1. 下列各数最小的是()

A.$ - | - 2 | $
B.$ 2^{-1} $
C.$ (-2)^{0} $
D.$ (-\frac{1}{2})^{-2} $

A

A. $ - | - 2 | = -2$；
B. $2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$；
C. $(-2)^{0} = 1$；
D. $(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^{2}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$。
比较各选项数值的大小：
$-2 ＜ 0.5 ＜ 1 ＜ 4$，
所以，最小的数是$-2$，对应选项A。

2. (2024·西宁)下列计算正确的是()
A.$ - 5^{2} = 25 $
B.$ (-5)^{3} = - 15 $
C.$ 5^{-2} = - 25 $
D.$ 5^{4} ÷ 5^{3} = 5 $

D

A. 计算 $-5^2$，由于指数运算优先于负号，$-5^2 = - (5 × 5) = -25$，与选项A中的25不符，故A错误。
B. 计算 $(-5)^3$，$(-5)^3 = -5 × -5 × -5 = -125$，与选项B中的-15不符，故B错误。
C. 计算 $5^{-2}$，根据负指数幂的定义，$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$，与选项C中的-25不符，故C错误。
D. 计算 $5^4 ÷ 5^3$，根据同底数幂的除法法则，$5^4 ÷ 5^3 = 5^{4-3} = 5^1 = 5$，与选项D中的5相符，故D正确。

3. 下列计算错误的是()

A.$ 2^{0} × 2^{-3} = \frac{1}{8} $
B.$ (3.14 - \pi)^{0} = 1 $
C.$ a^{0} = 1 $
D.$ (\frac{1}{4})^{0} ÷ (-\frac{1}{4})^{-1} = - \frac{1}{4} $

C

A.$2^{0}×2^{-3}=1×\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$，正确；B.$3.14 - \pi\neq0$，$(3.14 - \pi)^{0}=1$，正确；C.当$a=0$时，$a^{0}$无意义，错误；D.$(\frac{1}{4})^{0}÷(-\frac{1}{4})^{-1}=1÷(-4)=-\frac{1}{4}$，正确。

4. 将代数式 $ \frac{a}{5^{-1}xy^{2}} $ 化成不含有分母的形式是.

5axy^{-2}

根据负整数指数幂的性质，$5^{-1}=\frac{1}{5}$，则原式可化为$\frac{a}{\frac{1}{5}xy^{2}}=a÷\frac{1}{5}xy^{2}=a×5xy^{-2}=5axy^{-2}$

5. 计算：
(1)$ 3^{-1} - \sqrt{\frac{1}{9}} + (3 - \sqrt{3})^{0} $；
(2)$ (-2025)^{0} - 2^{-2} - (-\frac{1}{2})^{-3} × (\pi - 3.14)^{0} - (-3)^{2} $.

(1)
首先，根据负整数指数幂的定义，$3^{-1}=\frac{1}{3}$；
根据算术平方根的定义，$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$；
根据零指数幂的定义，$(3 - \sqrt{3})^{0}=1$。
则$3^{-1}-\sqrt{\frac{1}{9}}+(3 - \sqrt{3})^{0}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+1 = 1$。
(2)
根据零指数幂的定义，$(-2025)^{0}=1$，$(\pi - 3.14)^{0}=1$；
根据负整数指数幂的定义，$2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$，$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8$；
$(-3)^{2}=9$。
则$(-2025)^{0}-2^{-2}-(-\frac{1}{2})^{-3}×(\pi - 3.14)^{0}-(-3)^{2}=1-\frac{1}{4}-(-8)×1 - 9$
$=1-\frac{1}{4}+8 - 9$
$=(1 + 8-9)-\frac{1}{4}$
$=-\frac{1}{4}$。
综上，答案依次为：(1)$1$；(2)$-\frac{1}{4}$。

6. 计算下列各式,并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式.
(1)$ a^{-2}b^{2} \cdot (-2a^{2}b^{-2})^{-2} ÷ (a^{-4}b^{2}) $；
(2)$ (\frac{3}{4}c^{2}a^{-1}b^{-3})^{3} \cdot (2a^{2}b^{-1}c^{-1})^{3} $.

