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11. 如图所示,已知AB是$\odot O$的弦,$\angle AOB= 120^\circ$,$OC\perp AB$,垂足为C,OC的延长线交$\odot O$于点D.若$\angle APD是\widehat{AD}$所对的圆周角,则$\angle APD$的度数是______.
30°
答案
解：
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB（垂径定理）。
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°。
∵∠AOC是圆心角，∠APD是$\widehat{AD}$所对的圆周角，
∴∠APD=$\frac{1}{2}$∠AOC（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。
∴∠APD=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
30°
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB（垂径定理）。
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°。
∵∠AOC是圆心角，∠APD是$\widehat{AD}$所对的圆周角，
∴∠APD=$\frac{1}{2}$∠AOC（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。
∴∠APD=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
30°
12. 如图所示,$\odot O$的直径AB与弦CD相交于点P,且$\angle APC= 45^\circ$,若$PC^2+PD^2= 32$,则$\odot O$的半径为______
4
.答案
解：过点O作OE⊥CD于点E，连接OC。
设⊙O的半径为r，OP = x，CE = ED = m（垂径定理），PE = n。
在Rt△OEP中，∠APC = 45°，则OE = PE = n。
在Rt△OEC中，OC² = CE² + OE²，即r² = m² + n² ①。
PC = CE + PE = m + n，PD = DE - PE = m - n。
PC² + PD² = (m + n)² + (m - n)² = 2m² + 2n² = 32，即m² + n² = 16 ②。
由①②得r² = 16，解得r = 4。
答案：4
设⊙O的半径为r，OP = x，CE = ED = m（垂径定理），PE = n。
在Rt△OEP中，∠APC = 45°，则OE = PE = n。
在Rt△OEC中，OC² = CE² + OE²，即r² = m² + n² ①。
PC = CE + PE = m + n，PD = DE - PE = m - n。
PC² + PD² = (m + n)² + (m - n)² = 2m² + 2n² = 32，即m² + n² = 16 ②。
由①②得r² = 16，解得r = 4。
答案：4
13. 在$\odot O$中,弦AB和弦AC构成的$\angle BAC= 48^\circ$,M,N分别是AB和AC的中点,则$\angle MON$的度数为
132°
.答案
解：连接OA，OB，OC。
∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC（垂径定理）。
∴∠OMA=∠ONA=90°。
在四边形AMON中，∠BAC=48°，
∠MON=360°-∠OMA-∠ONA-∠BAC=360°-90°-90°-48°=132°。
当圆心O在∠BAC外部时，
∠MON=∠OMA+∠ONA-∠BAC=90°+90°-48°=132°（此时与内部情况结果相同，或通过圆周角与圆心角关系推导，最终∠MON=180°-48°=132°）。
综上，∠MON的度数为132°。
132°
∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC（垂径定理）。
∴∠OMA=∠ONA=90°。
在四边形AMON中，∠BAC=48°，
∠MON=360°-∠OMA-∠ONA-∠BAC=360°-90°-90°-48°=132°。
当圆心O在∠BAC外部时，
∠MON=∠OMA+∠ONA-∠BAC=90°+90°-48°=132°（此时与内部情况结果相同，或通过圆周角与圆心角关系推导，最终∠MON=180°-48°=132°）。
综上，∠MON的度数为132°。
132°
14. 如图所示,将一把带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心点O,另一边所在直线与半圆相交于点D,E.已知半径$OC= 5$ cm,弦$DE= 8$ cm,则直尺的宽为
3cm
.答案
解：过点O作OH⊥DE于点H，连接OD。
∵OH⊥DE，DE=8cm，
∴DH=HE=4cm。
∵OD=OC=5cm，
在Rt△ODH中，OH=$\sqrt{OD^2 - DH^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$cm。
答：直尺的宽为3cm。
∵OH⊥DE，DE=8cm，
∴DH=HE=4cm。
∵OD=OC=5cm，
在Rt△ODH中，OH=$\sqrt{OD^2 - DH^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$cm。
答：直尺的宽为3cm。
15. 如图所示,AB是$\odot O$的直径,$AB= 8$,点M在$\odot O$上,$\angle MAB= 20^\circ$,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点,若$MN= 1$,则$\triangle PMN$的周长的最小值为______
5
.答案
解：作点N关于AB的对称点N'，连接MN'交AB于点P，此时△PMN周长最小，最小值为PM+PN+MN=PM+PN'+MN=MN'+MN。
连接OM、ON、ON'。
∵AB是直径，AB=8，
∴OA=OM=4。
∵∠MAB=20°，
∴∠MOB=2∠MAB=40°。
∵N是弧MB的中点，
∴∠NOB=∠MOB=20°，
∴∠MON=20°。
∵N与N'关于AB对称，
∴∠N'OB=∠NOB=20°，
∴∠MON'=∠MOB+∠N'OB=40°+20°=60°。
∵OM=ON'=4，∠MON'=60°，
∴△MON'是等边三角形，
∴MN'=OM=4。
∵MN=1，
∴△PMN周长的最小值为MN'+MN=4+1=5。
答案：5
连接OM、ON、ON'。
∵AB是直径，AB=8，
∴OA=OM=4。
∵∠MAB=20°，
∴∠MOB=2∠MAB=40°。
∵N是弧MB的中点，
∴∠NOB=∠MOB=20°，
∴∠MON=20°。
∵N与N'关于AB对称，
∴∠N'OB=∠NOB=20°，
∴∠MON'=∠MOB+∠N'OB=40°+20°=60°。
∵OM=ON'=4，∠MON'=60°，
∴△MON'是等边三角形，
∴MN'=OM=4。
∵MN=1，
∴△PMN周长的最小值为MN'+MN=4+1=5。
答案：5
16. 如图所示,$\triangle ABC内接于半径为\sqrt{5}$的半圆O中,AB为直径,M是$\widehat{AC}$的中点,连结BM交AC于点E,AD平分$\angle CAB$交BM于点D,$\angle ADB= 135^\circ$,且D为BM的中点,则DM的长为
2
,BC的长为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
.答案
2；$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
