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1. 计算$(a^{2})^{3}\cdot a^{5}$等于(
A.$a^{10}$
B.$a^{11}$
C.$a^{13}$
D.$3a^{7}$
B
)A.$a^{10}$
B.$a^{11}$
C.$a^{13}$
D.$3a^{7}$
答案
B
解析
根据幂的乘方运算法则，$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$，再根据同底数幂的乘法法则，$a^{6}\cdot a^{5}=a^{6 + 5}=a^{11}$。
2. 下列运算正确的是(
A.$(-a^{2})^{3}= a^{6}$
B.$(a^{3})^{4}= a^{7}$
C.$(-x^{3})^{4}= -x^{12}$
D.$(m^{2})^{5}= (m^{5})^{2}$
D
)A.$(-a^{2})^{3}= a^{6}$
B.$(a^{3})^{4}= a^{7}$
C.$(-x^{3})^{4}= -x^{12}$
D.$(m^{2})^{5}= (m^{5})^{2}$
答案
D
解析
A. $(-a^{2})^{3} = (-1)^{3} \cdot (a^{2})^{3} = -a^{6}$，与选项A中的$a^{6}$不符，故A错误。
B. $(a^{3})^{4} = a^{3 × 4} = a^{12}$，与选项B中的$a^{7}$不符，故B错误。
C. $(-x^{3})^{4} = ((-1) \cdot x^{3})^{4} = (-1)^{4} \cdot (x^{3})^{4} = x^{12}$，与选项C中的$-x^{12}$不符，故C错误。
D. $(m^{2})^{5} = m^{2 × 5} = m^{10}$，$(m^{5})^{2} = m^{5 × 2} = m^{10}$，两者相等，故D正确。
B. $(a^{3})^{4} = a^{3 × 4} = a^{12}$，与选项B中的$a^{7}$不符，故B错误。
C. $(-x^{3})^{4} = ((-1) \cdot x^{3})^{4} = (-1)^{4} \cdot (x^{3})^{4} = x^{12}$，与选项C中的$-x^{12}$不符，故C错误。
D. $(m^{2})^{5} = m^{2 × 5} = m^{10}$，$(m^{5})^{2} = m^{5 × 2} = m^{10}$，两者相等，故D正确。
3. (2024·龙港)已知$2^{m}= a$,$2^{n}= b$,则$2^{2m + 3n}用a$,$b$可以表示为(
A.$6ab$
B.$a^{2}+b^{3}$
C.$2a + 3b$
D.$a^{2}b^{3}$
D
)A.$6ab$
B.$a^{2}+b^{3}$
C.$2a + 3b$
D.$a^{2}b^{3}$
答案
D
解析
因为$2^m = a$，所以$(2^m)^2 = a^2$，即$2^{2m} = a^2$；因为$2^n = b$，所以$(2^n)^3 = b^3$，即$2^{3n} = b^3$。则$2^{2m + 3n} = 2^{2m} × 2^{3n} = a^2b^3$。
4. 计算$(-2a^{3}b)^{2}-3a^{6}b^{2}$的结果是(
A.$-7a^{6}b^{2}$
B.$-5a^{6}b^{2}$
C.$a^{6}b^{2}$
D.$7a^{6}b^{2}$
C
)A.$-7a^{6}b^{2}$
B.$-5a^{6}b^{2}$
C.$a^{6}b^{2}$
D.$7a^{6}b^{2}$
答案
C
解析
根据积的乘方运算法则，对$(-2a^{3}b)^{2}$进行展开，有：
$(-2a^{3}b)^{2} = (-2)^{2} × (a^{3})^{2} × b^{2} = 4 × a^{6} × b^{2} = 4a^{6}b^{2}$，
将上述结果代入原式，得到：
$4a^{6}b^{2} - 3a^{6}b^{2}$，
合并同类项，有：
$4a^{6}b^{2} - 3a^{6}b^{2} = a^{6}b^{2}$。
$(-2a^{3}b)^{2} = (-2)^{2} × (a^{3})^{2} × b^{2} = 4 × a^{6} × b^{2} = 4a^{6}b^{2}$，
将上述结果代入原式，得到：
$4a^{6}b^{2} - 3a^{6}b^{2}$，
合并同类项，有：
$4a^{6}b^{2} - 3a^{6}b^{2} = a^{6}b^{2}$。
5. 若$(a^{m}b^{n})^{3}= a^{9}b^{15}$,则$m$,$n$的值分别为(
A.$9$,$5$
B.$3$,$5$
C.$5$,$3$
D.$6$,$12$
B
)A.$9$,$5$
B.$3$,$5$
C.$5$,$3$
D.$6$,$12$
答案
B
解析
根据幂的乘方运算法则，$(a^{m}b^{n})^{3} = a^{3m}b^{3n}$。
题目给出 $(a^{m}b^{n})^{3} = a^{9}b^{15}$，因此有：
$a^{3m}b^{3n} = a^{9}b^{15}$
由相等条件可得：
$3m = 9$，$3n = 15$
解得：
$m = 3$，$n = 5$
题目给出 $(a^{m}b^{n})^{3} = a^{9}b^{15}$，因此有：
$a^{3m}b^{3n} = a^{9}b^{15}$
由相等条件可得：
$3m = 9$，$3n = 15$
解得：
$m = 3$，$n = 5$
