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21. (10分)如图,某天然气公司的主输气管道从 $ A $ 市的北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向直线延伸,测绘员在 $ A $ 处测得要安装天然气的 $ M $ 小区在 $ A $ 市的北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向,测绘员沿主输气管道步行 $ 1000 $ 米到达点 $ C $ 处,测得 $ M $ 小区位于点 $ C $ 的北偏西 $ 75^{\circ} $ 方向,试在主输气管道上寻找支管道连接点 $ N $,使到该小区铺设的管道最短,求 $ AN $ 的长度.(结果精确到 $ 1 $ m,参考数据:$ \sqrt{2} \approx 1.414 $,$ \sqrt{3} \approx 1.732 $)
答案
634米。
解析
过点M作MN⊥AC于N，此时MN最短，N为所求点。
在△AMC中，AC=1000米，∠MAC=30°（北偏东60°与北偏东30°夹角），∠ACM=45°（由方向角计算得），则∠AMC=180°-30°-45°=105°。
由正弦定理：$\frac{AM}{\sin\angle ACM}=\frac{AC}{\sin\angle AMC}$，即$\frac{AM}{\sin45°}=\frac{1000}{\sin105°}$。
$\sin105°=\sin(60°+45°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$AM=1000×\frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}=1000(\sqrt{3}-1)$。
在Rt△ANM中，∠MAN=30°，$AN=AM\cdot\cos30°=1000(\sqrt{3}-1)×\frac{\sqrt{3}}{2}=500(3-\sqrt{3})$。
代入$\sqrt{3}\approx1.732$，得$AN\approx500×(3-1.732)=500×1.268=634$米。
在△AMC中，AC=1000米，∠MAC=30°（北偏东60°与北偏东30°夹角），∠ACM=45°（由方向角计算得），则∠AMC=180°-30°-45°=105°。
由正弦定理：$\frac{AM}{\sin\angle ACM}=\frac{AC}{\sin\angle AMC}$，即$\frac{AM}{\sin45°}=\frac{1000}{\sin105°}$。
$\sin105°=\sin(60°+45°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$AM=1000×\frac{\sqrt{2}/2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}=1000(\sqrt{3}-1)$。
在Rt△ANM中，∠MAN=30°，$AN=AM\cdot\cos30°=1000(\sqrt{3}-1)×\frac{\sqrt{3}}{2}=500(3-\sqrt{3})$。
代入$\sqrt{3}\approx1.732$，得$AN\approx500×(3-1.732)=500×1.268=634$米。
