4. (2024海淀期中)已知$\odot O的半径为3$,线段$AB= 2$,若$\odot O与线段AB$有两个交点,则点$O到直线AB的距离d$的取值范围是.

$2\sqrt{2}\leq d\lt3$

要使$\odot O$与线段$AB$有两个交点，需满足：1. 圆心$O$到直线$AB$的距离$d\lt$半径$3$（直线与圆相交）；2. 线段$AB$两端点在圆外或圆上（避免线段在圆内无交点）。
设$O$到$AB$的垂足为$M$，$AB=2$，则$AM=MB=1$。当$A$、$B$在圆上时，$OA=OB=3$，由勾股定理得$d=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{9 - 1}=2\sqrt{2}$。
当$d\gt2\sqrt{2}$时，$OA=OB\gt3$（端点在圆外），直线$AB$与圆相交弦长$CD=2\sqrt{9 - d^2}\lt2$，交点在线段$AB$上；当$d=2\sqrt{2}$时，$A$、$B$在圆上，有两个交点。综上，$d$的范围是$2\sqrt{2}\leq d\lt3$。

5. (2023东莞一模)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$AB= 3$,$BC= 4$. 当$\odot B与直线AC$相切时,$\odot B的半径r= $.

$\frac{12}{5}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。设$AC$边上的高为$h$，根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}AC\cdot h$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，解得$h=\frac{12}{5}$。因为$\odot B$与直线$AC$相切，所以半径$r$等于圆心$B$到直线$AC$的距离，即$r=h=\frac{12}{5}$。

6. (2023随州期中)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 6$,$BC= 8$,以点$C为圆心所作的圆与边AB$仅有一个交点,则$\odot C的半径r$的取值范围为.

$r=\frac{24}{5}$或$6 ＜ r \leq 8$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。设点$C$到$AB$的距离为$h$，由面积法得$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot h$，即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$，解得$h=\frac{24}{5}=4.8$。
圆与边$AB$仅有一个交点分两种情况：
1. 圆与$AB$相切，此时$r=h=\frac{24}{5}$；
2. 圆与$AB$相交且仅有一个交点，此时半径$r$满足$AC ＜ r \leq BC$，即$6 ＜ r \leq 8$。
综上，$r$的取值范围为$r=\frac{24}{5}$或$6 ＜ r \leq 8$。

1. 圆的切线的判定定理：经过半径的并且于这条半径的直线是圆的切线。
2. 圆的切线的性质定理：圆的切线经过切点的。
思考 判定一条直线是圆的切线有哪几种方法？圆的切线有哪些性质？

1. 外端；垂直 2. 垂直于；半径 思考：判定方法：①定义法；②数量关系法；③判定定理。性质：①唯一公共点；②距离等于半径；③垂直于过切点的半径。

1. 外端；垂直 2. 垂直于；半径 思考：判定方法：①定义法：直线与圆只有一个公共点；②数量关系法：圆心到直线的距离等于半径；③判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于经过切点的半径。

例 1 (2024 镇江中考)如图,将△ABC 沿过点 A 的直线翻折并展开,点 C 的对应点 C'落在边 AB 上,折痕为 AD,点 O 在边 AB 上,⊙O 经过点 A,D。若∠ACB = 90°,判断 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由。

名师导引 证明某直线是圆的切线的常用思路：如果已知直线过圆上的一点,则作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径；如果直线和圆的公共点不确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径。

解：$BC$是$\odot O$的切线，理由如下：
连接$OD$。
由折叠可知，$\angle CAD = \angle BAD$，
因为$OA = OD$，
所以$\angle BAD = \angle ADO$，
所以$\angle CAD = \angle ADO$，
所以$OD// AC$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，
所以$\angle ODB = \angle ACB = 90^{\circ}$，
即$OD\perp BC$。
又$OD$为$\odot O$的半径，
所以 $BC$是$\odot O$的切线。

变式训练 如图,P 是∠BAC 的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为 D,AB 与以 P 为圆心,PD 的长为半径的圆相切吗？请说明理由。

AB与以P为圆心，PD的长为半径的圆相切。
理由：过点P作PE⊥AB于点E。
∵AP平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴PE=PD。
∵PD是圆P的半径，
∴PE是圆P的半径。
∵PE⊥AB，
∴AB与圆P相切。

例 2 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P,连接 AC,若∠A = 30°,PC = 3,则 BP 的长为。
名师导引 在运用圆的切线的性质定理时,常常作连接圆心和切点的辅助线,得到半径,这条半径垂直于切线。

$\sqrt{3}$（题目要求是填空题，若转化为选择题形式，本题无选项，此处按要求应填结果相关内容，由于是填空题答案，按要求格式这里应填具体数值答案）。

连接 $OC$，因为 $PC$ 是$\odot O$ 的切线，所以 $OC\bot PC$，
即 $\angle OCP = 90^{\circ}$。
已知$\angle A=30^{\circ}$，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，$\angle COB = 2\angle A=60^{\circ}$。
在$Rt\triangle OCP$中，$\angle COP = 60^{\circ}$，$\angle OCP = 90^{\circ}$，$\angle P=30^{\circ}$，
因为$PC = 3$，设$OC = x$，则$OP = 2x$。
根据勾股定理$OP^{2}=OC^{2}+PC^{2}$，即$(2x)^{2}=x^{2}+3^{2}$，
$4x^{2}=x^{2}+9$，
$3x^{2}=9$，
$x^{2}=3$，
解得$x=\sqrt{3}$（$x\gt0$），所以$OP = 2\sqrt{3}$。
又因为$OA = OC=\sqrt{3}$，所以$BP = OP - OB=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。