17. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC＞AC$,点$D在BC$上,且$DC = AC$,$\angle ACB的平分线CF交AD于F$,点$E是AB$的中点,连接$EF$.
(1)求证:$EF// BC$;
(2)若四边形$BDFE的面积为6$,求$\triangle ABD$的面积.

(1) $EF // BC$；
(2) $\triangle ABD$的面积为8。

(1) 首先，由于$DC = AC$，且$CF$是$\angle ACB$的平分线，
所以$F$为$AD$的中点。
又因为$E$是$AB$的中点，
根据中位线定理，$EF$为$\triangle ABD$的中位线，
所以$EF // BC$。
(2) 由(1)可知，$EF$为$\triangle ABD$的中位线，
所以$\triangle AEF \sim \triangle ABD$，且相似比为$\frac{1}{2}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\triangle AEF$与$\triangle ABD$的面积比为$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
设$\triangle ABD$的面积为$S$，则$\triangle AEF$的面积为$\frac{S}{4}$。
四边形$BDFE$的面积为$\triangle ABD$的面积减去$\triangle AEF$的面积，
即$S - \frac{S}{4} = \frac{3S}{4}$。
由题意，四边形$BDFE$的面积为6，
所以$\frac{3S}{4} = 6$，
解得$S = 8$。

18. 如图,在梯形$ABCD$中,$AD// BC$,点$E是边AD$的中点,连接$BE交AC于点F$,$BE的延长线交CD的延长线于点G$.
(1)求证:$\frac{GE}{GB}= \frac{AE}{BC}$;
(2)若$GE = 2$,$BF = 3$,求线段$EF$的长.

(1)证明见上述解析；(2)1

(1)由题可知$AD// BC$，在$\triangle GDE$和$\triangle GCB$中，$\angle GDE=\angle GCB$，$\angle DGE=\angle BGC$，所以$\triangle GDE\sim\triangle GCB$，则$\frac{GE}{GB}=\frac{DE}{BC}$。
因为点$E$是边$AD$的中点，所以$AE = DE$，从而$\frac{GE}{GB}=\frac{AE}{BC}$。
(2)由$AD// BC$，在$\triangle AEF$和$\triangle CBF$中，$\angle EAF=\angle BCF$，$\angle AEF=\angle CBF$，所以$\triangle AEF\sim\triangle CBF$，则$\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}$。
由(1)知$\frac{GE}{GB}=\frac{AE}{BC}$，所以$\frac{EF}{BF}=\frac{GE}{GB}$。
已知$GE = 2$，$BF = 3$，设$EF = x$，$GB=GE + BE$，$BE=EF + BF=x + 3$，即$GB=2+(x + 3)=x + 5$。
则$\frac{x}{3}=\frac{2}{x + 5}$，交叉相乘得$x(x + 5)=6$，即$x^{2}+5x - 6=0$。
因式分解得$(x + 6)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=-6$（线段长度不能为负舍去），所以$EF = 1$。

19. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$\angle AED= \angle B$,射线$AG分别交线段DE$,$BC于点F$,$G$,且$\frac{AD}{AC}= \frac{DF}{CG}$.
(1)求证:$\triangle ADF\sim\triangle ACG$;
(2)若$\frac{AD}{AC}= \frac{1}{2}$,求$\frac{AF}{FG}$的值.

(1) 证明过程如上述；
(2) $1$

(1) 证明：
在$\triangle ADE$和$\triangle ACB$中，
$\angle AED = \angle B$，$\angle A$为公共角，
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADE \sim \triangle ACB$，
所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
又已知$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$，
所以$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{CG}$，
即$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{CG}$，
因为$\angle A$为公共角，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\triangle ADF \sim \triangle ACG$。
(2) 由(1)知$\triangle ADF \sim \triangle ACG$，
所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
已知$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
则$\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$，
即$AG = 2AF$，
因为$AG=AF + FG$，
所以$AF + FG = 2AF$，
移项可得$FG = AF$，
所以$\frac{AF}{FG}=1$。