巩固提升 如图,在△ABC 中,∠A = 30°,∠B = 60°,CE 平分∠ACB.
(1)求∠ACE 的度数；
(2)CD⊥AB 于点 D,点 F 在 CE 上,∠CDF = 75°,求∠CFD 的度数.

(1)
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle ACB=180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$。
(2)
因为$CD\perp AB$，$\angle B = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BCD = 90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
由(1)知$\angle ACE = 45^{\circ}$，所以$\angle DCF=\angle ACE-\angle BCD = 45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$。
在$\triangle CDF$中，已知$\angle CDF = 75^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle CFD=180^{\circ}-\angle CDF-\angle DCF=180^{\circ}-75^{\circ}-15^{\circ}=90^{\circ}$。
综上，(1)中$\angle ACE$的度数为$45^{\circ}$；(2)中$\angle CFD$的度数为$90^{\circ}$。

例 3 如图,已知∠B = ∠ADB,∠C = ∠CAD,若∠BAC = 78°,求∠BAD 的度数.

名师导引 可以设∠C = ∠CAD = x,利用三角形外角的性质表示出其余的角,再借助三角形内角和为 180°建立方程. 在角的求值问题中,常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化,然后利用三角形内角和定理列方程求解.

设$\angle C = \angle CAD = x$。
根据三角形外角性质，$\angle ADB=\angle C+\angle CAD = 2x$。
因为$\angle B = \angle ADB$，所以$\angle B = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B + \angle BAC+\angle C = 180^{\circ}$，已知$\angle BAC = 78^{\circ}$，则$2x + 78^{\circ}+x = 180^{\circ}$。
$3x=180^{\circ}-78^{\circ}=102^{\circ}$，解得$x = 34^{\circ}$。
$\angle BAD=\angle BAC-\angle CAD=78^{\circ}- 34^{\circ}=44^{\circ}$。
综上，$\angle BAD$的度数为$44^{\circ}$。

巩固提升 如图,在△ABC 中,AB = AC,D,E 分别在边 AC,AB 上,且 BC = BD,AD = DE = EB,求∠A 的度数.

设∠A=x。
∵AD=DE，∴∠AED=∠A=x（等边对等角），
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-2x（三角形内角和定理）。
∵DE=EB，设∠EBD=∠EDB=y，
∴∠DEB=180°-2y（三角形内角和定理）。
∵A，E，B共线，∴∠AED+∠DEB=180°，即x+180°-2y=180°，得x=2y，∴y= x/2。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），设∠ABC=∠ACB=z，
则∠DBC=∠ABC-∠EBD=z - x/2。
∵BC=BD，∴∠BDC=∠ACB=z（等边对等角）。
在△BDC中，∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，即(z - x/2)+z+z=180°，得3z - x/2=180°①。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2z=180°，得z=(180°-x)/2②。
将②代入①：3×(180°-x)/2 - x/2=180°，
化简得270°-2x=180°，解得x=45°。
∠A=45°。

1. 以下列各组线段为边,能组成三角形的是()
A.2 cm,3 cm,5 cm
B.5 cm,6 cm,10 cm
C.1 cm,1 cm,3 cm
D.3 cm,4 cm,9 cm

B

根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：
A. 2+3=5，不大于第三边5，不能组成三角形；
B. 5+6=11＞10，5+10=15＞6，6+10=16＞5，能组成三角形；
C. 1+1=2＜3，不大于第三边3，不能组成三角形；
D. 3+4=7＜9，不大于第三边9，不能组成三角形。

2. (跨学科融合)光线在镜面上反射时,经过入射点与镜面垂直的直线是法线,反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角. 如图,两束光线$ l_1,l_2 $分别从不同方向射向镜面 m,入射点为$ A,B,n_1,n_2 $是法线$. l_1,l_2 $的反射光线相交于点 C. 若∠1 = 30°,∠2 = 50°,则∠ACB 的度数是()

A.30°
B.50°
C.80°
D.90°

C

因为法线垂直于镜面，所以$n_1 \perp m$，$n_2 \perp m$，故$n_1 // n_2$。
由反射定律知：反射角等于入射角。
对于入射点$A$，入射角$\angle 1 = 30°$，则反射光线与$n_1$的夹角（反射角）为$30°$，故反射光线与镜面$m$的夹角为$90° - 30° = 60°$，即$\angle CAB = 60°$。
对于入射点$B$，入射角$\angle 2 = 50°$，则反射光线与$n_2$的夹角（反射角）为$50°$，故反射光线与镜面$m$的夹角为$90° - 50° = 40°$，即$\angle CBA = 40°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 180° - \angle CAB - \angle CBA = 180° - 60° - 40° = 80°$。

3. 如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,点 A 落在点 F 处,已知∠1 + ∠2 = 100°,则∠A 的度数为()


A.80°
B.100°
C.50°
D.以上都不对

C

由折叠可知$\angle FDE=\angle ADE$，$\angle FED=\angle AED$，
根据三角形内角和定理，可得：
$\angle A+\angle ADE+\angle AED=180^{\circ}$，
$\angle1 + \angle FDE+\angle ADE=180^{\circ}$，
$\angle2+\angle FED+\angle AED = 180^{\circ}$，
因为$\angle FDE=\angle ADE$，$\angle FED=\angle AED$，
所以$\angle1 + 2\angle ADE=180^{\circ}$，
$\angle2 + 2\angle AED=180^{\circ}$，
则$\angle1+\angle2+2(\angle ADE+\angle AED)=360^{\circ}$，
把$\angle1 + \angle2 = 100^{\circ}$，$\angle A+\angle ADE+\angle AED=180^{\circ}$代入上式可得：
$100^{\circ}+2(180^{\circ}-\angle A)=360^{\circ}$，
$100^{\circ}+360^{\circ}-2\angle A=360^{\circ}$，
$-2\angle A= - 100^{\circ}$，
解得$\angle A = 50^{\circ}$。

4. 下列条件：①∠A + ∠B = ∠C；②∠A：∠B：∠C = 5：3：2；③∠A = 90° - ∠B；④∠A = 2∠B = 3∠C；⑤∠A = $\frac{1}{3}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C. 其中能确定△ABC 是直角三角形的有()
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

B

①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形；②设∠A=5k，∠B=3k，∠C=2k，5k+3k+2k=180°，k=18°，∠A=90°，是直角三角形；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∠C=180°-90°=90°，是直角三角形；④设∠A=3∠C，则∠B=1.5∠C，3∠C+1.5∠C+∠C=180°，∠C≈32.7°，∠A≈98.1°，不是直角三角形；⑤设∠A=k，则∠B=∠C=3k，k+3k+3k=180°，k≈25.7°，∠B=∠C≈77.1°，不是直角三角形。能确定的有①②③，共3个。

5. 等腰三角形的周长为 17 cm,一边长为 4 cm,则其底边长为cm.

4

当腰长为4cm时，底边长为17-4×2=9cm，此时4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，舍去；当底边长为4cm时，腰长为(17-4)÷2=6.5cm，此时6.5+4＞6.5，满足三角形三边关系，所以底边长为4cm。