5. 如图,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle A B C = 90 ^ { \circ } $,$ A B = B C = 2 $,点 $ D $ 在 $ B C $ 上,在以 $ A C $ 为对角线的所有 $ □ A D C E $ 中,$ D E $ 的最小值是()

A.1
B.2
C.$ \sqrt { 2 } $
D.$ 2 \sqrt { 2 } $

B

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AB=BC=2$，则$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt{2}$，$AC$中点$O$为定点，$O$也是$□ADCE$对角线$DE$的中点，故$DE=2DO$，$DE$最小即$DO$最小。
以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建立坐标系，$A(0,2)$，$C(2,0)$，$O(1,1)$。点$D$在$BC$上，坐标设为$(x,0)$，$DO$为点$O(1,1)$到直线$BC$（$x$轴）上点$D$的距离，$DO$最小值为$O$到$BC$的垂线段长，即$O$的纵坐标$1$。故$DE=2×1=2$。

6. 某校合唱团有 30 名成员,下表是合唱团成员的年龄(单位:岁)分布统计表:
 

对于不同的 $ x $,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是()
A.平均数、中位数
B.平均数、方差
C.众数、中位数
D.众数、方差

C

已知合唱团总人数为30，即$5 + 15 + x + (10 - x) = 30$，该式恒成立。
分析平均数：
平均数$\bar{x}=\frac{13×5 + 14×15 + 15x + 16×(10 - x)}{30}=\frac{65 + 210 + 15x + 160 - 16x}{30}=\frac{435 - x}{30}$，平均数随$x$的变化而变化。
分析方差：
方差$s^{2}=\frac{1}{30}×[5×(13 - \bar{x})^{2}+15×(14 - \bar{x})^{2}+x×(15 - \bar{x})^{2}+(10 - x)×(16 - \bar{x})^{2}]$，因为平均数$\bar{x}$随$x$变化，所以方差也会随$x$变化。
分析众数：
年龄为$14$岁的频数是$15$，是所有年龄中出现次数最多的，所以众数是$14$，不随$x$的变化而变化。
分析中位数：
一共$30$个数据，排序后第$15$、$16$个数据的平均数为中位数，$13$岁有$5$人，$14$岁有$15$人，所以第$15$、$16$个数据都是$14$，中位数是$14$，不随$x$的变化而变化。
所以众数和中位数不会发生改变，答案选C。

7. 如图,将 $ \triangle A B C $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转转角 $ \alpha $,得到 $ \triangle E B D $.若点 $ A $ 恰好在 $ E D $ 的延长线上,则 $ \angle C A D $ 的度数为()

A.$ 90 ^ { \circ } - \alpha $
B.$ \alpha $
C.$ 180 ^ { \circ } - \alpha $
D.$ 2 \alpha $

B

由旋转性质得：△ABC≌△EBD，∴AB=EB，∠BAC=∠BED，旋转角∠ABE=α。
∵AB=EB，∴△ABE为等腰三角形，∠BAE=∠BEA=(180°-α)/2。
∵∠BAC=∠BED（对应角相等），且∠BEA=∠BED（E、D、A共线），∴∠BAC=∠BEA=(180°-α)/2。
∵点A在ED延长线上，∴∠CAD=180°-∠BAC-∠BAE=180°-2×[(180°-α)/2]=α。

8. 如图,$ \triangle A B C $ 的顶点 $ A ( - 8, 0 ) $,$ B ( - 2, 8 ) $,点 $ C $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,$ A B = A C $,将 $ \triangle A B C $ 向右平移得到 $ \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } $,若 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } $ 经过点 $ C $,则点 $ C ^ { \prime } $ 的坐标为()

A.$ \left( \frac { 7 } { 2 }, 6 \right) $
B.$ \left( 6, \frac { 7 } { 2 } \right) $
C.$ ( 4, 6 ) $
D.$ ( 6, 4 ) $

A

设点$ C(0,c) $，$ c＞0 $。
$ A(-8,0) $，$ B(-2,8) $，$ AB=\sqrt{(-2+8)^2+(8-0)^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10 $。
$ AB=AC $，$ AC=\sqrt{(0+8)^2+(c-0)^2}=\sqrt{64+c^2}=10 $，解得$ c=6 $，故$ C(0,6) $。
设向右平移$ h $个单位，则$ A'(-8+h,0) $，$ B'(-2+h,8) $。
直线$ A'B' $斜率$ k=\frac{8-0}{(-2+h)-(-8+h)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} $，方程为$ y=\frac{4}{3}(x+8-h) $。
$ A'B' $过$ C(0,6) $，代入得$ 6=\frac{4}{3}(8-h) $，解得$ h=\frac{7}{2} $。
$ C' $坐标为$ (0+\frac{7}{2},6)=(\frac{7}{2},6) $。

9. 已知 $ □ A B C D $,点 $ E $ 是边 $ B C $ 上的动点,以 $ A E $ 为边构造 $ □ A E F G $,使点 $ D $ 在边 $ F G $ 上,当点 $ E $ 由 $ B $ 往 $ C $ 运动的过程中,$ □ A E F G $ 面积变化情况是()

A.一直增大
B.保持不变
C.先增大后减小
D.先减小后增大

B

连接DE。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD与BC间的距离为定值（设为h）。对于△ADE，以AD为底，点E在BC上，E到AD的距离等于h，故S△ADE=1/2×AD×h（定值）。
又因为四边形AEFG是平行四边形，AE//FG，点D在FG上，所以点D到AE的距离等于FG与AE间的距离（即▱AEFG的高，设为d）。则S△ADE=1/2×AE×d，可得AE×d=2S△ADE（定值）。而▱AEFG的面积S=AE×d，故S为定值。