16. (★★)(2024·南阳模拟)如图 24.1 - 33,在⊙O 中,弦 AD 与 BC 相交于点 E,连接 OE,已知 AD = BC,AD⊥CB。
(1)求证：AB = CD；
(2)若⊙O 的半径为 5,DE = 1,求 AE 的长。
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(1) 见解析；(2) 7

(1) 因为在$\odot O$中，$AD = BC$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，故$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此$AB = CD$。
(2) 设$AE = x$，则$AD = x + 1$，$BC = AD = x + 1$。
过$O$作$OM\perp AD$于$M$，$ON\perp BC$于$N$，则$AM = MD=\frac{x + 1}{2}$，$BN = NC=\frac{x + 1}{2}$，且$OM = ON$。
因$AD\perp BC$，四边形$OMEN$为正方形，设$OM = ON = a$，则$EM = EN = a$。
$EM = AE - AM = x-\frac{x + 1}{2}=\frac{x - 1}{2}$，即$a=\frac{x - 1}{2}$。
在$Rt\triangle OMD$中，$OM^{2}+MD^{2}=OD^{2}$，即$(\frac{x - 1}{2})^{2}+(\frac{x + 1}{2})^{2}=5^{2}$。
化简得$\frac{(x^{2}-2x + 1)+(x^{2}+2x + 1)}{4}=25$，$\frac{2x^{2}+2}{4}=25$，$x^{2}=49$，解得$x = 7$（负值舍去）。
故$AE = 7$。

1. (★)(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的.
(2)同弧或等弧所对的圆周角.
(3)半圆所对的圆周角是.
(4)直径所对的圆周角是.
(5)$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是.

(1)圆心角的一半；(2)相等；(3)直角；(4)直角；(5)直径

(1)根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(2)由圆周角定理的推论，同弧或等弧所对的圆周角相等。
(3)半圆所对的圆心角是180°，所以圆周角是90°，即直角。
(4)直径所对的圆心角是180°，因此圆周角是90°，为直角。
(5)90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以所对的弦是直径。

2. (★)圆内接四边形的对角.

互补

圆内接四边形的对角互补。

3. (★)如图 24.1-34,下列选项中,$\angle\alpha$为圆周角的是【】

C

根据圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。依次分析各选项，只有选项C满足顶点在圆上且两边与圆相交。