6. 若$x^{n}= 5$,$y^{n}= 3$,则$(xy)^{2n}$的值为(
A.$15$
B.$45$
C.$75$
D.$225$
D
)A.$15$
B.$45$
C.$75$
D.$225$
答案
D
解析
因为$x^{n}=5$，$y^{n}=3$，所以$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}=5×3=15$，则$(xy)^{2n}=[(xy)^{n}]^{2}=15^{2}=225$
7. 已知$9^{m}= 81$,$27^{n}= 729$,则$3^{2m + 3n}= $
59049
。答案
59049
解析
因为$9^{m}=81$，而$9=3^2$，$81=3^4$，所以$(3^2)^m=3^4$，即$3^{2m}=3^4$，可得$2m=4$；因为$27^{n}=729$，而$27=3^3$，$729=3^6$，所以$(3^3)^n=3^6$，即$3^{3n}=3^6$，可得$3n=6$。则$3^{2m + 3n}=3^{2m} × 3^{3n}=3^4 × 3^6=3^{10}=59049$。
8. 一个正方体的棱长为$4×10^{3}\ mm$,用科学记数法表示它的体积是
$6.4×10^{10}$
$mm^{3}$。答案
$6.4×10^{10}$
解析
正方体的体积公式为$V = a^{3}$，其中$a$为正方体的棱长。
将$a = 4×10^{3}mm$代入公式，可得：
$V=(4×10^{3})^{3}$
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），
则$(4×10^{3})^{3}=4^{3}×(10^{3})^{3}$。
因为$4^{3}=4×4×4 = 64$，
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），
$(10^{3})^{3}=10^{3×3}=10^{9}$。
所以$V = 64×10^{9}$，
将$64×10^{9}$转化为科学记数法：
$64×10^{9}=6.4×10×10^{9}=6.4×10^{10}(mm^{3})$
将$a = 4×10^{3}mm$代入公式，可得：
$V=(4×10^{3})^{3}$
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数），
则$(4×10^{3})^{3}=4^{3}×(10^{3})^{3}$。
因为$4^{3}=4×4×4 = 64$，
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），
$(10^{3})^{3}=10^{3×3}=10^{9}$。
所以$V = 64×10^{9}$，
将$64×10^{9}$转化为科学记数法：
$64×10^{9}=6.4×10×10^{9}=6.4×10^{10}(mm^{3})$
9. 若$(x^{3})^{5}= 2^{15}×3^{15}$,则$x= $
6
。答案
6
解析
根据幂的乘方运算法则，$(x^{3})^{5} = x^{3 × 5} = x^{15}$。
等式右边 $2^{15} × 3^{15}$ 可以合并为 $(2 × 3)^{15} = 6^{15}$。
因此，有 $x^{15} = 6^{15}$。
由于底数相同，指数也相同，可以直接得出 $x = 6$。
等式右边 $2^{15} × 3^{15}$ 可以合并为 $(2 × 3)^{15} = 6^{15}$。
因此，有 $x^{15} = 6^{15}$。
由于底数相同，指数也相同，可以直接得出 $x = 6$。
10. 若$3^{3x + 1}\cdot5^{3x + 1}= 15^{2x + 4}$,则$x= $
3
。答案
$3$
解析
根据题意，有 $3^{3x + 1} \cdot 5^{3x + 1} = 15^{2x + 4}$，
根据积的乘方的逆运算，将左边的 $3^{3x + 1} \cdot 5^{3x + 1}$ 合并为 $(3 \cdot 5)^{3x + 1}$，即：
$15^{3x + 1} = 15^{2x + 4}$，
由于底数相同，可以直接比较指数，得到方程：$3x + 1 = 2x + 4$，
解这个方程，得到：$x = 3$。
根据积的乘方的逆运算，将左边的 $3^{3x + 1} \cdot 5^{3x + 1}$ 合并为 $(3 \cdot 5)^{3x + 1}$，即：
$15^{3x + 1} = 15^{2x + 4}$，
由于底数相同，可以直接比较指数，得到方程：$3x + 1 = 2x + 4$，
解这个方程，得到：$x = 3$。
11. 计算：
(1)$(-x^{5})^{4}+(-x^{4})^{5}$；
(2)$(a^{2n - 2})^{2}\cdot(a^{n + 1})^{3}$；
(3)$(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-5(a^{3})^{3}$。
(1)$(-x^{5})^{4}+(-x^{4})^{5}$；
(2)$(a^{2n - 2})^{2}\cdot(a^{n + 1})^{3}$；
(3)$(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-5(a^{3})^{3}$。
答案
(1)
$(-x^{5})^{4}+(-x^{4})^{5}$
$=(-1)^{4}×(x^{5})^{4}+(-1)^{5}×(x^{4})^{5}$
