 $x^{4}$ 项的系数为 0，因此：
$-6a = 0$
解得：$a = 0$

5. 若$ x(x^{2} + a) + 3x - 2b = x^{3} + 5x + 4 $恒成立，则$ a $，$ b $的值分别为().

A.$ - 2 $，$ - 2 $
B.$ 2 $，$ 2 $
C.$ 2 $，$ - 2 $
D.$ - 2 $，$ 2 $

C

首先将左边表达式展开：
$x(x^2 + a) + 3x - 2b = x^3 + ax + 3x - 2b$，
整理后为：$x^3 + (a + 3)x - 2b$。
根据恒等式：
$x^3 + (a + 3)x - 2b = x^3 + 5x + 4$，
比较对应项系数可得：
$a + 3 = 5$，
$-2b = 4$。
解得：
$a = 2$，
$b = -2$。

6. 计算：$ 3x - [2x(x + 2y) - 2y(2x - y)] + 2x^{2} = $.

$3x - 2y^2$

$\begin{aligned}&3x - [2x(x + 2y) - 2y(2x - y)] + 2x^{2}\\=&3x - [2x^2 + 4xy - (4xy - 2y^2)] + 2x^2\\=&3x - (2x^2 + 4xy - 4xy + 2y^2) + 2x^2\\=&3x - (2x^2 + 2y^2) + 2x^2\\=&3x - 2x^2 - 2y^2 + 2x^2\\=&3x - 2y^2\end{aligned}$

7. 先化简，再求值：
$ 3a(2a^{2} - 4a + 3) - 2a^{2}(3a - 4) $，其中$ a = - 2 $.

$-34$

解：
1. 展开单项式与多项式的乘积：
$3a(2a^{2} - 4a + 3) = 6a^{3} - 12a^{2} + 9a$，
$2a^{2}(3a - 4) = 6a^{3} - 8a^{2}$。
2. 去括号并合并同类项：
$6a^{3} - 12a^{2} + 9a - (6a^{3} - 8a^{2}) = 6a^{3} - 12a^{2} + 9a - 6a^{3} + 8a^{2} = -4a^{2} + 9a$。
3. 代入 $a = -2$ 求值：
$-4(-2)^{2} + 9(-2) = -4×4 - 18 = -16 - 18 = -34$。

8. (运算能力)请先阅读下列解题过程，再回答后面的问题.
已知$ x^{2} + x - 1 = 0 $，求$ x^{3} + 2x^{2} + 3 $的值.
解：$ \because x^{2} + x - 1 = 0 $，
$ \therefore x^{2} = 1 - x $，$ x^{2} + x = 1 $.
$ \therefore x^{3} + 2x^{2} + 3 = x · x^{2} + 2x^{2} + 3 = x(1 - x) + 2x^{2} + 3 = x - x^{2} + 2x^{2} + 3 = x^{2} + x + 3 = 1 + 3 = 4 $.
问题：若实数$ x $满足$ x^{2} - 2x - 1 = 0 $，求$ 2x^{3} - 7x^{2} + 4x - 2025 $的值.

由$x^{2} - 2x - 1 = 0$，得$x^{2} = 2x + 1$，$x^{2}-2x=1$。
$2x^{3} - 7x^{2} + 4x - 2025$
$=2x· x^{2}-7x^{2}+4x - 2025$
将$x^{2} = 2x + 1$代入上式可得：
原式$=2x(2x + 1)-7x^{2}+4x - 2025$
$=4x^{2}+2x - 7x^{2}+4x - 2025$
$=-3x^{2}+6x - 2025$
$=-3(x^{2}-2x)-2025$
将$x^{2}-2x = 1$代入上式可得：
原式$=-3×1-2025$
$=-3 - 2025$
$=-2028$
所以$2x^{3} - 7x^{2} + 4x - 2025$的值为$-2028$。