【典型例题】将下列各式分解因式：
(1)$x^{3}y - 2x^{2}y + xy$；
(2)$(a - b)^{2} + 4ab$；
(3)$(x^{2} - 8)^{2} + 8(x^{2} - 8) + 16$.
【解】(1)原式$= xy(x^{2} - 2x + 1)$
$= xy(x - 1)^{2}$.
(2)原式$= a^{2} - 2ab + b^{2} + 4ab$
$= a^{2} + 2ab + b^{2}$
$= (a + b)^{2}$.
(3)原式$= [(x^{2} - 8) + 4]^{2}$
$= (x^{2} - 4)^{2}$
$= [(x + 2)(x - 2)]^{2}$
$= (x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$.

(1)原式$=xy(x^{2}-2x + 1)$
$=xy(x - 1)^{2}$.
(2)原式$=a^{2}-2ab + b^{2}+4ab$
$=a^{2}+2ab + b^{2}$
$=(a + b)^{2}$.
(3)原式$=[(x^{2}-8)+4]^{2}$
$=(x^{2}-4)^{2}$
$=[(x + 2)(x - 2)]^{2}$
$=(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$.

1. (2024·四川眉山中考)分解因式：$3a^{3} - 12a = $ .

$3a(a + 2)(a - 2)$

首先，从 $3a^{3} - 12a$ 中提取最大公因式 $3a$，得到：
$3a^{3} - 12a = 3a(a^{2} - 4)$
接着，观察 $a^{2} - 4$，这是一个差平方形式，它可以进一步分解为：
$a^{2} - 4 = (a + 2)(a - 2)$
代入之前的式子，得到：
$3a^{3} - 12a = 3a(a + 2)(a - 2)$

2. 分解因式：
(1)$2ax^{2} + 12axy + 18ay^{2}$；
(2)$-a^{2}b - 49b + 14ab$；
(3)$a^{2}(x - y) + b^{2}(y - x)$.

(1)
首先提取公因式$2a$，可得：
$2ax^{2}+12axy + 18ay^{2}=2a(x^{2}+6xy + 9y^{2})$
再根据完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$，其中$m = x$，$n = 3y$，进一步分解可得：
$2a(x^{2}+6xy + 9y^{2})=2a(x + 3y)^{2}$
(2)
首先提取公因式$-b$，可得：
$-a^{2}b-49b + 14ab=-b(a^{2}-14a + 49)$
再根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$，其中$m = a$，$n = 7$，进一步分解可得：
$-b(a^{2}-14a + 49)=-b(a - 7)^{2}$
(3)
因为$x - y=-(y - x)$，所以原式可化为：
$a^{2}(x - y)+b^{2}(y - x)=a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)$
然后提取公因式$(x - y)$，可得：
$a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)=(x - y)(a^{2}-b^{2})$
再根据平方差公式$m^2-n^2=(m + n)(m - n)$，其中$m = a$，$n = b$，进一步分解可得：
$(x - y)(a^{2}-b^{2})=(x - y)(a + b)(a - b)$
综上，答案依次为：(1)$2a(x + 3y)^{2}$；(2)$-b(a - 7)^{2}$；(3)$(x - y)(a + b)(a - b)$。

1. (2024·云南中考)分解因式：$a^{3} - 9a = $()
A.$a(a - 3)(a + 3)$
B.$a(a^{2} + 9)$
C.$(a - 3)(a + 3)$
D.$a^{2}(a - 9)$

A

首先提取公因式$a$，得到$a(a^{2}-9)$，然后利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，对$a^{2}-9$继续分解，可得$a^{2}-9=(a + 3)(a - 3)$，所以$a^{3}-9a=a(a - 3)(a + 3)$。

2. (2024·广西中考)如果$a + b = 3$,$ab = 1$,那么$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$的值为()
A.$0$
B.$1$
C.$4$
D.$9$

D

首先，我们将原式 $a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$ 进行因式分解，提取公因式 $ab$，得到：
$a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + ab^{3} = ab(a^{2} + 2ab + b^{2})$
观察 $a^{2} + 2ab + b^{2}$，这是一个完全平方公式，即 $(a + b)^{2}$，所以原式可以进一步化简为：
$ab(a + b)^{2}$
根据题目条件，$a + b = 3$ 和 $ab = 1$，代入上面的表达式，得到：
$1 × 3^{2} = 9$

3. (2024·四川绵阳中考)分解因式：$2x^{2} + 8x + 8 = $ .

$2(x + 2)^{2}$。

首先，提取公因式$2$，得到：$2x^{2} + 8x + 8 = 2(x^{2} + 4x + 4)$，
接着，对多项式$x^{2} + 4x + 4$进行因式分解。
观察该多项式，可以发现它是一个完全平方的形式，即：$x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}$，
因此，原式可以进一步分解为：$2(x^{2} + 4x + 4) = 2(x + 2)^{2}$。

4. (2024·四川达州中考)分解因式：$3x^{2} - 18x + 27 = $ .

$3(x - 3)^{2}$

首先，从 $3x^{2} - 18x + 27$ 中提取最大公因数3，得到：
$3x^{2} - 18x + 27 = 3(x^{2} - 6x + 9)$
观察 $x^{2} - 6x + 9$，这是一个完全平方的形式，它可以表示为 $(x - 3)^{2}$。
因此，原式可以进一步写为：
$3(x^{2} - 6x + 9) = 3(x - 3)^{2}$

5. (2024·北京中考)分解因式：$x^{3} - 25x = $ .

$x(x + 5)(x - 5)$

首先，从 $x^{3} - 25x$ 中提取公因式 $x$，得到：
$x^{3} - 25x = x(x^{2} - 25)$
接着，观察 $x^{2} - 25$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 进行分解，得到：
$x(x^{2} - 25) = x(x + 5)(x - 5)$