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6. 某电路图如图所示,其中$S_{1},S_{2},S_{3}$为电路开关,$L_{1},L_{2}$为能正常发光的灯泡.任意闭合开关$S_{1},S_{2},S_{3}$中的两个,那么能让两盏灯泡同时发光的概率为(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
A
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
A
解析
任意闭合两个开关，共有3种等可能情况：(S₁,S₂)、(S₁,S₃)、(S₂,S₃)。
闭合(S₁,S₂)：电流经S₁→S₂→L₂，L₁短路，仅L₂发光；
闭合(S₁,S₃)：电流分两支，一支S₁→S₃→L₁，另一支S₁→L₂，两灯并联，均发光；
闭合(S₂,S₃)：S₂、S₃闭合导致电源短路，两灯均不发光。
能让两盏灯泡同时发光的情况只有1种，概率为$\frac{1}{3}$。
闭合(S₁,S₂)：电流经S₁→S₂→L₂，L₁短路，仅L₂发光；
闭合(S₁,S₃)：电流分两支，一支S₁→S₃→L₁，另一支S₁→L₂，两灯并联，均发光；
闭合(S₂,S₃)：S₂、S₃闭合导致电源短路，两灯均不发光。
能让两盏灯泡同时发光的情况只有1种，概率为$\frac{1}{3}$。
7. 如图是一个沿$3×3$正方形方格纸的对角线AB剪下的图形,一质点P由A点出发,沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度,则点P由A点运动到B点的不同路径共有(
A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
B
)A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
答案
B
解析
由题意，质点P从A到B需沿格点线向右或向上运动，且运动路径在沿3×3方格纸对角线AB剪下的图形内（即路径不越过对角线）。此类路径问题可转化为卡特兰数问题，当从A到B需向右3步、向上3步且不越过对角线时，路径数为第3个卡特兰数。卡特兰数公式为$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$，当$n=3$时，$C_3 = \frac{1}{4}\binom{6}{3}=5$。故不同路径共有5条。
8. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是(
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{1}{9}$
A
)A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
A
解析
袋中有两个黄球和一个白球，总共有3个球。每次摸到黄球的概率为$\frac{2}{3}$。由于每次摸球后放回并摇匀，两次摸球的事件相互独立。因此，两次都摸到黄球的概率为：
$\frac{2}{3} × \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
$\frac{2}{3} × \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
9. 假定十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫作"中高数",如796就是一个"中高数".若十位上的数字为7,则从3,4,5,6,8,9中任选两数,与7组成"中高数"的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
C
解析
十位数字为7，“中高数”需满足百位和个位数字均小于7。从3,4,5,6,8,9中任选两数作为百位和个位，总情况数为从6个数中选2个的排列数：$A_{6}^{2}=6×5=30$种。小于7的数字有3,4,5,6共4个，符合条件的情况数为从4个数中选2个的排列数：$A_{4}^{2}=4×3=12$种。概率为$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$。
10. 在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩"猜数字"游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足$|m-n|\leqslant1$,那么就称甲、乙两人"心领神会",则两人"心领神会"的概率是(
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
B
解析
1. 确定所有可能的（m, n）组合总数：
甲从4个小球中任选一个，有4种可能；乙对每个球进行猜测，同样有4种可能。
因此，总共有 $4 × 4 = 16$ 种等可能的（m, n）组合。
2. 确定满足 $|m - n| \leqslant 1$ 的组合：
当 $m = 6$ 时，满足条件的 $n$ 有 $6, 7$，即组合为（6,6），（6,7），共2种。
当 $m = 7$ 时，满足条件的 $n$ 有 $6, 7, 8$，即组合为（7,6），（7,7），（7,8），共3种。
当 $m = 8$ 时，满足条件的 $n$ 有 $7, 8, 9$，即组合为（8,7），（8,8），（8,9），共3种。
当 $m = 9$ 时，满足条件的 $n$ 有 $8, 9$，即组合为（9,8），（9,9），共2种。
3. 计算满足条件的组合总数：
满足 $|m - n| \leqslant 1$ 的组合总数为 $2 + 3 + 3 + 2 = 10$ 种。
4. 计算概率：
两人“心领神会”的概率为 $\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。
甲从4个小球中任选一个，有4种可能；乙对每个球进行猜测，同样有4种可能。
因此，总共有 $4 × 4 = 16$ 种等可能的（m, n）组合。
2. 确定满足 $|m - n| \leqslant 1$ 的组合：
当 $m = 6$ 时，满足条件的 $n$ 有 $6, 7$，即组合为（6,6），（6,7），共2种。
当 $m = 7$ 时，满足条件的 $n$ 有 $6, 7, 8$，即组合为（7,6），（7,7），（7,8），共3种。
当 $m = 8$ 时，满足条件的 $n$ 有 $7, 8, 9$，即组合为（8,7），（8,8），（8,9），共3种。
当 $m = 9$ 时，满足条件的 $n$ 有 $8, 9$，即组合为（9,8），（9,9），共2种。
3. 计算满足条件的组合总数：
满足 $|m - n| \leqslant 1$ 的组合总数为 $2 + 3 + 3 + 2 = 10$ 种。
4. 计算概率：
两人“心领神会”的概率为 $\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。
11. 已知小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次,规定:如果两次都是正面,小红赢;如果两次是一正一反,小明赢.小红赢的概率是
1/4
,据此判断该游戏不公平
(填"公平"或"不公平").答案
1/4；不公平
解析
连续抛两次硬币，所有可能的结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。小红赢的情况是两次都是正面，即（正，正），只有1种，所以小红赢的概率是1/4。小明赢的情况是一正一反，有（正，反）、（反，正）2种，概率是2/4=1/2。因为1/4≠1/2，所以游戏不公平。
