9. 多项式$2a^{n - 1}-4a^{n + 1}的公因式是M$,则$M$等于.

$2a^{n-1}$

多项式 $2a^{n-1} - 4a^{n+1}$ 的两项为 $2a^{n-1}$ 和 $-4a^{n+1}$。
系数部分为 2 和 -4，最大公约数为 2。
字母 $a$ 的指数分别为 $n-1$ 和 $n+1$，取较小的指数 $n-1$。
因此，公因式 $M = 2a^{n-1}$。

10. 利用因式分解计算：
(1)$1.01^{2}-1.01×0.01$；
(2)$38×20.25 + 63×20.25 - 20.25$；
(3)$3×2^{5}+6×2^{5}+4×2^{3}$；

(4)$\frac{2025^{3}-2025^{2}-2024}{2025^{3}+2025^{2}-2026}$.

(1)
原式 $=1.01×(1.01 - 0.01)$
$=1.01×1$
$=1.01$
(2)
原式 $=20.25×(38 + 63 - 1)$
$=20.25×100$
$=2025$
(3)
原式 $=2^{3}×(3×2^{2}+6×2^{2}+4)$
$=2^{3}×(12 + 24 + 4)$
$=8×40$
$=320$
(4)
分子 $2025^{3}-2025^{2}-2024=2025^{2}(2025 - 1)-2024=2025^{2}×2024-2024=(2024)(2025^{2}-1)=(2024)(2025 + 1)(2025 - 1)=2024×2026×2024$
分母 $2025^{3}+2025^{2}-2026=2025^{2}(2025 + 1)-2026=2025^{2}×2026-2026=2026×(2025^{2}-1)=2026×(2025 + 1)(2025 - 1)=2026×2026×2024$
原式 $=\frac{2024×2026×2024}{2026×2026×2024}=\frac{2024}{2026}=\frac{1012}{1013}$

11. 已知$x - y = 1$,$xy = 6$,求下列代数式的值：
(1)$x^{2}y - xy^{2}$；
(2)$-2x^{2}y + 2xy^{2}$.

(1)
首先，对$x^{2}y - xy^{2}$提取公因式$xy$，得到：
$x^{2}y - xy^{2} = xy(x - y)$
根据题目给定的条件，$x - y = 1$，$xy = 6$，代入上式得：
$x^{2}y - xy^{2} = 6 × 1 = 6$
(2)
首先，对$-2x^{2}y + 2xy^{2}$提取公因式$-2xy$，得到：
$-2x^{2}y + 2xy^{2} = -2xy(x - y)$
同样根据题目给定的条件，$x - y = 1$，$xy = 6$，代入上式得：
$-2x^{2}y + 2xy^{2} = -2 × 6 × 1 = -12$