$=x^{20}-x^{20}$
$=0$
(2)
$(a^{2n - 2})^{2}\cdot(a^{n + 1})^{3}$
$=a^{2(2n - 2)}\cdot a^{3(n + 1)}$
$=a^{4n-4}\cdot a^{3n + 3}$
$=a^{4n-4+3n + 3}$
$=a^{7n-1}$
(3)
$(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-5(a^{3})^{3}$
$=(-1)^{3}×(a^{2})^{3}\cdot a^{3}+a^{2}\cdot a^{7}-5a^{9}$
$=-a^{6}\cdot a^{3}+a^{9}-5a^{9}$
$=-a^{9}+a^{9}-5a^{9}$
$=-5a^{9}$
$(-x^{5})^{4}+(-x^{4})^{5}$
$=(-1)^{4}×(x^{5})^{4}+(-1)^{5}×(x^{4})^{5}$
$=x^{20}-x^{20}$
$=0$
(2)
$(a^{2n - 2})^{2}\cdot(a^{n + 1})^{3}$
$=a^{2(2n - 2)}\cdot a^{3(n + 1)}$
$=a^{4n-4}\cdot a^{3n + 3}$
$=a^{4n-4+3n + 3}$
$=a^{7n-1}$
(3)
$(-a^{2})^{3}\cdot a^{3}+(-a)^{2}\cdot a^{7}-5(a^{3})^{3}$
$=(-1)^{3}×(a^{2})^{3}\cdot a^{3}+a^{2}\cdot a^{7}-5a^{9}$
$=-a^{6}\cdot a^{3}+a^{9}-5a^{9}$
$=-a^{9}+a^{9}-5a^{9}$
$=-5a^{9}$
12. 已知$10^{m}= 100$,$10^{n}= 10000$。求：
(1)$10^{3m}$；
(2)$10^{2n}$；
(3)$10^{3m + 2n}$。
(1)$10^{3m}$；
(2)$10^{2n}$；
(3)$10^{3m + 2n}$。
答案
(1)
已知 $10^{m} = 100$，
根据幂的乘方运算法则，有：
$10^{3m} = (10^{m})^{3}$
代入 $10^{m} = 100$，得：
$10^{3m} = 100^{3} = 1000000$
(2)
已知 $10^{n} = 10000$，
根据幂的乘方运算法则，有：
$10^{2n} = (10^{n})^{2}$
代入 $10^{n} = 10000$，得：
$10^{2n} = 10000^{2} = 100000000$
(3)
根据同底数幂的乘法运算法则，有：
$10^{3m + 2n} = 10^{3m} × 10^{2n}$
代入 $10^{3m} = 1000000$ 和 $10^{2n} = 100000000$，得：
$10^{3m + 2n} = 1000000 × 100000000 = 100000000000000$
已知 $10^{m} = 100$，
根据幂的乘方运算法则，有：
$10^{3m} = (10^{m})^{3}$
代入 $10^{m} = 100$，得：
$10^{3m} = 100^{3} = 1000000$
(2)
已知 $10^{n} = 10000$，
根据幂的乘方运算法则，有：
$10^{2n} = (10^{n})^{2}$
代入 $10^{n} = 10000$，得：
$10^{2n} = 10000^{2} = 100000000$
(3)
根据同底数幂的乘法运算法则，有：
$10^{3m + 2n} = 10^{3m} × 10^{2n}$
代入 $10^{3m} = 1000000$ 和 $10^{2n} = 100000000$，得：
$10^{3m + 2n} = 1000000 × 100000000 = 100000000000000$
13. 阅读下列解题过程：
试比较$2^{100}与3^{75}$的大小。
解：$\because2^{100}= (2^{4})^{25}= 16^{25}$,$3^{75}= (3^{3})^{25}= 27^{25}$,$16\lt27$,$\therefore2^{100}\lt3^{75}$。
请根据上述解答过程解答：比较$2^{55}$,$3^{44}$,$4^{33}$的大小。
试比较$2^{100}与3^{75}$的大小。
解：$\because2^{100}= (2^{4})^{25}= 16^{25}$,$3^{75}= (3^{3})^{25}= 27^{25}$,$16\lt27$,$\therefore2^{100}\lt3^{75}$。
请根据上述解答过程解答：比较$2^{55}$,$3^{44}$,$4^{33}$的大小。
答案
$\because 2^{55} = (2^{5})^{11} = 32^{11}$，
$3^{44} = (3^{4})^{11} = 81^{11}$，
$4^{33} = (4^{3})^{11} = 64^{11}$，
$32 \lt 64 \lt 81$，
$\therefore 2^{55} \lt 4^{33} \lt 3^{44}$。
$3^{44} = (3^{4})^{11} = 81^{11}$，
$4^{33} = (4^{3})^{11} = 64^{11}$，
$32 \lt 64 \lt 81$，
$\therefore 2^{55} \lt 4^{33} \lt 3^{44}$。
