9. (★)在⊙O 中,AB 是弦,∠OAB = $50^{\circ}$,则弦 AB 所对的圆心角的度数是。

80°

在⊙O中，OA=OB（半径相等），故△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA=50°。根据三角形内角和定理，∠AOB=180°-50°-50°=80°，即弦AB所对的圆心角的度数是80°。

10. (★)如图 24.1 - 27,在⊙O 中,点 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,∠A = $50^{\circ}$,则∠BOC 的度数为。

40°

∵OA=OB，∠A=50°，
∴∠B=∠A=50°。
∴∠AOB=180°-∠A-∠B=80°。
∵点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°。

11. (★★)如图 24.1 - 28,AB 是⊙O 的直径,C,D 为半圆的三等分点,CE⊥AB 于点 E,则∠ACE 的度数为。

30°

连接OC。
∵AB是⊙O直径，C为半圆三等分点，
∴∠AOC=180°÷3=60°。
∵OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，∠OAC=60°。
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°。在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠OAC=90°-60°=30°。

*12. (★★)如图 24.1 - 29,在 5×5 的正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角的大小是【】

A.$60^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$80^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

D

在网格中确定A、B、C三点坐标（设小正方形边长为1，建立坐标系），设A(0,2)，B(2,2)，C(3,1)。
1. 求AB的垂直平分线：AB为水平线段，中点(1,2)，垂直平分线为竖直线x=1。
2. 求BC的垂直平分线：B(2,2)，C(3,1)，中点(2.5,1.5)，BC斜率为-1，垂直平分线斜率为1，方程为y-1.5=x-2.5，即y=x-1。
3. 联立x=1与y=x-1，得圆心O(1,0)。
4. 计算OA、OC：OA=√[(1-0)²+(0-2)²]=√5，OC=√[(1-3)²+(0-1)²]=√5，OA=OC。
5. 向量OA=(-1,2)，向量OC=(2,1)，数量积(-1)(2)+(2)(1)=0，故OA⊥OC，∠AOC=90°。

13. (★★)如图 24.1 - 30,在⊙O 中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{CD}$,有下列结论：① AB = CD；② AC = BD；③ ∠AOC = ∠BOD；④ $\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BD}$。其中正确的个数是【】

A.1
B.2
C.3
D.4

D

在⊙O中，∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，∴AB=CD（①正确），∠AOB=∠COD。∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB - ∠COB=∠COD - ∠COB，即∠AOC=∠BOD（③正确）。∵∠AOC=∠BOD，∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$（④正确），AC=BD（②正确）。综上，①②③④均正确，共4个。

14. (★★)如图 24.1 - 31,在⊙O 中,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CB}$,CD⊥OA 于点 D,CE⊥OB 于点 E,求证：AD = BE。
]

证明：
连接 $OC$。
因为$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CB}$，
所以$\angle AOC = \angle BOC$（等弧所对的圆心角相等）。
又因为$CD \perp OA$，$CE \perp OB$，
所以$\angle CDO = \angle CEO = 90°$。
在$\triangle COD$和$\triangle COE$中：
$\begin{cases}\angle AOC = \angle BOC,\\\angle CDO = \angle CEO,\\OC = OC.\end{cases}$
所以$\triangle COD\cong \triangle COE (AAS)$。
因此$OD = OE$。
因为$OA = OB$，
所以$OA - OD = OB - OE$，
即$AD = BE$。

15. (★★)如图 24.1 - 32,AB 为⊙O 的弦,半径 OC,OD 分别交 AB 于点 E,F,且$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{DB}$。
(1)求证：OE = OF。
(2)作半径 ON⊥AB 于点 M,交⊙O 于点 N,若 AB = 8,MN = 2,求 OM 的长。
]

(1)见证明过程；(2)OM=3。

(1)证明：连接OA、OB。
∵OA、OB为⊙O半径，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$，∴∠AOC=∠BOD（等弧所对的圆心角相等），即∠AOE=∠BOF。
在△OAE和△OBF中，
$\begin{cases} ∠OAE=∠OBF, \\ OA=OB, \\ ∠AOE=∠BOF, \end{cases}$
∴△OAE≌△OBF（ASA），∴OE=OF。
(2)∵ON⊥AB于M，∴AM=BM=$\frac{AB}{2}=4$（垂径定理），∠OMA=90°。
设OM=x，∵MN=2，ON为半径，∴ON=OM+MN=x+2，即半径R=x+2。
在Rt△OAM中，OA²=OM²+AM²，即$R^2=x^2+4^2$。
∵R=x+2，∴$(x+2)^2=x^2+16$，
展开得$x^2+4x+4=x^2+16$，
化简得$4x=12$，∴x=3，即OM=3。