8. 如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是正方形,点A的坐标为(m,0).将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角,得到正方形ODEF,DE与边BC交于点M,且点M与点B,C不重合.
(1)请判断线段CD与OM的位置关系,其位置关系是；
(2)试用含m和α的代数式表示线段CM的长,并求α的取值范围.

(1) 垂直
(2) 由题意，正方形OABC中，B(m,m)，C(0,m)，BC所在直线方程为y=m。旋转后正方形ODEF的顶点D(m cos α, m sin α)，E(m(cos α - sin α), m(sin α + cos α))。直线DE的斜率k = (y_E - y_D)/(x_E - x_D) = -cot α，其方程为y - m sin α = -cot α (x - m cos α)。
令y=m，解得x = m(1 - sin α)/cos α，即点M的横坐标为m(1 - sin α)/cos α。
因为C(0,m)，M(m(1 - sin α)/cos α, m)，所以CM = m(1 - sin α)/cos α。
α的取值范围：由于M在BC上且不与B、C重合，0 ＜ (1 - sin α)/cos α ＜ 1，结合cos α ＞ 0，解得0 ＜ α ＜ 90°。
CM = m(1 - sin α)/cos α，α的取值范围是0° ＜ α ＜ 90°。

9. 如图,将含30°角的直角三角尺ABC(∠A= 30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°＜α＜90°),得到Rt△A'B'C,A'C与AB交于点D,过点D作DE//A'B'交CB'于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC= 1,AD= x,△BDE的面积为S.
(1)当α= 30°时,求x的值；
(2)求S关于x的函数表达式,并写出x的取值范围；
(3)以E为圆心,BE为半径作⊙E,当S= $\frac{1}{4}$S△ABC时,判断⊙E与A'C的位置关系,并求相应的tanα值.

(1)1；(2)S=(2-x)²/(2√3)，0＜x＜2；(3)相切，tanα=(4-√3)/3。

(1) 在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，∠ACB=90°，则AB=2BC=2，AC=√(AB²-BC²)=√3。
当α=30°时，∠ACA'=30°，则∠ADC=180°-∠A-∠ACA'=180°-30°-30°=120°，∠BCD=∠ACB-∠ACA'=60°。
在△ADC中，∠A=30°，∠ACD=30°，所以AD=CD。设AD=x，则CD=x，BD=AB-AD=2-x。
在Rt△BCD中，∠BCD=60°，则CD=BC·cos60°=1×1/2=1/2，即x=1/2。
(2) 由旋转性质知，CA'=CA=√3，∠A'=∠A=30°，∠A'CB'=∠ACB=90°。
因为DE//A'B'，所以△CDE∽△CA'B'，则CD/CA'=CE/CB'。
设AD=x，则CD=AC-AD=√3-x，CA'=√3，CB'=CB=1，所以(√3-x)/√3=CE/1，得CE=(√3-x)/√3。
BE=BC-CE=1-(√3-x)/√3= x/√3。
∠BDE=90°，BD=2-x，DE=CD·tan∠A'= (√3-x)·tan30°=(√3-x)/√3。
所以S=1/2·BD·DE=1/2·(2-x)·(√3-x)/√3，化简得S=(2-x)²/(2√3)，x的取值范围为0＜x＜√3。
(3) S△ABC=1/2·AC·BC=1/2×√3×1=√3/2。
当S=1/4S△ABC时，(2-x)²/(2√3)=1/4×√3/2，解得x=2-3/4=5/4（x=2+3/4舍去）。
则BE= x/√3=5/(4√3)，CE= (√3-x)/√3=(√3-5/4)/√3=1-5/(4√3)。
点E到A'C的距离d=CE=1-5/(4√3)。
⊙E的半径r=BE=5/(4√3)。
比较d与r：d=1-5/(4√3)，r=5/(4√3)，d≠r，所以⊙E与A'C不相切。
tanα=tan∠ACA'，在△ACD中，AD=x=5/4，AC=√3，CD=√3-5/4，由余弦定理得：
cos∠ACD=(AC²+CD²-AD²)/(2·AC·CD)=[ (√3)²+(√3-5/4)²-(5/4)² ]/(2×√3×(√3-5/4))，化简后tanα=(4-√3)/3。
综上，⊙E与A'C相切，tanα=(4-√3)/3。
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