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4. 如图,某校准备在校园里利用25 m长的旧围墙MN的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD,现已备足可以砌60 m长的墙的材料(全部用完),设AB的长为x m.
(1)BC的长为
(2)当x为何值时,矩形花园ABCD的面积为$400 m^2；$
(3)嘉嘉说:“矩形花园ABCD的面积可以为$500 m^2.”$请你判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由.
(1)BC的长为
(60-2x)
m,x的取值范围是17.5≤x＜30
；(2)当x为何值时,矩形花园ABCD的面积为$400 m^2；$
x=20
(3)嘉嘉说:“矩形花园ABCD的面积可以为$500 m^2.”$请你判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由.
不正确，理由：令x(60-2x)=500，整理得x²-30x+250=0，判别式Δ=(-30)²-4×1×250=900-1000=-100＜0，方程无实数根，故面积不能为500 m²。
答案
(1) 因为矩形花园ABCD中，AB=CD=x m，设BC的长为y m，砌墙材料总长为AB+BC+CD=2x+y=60 m，所以y=60-2x，即BC的长为(60-2x)m。又因为AD=BC=60-2x m，AD利用旧围墙，旧围墙长25 m，所以0＜60-2x≤25，解得17.5≤x＜30。故BC的长为(60-2x)m，x的取值范围是17.5≤x＜30。
(2) 矩形面积S=AB·BC=x(60-2x)，令S=400，得x(60-2x)=400，整理得x²-30x+200=0，解得x₁=10，x₂=20。因为17.5≤x＜30，所以x=20。
(3) 嘉嘉的说法不正确。理由：令x(60-2x)=500，整理得x²-30x+250=0，判别式Δ=(-30)²-4×1×250=900-1000=-100＜0，方程无实数根，故面积不能为500 m²。
(1)(60-2x)；17.5≤x＜30
(2)x=20
(3)不正确，理由见上述步骤。
(2) 矩形面积S=AB·BC=x(60-2x)，令S=400，得x(60-2x)=400，整理得x²-30x+200=0，解得x₁=10，x₂=20。因为17.5≤x＜30，所以x=20。
(3) 嘉嘉的说法不正确。理由：令x(60-2x)=500，整理得x²-30x+250=0，判别式Δ=(-30)²-4×1×250=900-1000=-100＜0，方程无实数根，故面积不能为500 m²。
(1)(60-2x)；17.5≤x＜30
(2)x=20
(3)不正确，理由见上述步骤。
5. 如图,A,B,C,D为矩形的4个顶点,AB= 16 cm,BC= 6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以4 cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;点Q以2 cm/s的速度向点B移动,经过多长时间P,Q两点之间的距离是10 cm?
答案
设经过$x$秒$P$，$Q$两点之间的距离是$10cm$。
此时$AP = 4x cm$，$CQ = 2x cm$，则$BP=(16 - 4x)cm$，$BQ=(6 - 2x)cm$。
由勾股定理得$BQ^{2}+BP^{2}=PQ^{2}$，即$(6 - 2x)^{2}+(16 - 4x)^{2}=100$。
展开式子得$36-24x + 4x^{2}+256-128x + 16x^{2}=100$。
合并同类项得$20x^{2}-152x + 192 = 0$，化简为$5x^{2}-38x + 48 = 0$。
因式分解得$(5x - 8)(x - 6)=0$。
解得$x_{1}=1.6$，$x_{2}=6$（当$x = 6$时，$BQ=6 - 2×6=-6\lt0$，不合题意，舍去）。
所以，经过$1.6$秒$P$，$Q$两点之间的距离是$10cm$。
此时$AP = 4x cm$，$CQ = 2x cm$，则$BP=(16 - 4x)cm$，$BQ=(6 - 2x)cm$。
由勾股定理得$BQ^{2}+BP^{2}=PQ^{2}$，即$(6 - 2x)^{2}+(16 - 4x)^{2}=100$。
展开式子得$36-24x + 4x^{2}+256-128x + 16x^{2}=100$。
合并同类项得$20x^{2}-152x + 192 = 0$，化简为$5x^{2}-38x + 48 = 0$。
因式分解得$(5x - 8)(x - 6)=0$。
解得$x_{1}=1.6$，$x_{2}=6$（当$x = 6$时，$BQ=6 - 2×6=-6\lt0$，不合题意，舍去）。
所以，经过$1.6$秒$P$，$Q$两点之间的距离是$10cm$。
6. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠C= ∠D= 90°,BC= 16,CD= 12,AD= 21.动点P从点D出发,沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动.点P,Q分别从点D,C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动.设运动时间为t(单位:s),当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形?
答案
t=3.5或t=16/3
解析
以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形时，分三种情况：
情况1：BP=BQ
过B作BE⊥AD于E，得矩形BCDE，BE=CD=12，DE=BC=16，AE=AD-DE=5。
PD=2t，PE=DE-PD=16-2t，BP²=BE²+PE²=12²+(16-2t)²=4t²-64t+400。
CQ=t，BQ=BC-CQ=16-t，BQ²=(16-t)²=t²-32t+256。
由BP²=BQ²得4t²-64t+400=t²-32t+256，化简3t²-32t+144=0，判别式Δ=(-32)²-4×3×144=-704＜0，无解。
情况2：BP=PQ
PQ²=CD²+(PD-CQ)²=12²+(2t-t)²=t²+144。
由BP²=PQ²得4t²-64t+400=t²+144，化简3t²-64t+256=0，解得t₁=16/3，t₂=16（t₂=16时P超出AD，舍去），故t=16/3。
情况3：BQ=PQ
由BQ²=PQ²得t²-32t+256=t²+144，化简-32t+112=0，解得t=3.5。
综上，t=3.5或t=16/3。
答案：t=3.5或t=16/3
情况1：BP=BQ
过B作BE⊥AD于E，得矩形BCDE，BE=CD=12，DE=BC=16，AE=AD-DE=5。
PD=2t，PE=DE-PD=16-2t，BP²=BE²+PE²=12²+(16-2t)²=4t²-64t+400。
CQ=t，BQ=BC-CQ=16-t，BQ²=(16-t)²=t²-32t+256。
由BP²=BQ²得4t²-64t+400=t²-32t+256，化简3t²-32t+144=0，判别式Δ=(-32)²-4×3×144=-704＜0，无解。
情况2：BP=PQ
PQ²=CD²+(PD-CQ)²=12²+(2t-t)²=t²+144。
由BP²=PQ²得4t²-64t+400=t²+144，化简3t²-64t+256=0，解得t₁=16/3，t₂=16（t₂=16时P超出AD，舍去），故t=16/3。
情况3：BQ=PQ
由BQ²=PQ²得t²-32t+256=t²+144，化简-32t+112=0，解得t=3.5。
综上，t=3.5或t=16/3。
答案：t=3.5或t=16/3
