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1. (2024·青海中考)如图,$OC$ 平分 $\angle AOB$,点 $P$ 在 $OC$ 上,$PD \perp OB$,$PD = 2$,则点 $P$ 到 $OA$ 的距离是(
A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
C
)A.$4$
B.$3$
C.$2$
D.$1$
答案
C
解析
过$P$点作$PE\perp OA$于点$E$。
因为$OC$平分$\angle AOB$，$PD\perp OB$，$PE\perp OA$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知$PD = 2$，所以$PE=PD = 2$，即点$P$到$OA$的距离是$2$。
因为$OC$平分$\angle AOB$，$PD\perp OB$，$PE\perp OA$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知$PD = 2$，所以$PE=PD = 2$，即点$P$到$OA$的距离是$2$。
2. 如图,在平面直角坐标系中,以 $O$ 为圆心,适当长为半径作弧,交 $x$ 轴于点 $M$,交 $y$ 轴于点 $N$,再分别以点 $M$,$N$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧,两弧在第二象限交于点 $P$. 若点 $P$ 的坐标为 $(a,b)$,则 $a$ 与 $b$ 的数量关系为
$a + b = 0$（或$a=-b$等价）
.答案
$a + b = 0$（或$a=-b$等价）
解析
根据作图过程可知，$OP$是第二象限角平分线，
在第二象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数的绝对值，且符号为横负纵正，
所以$a=-b$（或表示为$a + b = 0$），即$a$与$b$的数量关系为$a + b = 0$。
在第二象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数的绝对值，且符号为横负纵正，
所以$a=-b$（或表示为$a + b = 0$），即$a$与$b$的数量关系为$a + b = 0$。
3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,以点 $C$ 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 $AC$,$BC$ 于点 $D$,$E$,分别以点 $D$,$E$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}DE$ 的长为半径作弧,两弧交于点 $F$,作射线 $CF$ 交 $AB$ 于点 $G$,若 $AC = 9$,$BC = 6$,$\triangle BCG$ 的面积为 $8$,则 $\triangle ACG$ 的面积为
12
.答案
12
解析
由作图步骤知，CF是∠ACB的平分线，即CG平分∠ACB。设点G到AC、BC的距离均为h（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵△BCG的面积为8，BC=6，
∴$\frac{1}{2} × BC × h = 8$，即$\frac{1}{2} × 6 × h = 8$，解得$h = \frac{8}{3}$。
∵AC=9，
∴△ACG的面积为$\frac{1}{2} × AC × h = \frac{1}{2} × 9 × \frac{8}{3} = 12$。
∵△BCG的面积为8，BC=6，
∴$\frac{1}{2} × BC × h = 8$，即$\frac{1}{2} × 6 × h = 8$，解得$h = \frac{8}{3}$。
∵AC=9，
∴△ACG的面积为$\frac{1}{2} × AC × h = \frac{1}{2} × 9 × \frac{8}{3} = 12$。
4. 如图,已知 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线,$P$ 是 $OC$ 上的一点,$PD \perp OA$,$PE \perp OB$,垂足分别为 $D$,$E$,点 $F$ 是 $OC$ 上的另一点,连接 $DF$,$EF$. 求证 $DF = EF$.
答案
证明：
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）。
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵PD=PE，OP=OP，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴OD=OE（全等三角形的对应边相等）。
在△ODF和△OEF中，
∵OD=OE，∠DOF=∠EOF（OC是∠AOB的平分线），OF=OF，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF（全等三角形的对应边相等）。
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）。
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵PD=PE，OP=OP，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），
∴OD=OE（全等三角形的对应边相等）。
在△ODF和△OEF中，
∵OD=OE，∠DOF=∠EOF（OC是∠AOB的平分线），OF=OF，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF（全等三角形的对应边相等）。
5. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$BC ＞ BA$,$AD = DC$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,试猜想 $\angle BAD$ 与 $\angle DCB$ 的关系,并说明理由.
答案
∠BAD + ∠DCB = 180°。
理由：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F。
∵BD平分∠ABC，
∴DE = DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∵AD = DC，DE = DF，
∴Rt△ADE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴∠DAE = ∠DCF。
∵∠BAD + ∠DAE = 180°（平角的定义），
∴∠BAD + ∠DCF = 180°，即∠BAD + ∠DCB = 180°。
理由：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F。
∵BD平分∠ABC，
∴DE = DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∵AD = DC，DE = DF，
∴Rt△ADE ≌ Rt△CDF（HL）。
∴∠DAE = ∠DCF。
∵∠BAD + ∠DAE = 180°（平角的定义），
∴∠BAD + ∠DCF = 180°，即∠BAD + ∠DCB = 180°。
