24. (14分)如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,已知抛物线 $ y = ax^{2} + (a + \frac{8}{3})x + c $($ a \neq 0 $)经过点 $ A(-3,-2) $,与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,-2) $,抛物线的顶点为点 $ C $,对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ D $.
(1) 求抛物线的表达式及点 $ C $ 的坐标;
(2) 点 $ E $ 是 $ x $ 轴正半轴上的一点,如果 $ \angle AED = \angle BCD $,求点 $ E $ 的坐标;
(3) 在(2)的条件下,点 $ P $ 是位于 $ y $ 轴左侧抛物线上的一点,如果 $ \triangle PAE $ 是以 $ AE $ 为直角边的直角三角形,求点 $ P $ 的坐标.

(1)
将点$ A(-3,-2) $、$ B(0,-2) $代入抛物线$ y = ax^2 + (a + \frac{8}{3})x + c $：
代入$ B(0,-2) $得$ c = -2 $；
代入$ A(-3,-2) $得：
$ -2 = a(-3)^2 + (a + \frac{8}{3})(-3) - 2 \implies 9a - 3a - 8 - 2 = -2 \implies 6a = 8 \implies a = \frac{4}{3} $
抛物线表达式为$ y = \frac{4}{3}x^2 + 4x - 2 $。
顶点$ C $的横坐标$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot \frac{4}{3}} = -\frac{3}{2} $，代入抛物线得：
$y = \frac{4}{3}(-\frac{3}{2})^2 + 4(-\frac{3}{2}) - 2 = 3 - 6 - 2 = -5$
顶点$ C(-\frac{3}{2}, -5) $。
(2)
设$ E(e,0) $，$ e ＞ 0 $。已知$ B(0,-2) $、$ C(-\frac{3}{2},-5) $、$ D(-\frac{3}{2},0) $。
$ \angle BCD $中，$ CD \perp x $轴，$ CB $斜率$ k_{CB} = \frac{-2 - (-5)}{0 - (-\frac{3}{2})} = 2 $，故$ \tan \angle BCD = \frac{1}{2} $。
$ \angle AED $中，$ \tan \angle AED = \frac{2}{e + 3} $（由坐标计算得）。
令$ \frac{2}{e + 3} = \frac{1}{2} \implies e = 1 $，即$ E(1,0) $。
(3)
情况1：直角顶点在$ A $
$ AE $斜率$ \frac{1}{2} $，$ AP $斜率$ -2 $，直线$ AP $：$ y + 2 = -2(x + 3) \implies y = -2x - 8 $。
联立抛物线：$ \frac{4}{3}x^2 + 4x - 2 = -2x - 8 \implies 2x^2 + 9x +9=0 $。
解得$ x = -3 $（舍，即点$ A $）或$ x = -\frac{3}{2} $，$ P(-\frac{3}{2}, -5) $。
情况2：直角顶点在$ E $
$ EP $斜率$ -2 $，直线$ EP $：$ y = -2(x - 1) \implies y = -2x + 2 $。
联立抛物线：$ \frac{4}{3}x^2 + 4x - 2 = -2x + 2 \implies 2x^2 + 9x -6=0 $。
解得$ x = \frac{-9 - \sqrt{129}}{4} $（$ x ＜ 0 $），$ y = \frac{13 + \sqrt{129}}{2} $，$ P\left( \frac{-9 - \sqrt{129}}{4}, \frac{13 + \sqrt{129}}{2} \right) $。
答案
(1) 抛物线表达式$ y = \frac{4}{3}x^2 + 4x - 2 $，顶点$ C(-\frac{3}{2}, -5) $；
(2) $ E(1,0) $；
(3) $ P(-\frac{3}{2}, -5) $或$ \left( \frac{-9 - \sqrt{129}}{4}, \frac{13 + \sqrt{129}}{2} \right) $。