(1)
$原式 = a^{-2}b^{2} \cdot \frac{1}{(-2a^{2}b^{-2})^{2}} \cdot \frac{1}{a^{-4}b^{2}}$
$= a^{-2}b^{2} \cdot \frac{1}{4a^{4}b^{-4}} \cdot \frac{1}{a^{-4}b^{2}}$
$= a^{-2}b^{2} \cdot \frac{1}{4}a^{-4}b^{4} \cdot a^{4}b^{-2}$
$= \frac{1}{4}a^{-2-4+4}b^{2+4-2}$
$= \frac{1}{4}a^{-2}b^{4}$
$= \frac{b^{4}}{4a^{2}}$
(2)
$原式 = (\frac{3}{4}c^{2}a^{-1}b^{-3})^{3} \cdot (2a^{2}b^{-1}c^{-1})^{3}$
$= (\frac{3}{4})^{3}c^{6}a^{-3}b^{-9} \cdot 2^{3}a^{6}b^{-3}c^{-3}$
$= \frac{27}{64}c^{6}a^{-3}b^{-9} \cdot 8a^{6}b^{-3}c^{-3}$
$= \frac{27}{8}a^{-3+6}b^{-9-3}c^{6-3}$
$= \frac{27}{8}a^{3}b^{-12}c^{3}$
$= \frac{27a^{3}c^{3}}{8b^{12}}$

7. 如果 $ (x - 3)^{0} + (3x - 6)^{-2} $ 有意义,那么 $ x $ 的取值范围是()
A.$ x ＞ 3 $
B.$ x ＞ 2 $
C.$ x \neq 3 $ 或 $ x \neq 2 $
D.$ x \neq 3 $ 且 $ x \neq 2 $

D

对于 $(x - 3)^0$，要求 $x - 3 \neq 0$，即 $x \neq 3$。
对于 $(3x - 6)^{-2}$，要求 $3x - 6 \neq 0$，即 $x \neq 2$。
因此，$x$ 需同时满足 $x \neq 3$ 且 $x \neq 2$。

8. 若 $ (1 - x)^{3x - 2} = 1 $,则 $ x $ 的值为.

0，$\frac{2}{3}$，2

分三种情况讨论：
1. 非零数的零次幂等于1：指数$3x - 2 = 0$且底数$1 - x \neq 0$，解得$x = \frac{2}{3}$，此时底数$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \neq 0$，成立；
2. 1的任何次幂等于1：底数$1 - x = 1$，解得$x = 0$，此时指数$3×0 - 2 = -2$，$1^{-2} = 1$，成立；
3. -1的偶次幂等于1：底数$1 - x = -1$，解得$x = 2$，此时指数$3×2 - 2 = 4$（偶数），$(-1)^4 = 1$，成立。
综上，$x$的值为0，$\frac{2}{3}$，2。

9. (新定义)对于实数 $ a $,$ b $,定义运算：$ a ▲ b = \begin{cases} a^{b}(a ＞ b,a \neq 0) \\ a^{-b}(a \leq b,a \neq 0) \end{cases} $.
如：$ 2 ▲ 3 = 2^{-3} = \frac{1}{8} $,$ 4 ▲ 2 = 4^{2} = 16 $.照此定义的运算方式计算 $ [2 ▲ (-4)] × [(-4) ▲ (-2)] = $.

1

1. 计算$2▲(-4)$：
$a=2$，$b=-4$，因为$2 ＞ -4$且$2\neq0$，根据定义得$2▲(-4)=2^{-4}$。
由负整数指数幂法则：$2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$。
2. 计算$(-4)▲(-2)$：
$a=-4$，$b=-2$，因为$-4 ＜ -2$且$-4\neq0$，根据定义得$(-4)▲(-2)=(-4)^{-(-2)}=(-4)^2$。
计算得$(-4)^2=16$。
3. 计算乘积：$\frac{1}{16} × 16 = 1$。