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5. 如图所示,已知AB//DE,AC//DF,BF = EC。
(1) 求证：△ABC≌△DEF；
(2) 过点C作CG⊥AB于点G,若S△ABC = 9,DE = 6,求CG的长。
(1) 求证：△ABC≌△DEF；
(2) 过点C作CG⊥AB于点G,若S△ABC = 9,DE = 6,求CG的长。
答案
(1)证明：∵AB//DE，∴∠B=∠E（两直线平行，同位角相等）．
∵AC//DF，∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等）．
∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠E\\ BC=EF\\ ∠ACB=∠DFE\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
(2)∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=6．
∵S△ABC=9，CG⊥AB，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × AB × CG=9$．
即$\frac{1}{2} × 6 × CG=9$，解得CG=3．
∵AC//DF，∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，同位角相等）．
∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠E\\ BC=EF\\ ∠ACB=∠DFE\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
(2)∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=6．
∵S△ABC=9，CG⊥AB，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × AB × CG=9$．
即$\frac{1}{2} × 6 × CG=9$，解得CG=3．
6. (2025·芜湖)嘉嘉自编了一题如下：
如图所示,在△ABC中,AB = AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E。求证：△ABE≌△ACD。
淇淇认为只有一组对应边和一组对应角,还需补充一个条件才能证明。
如果你认为嘉嘉自编题无误,请直接完成证明；如果你赞成淇淇的观点,请补充一个条件,再完成证明。
如图所示,在△ABC中,AB = AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E。求证：△ABE≌△ACD。
淇淇认为只有一组对应边和一组对应角,还需补充一个条件才能证明。
如果你认为嘉嘉自编题无误,请直接完成证明；如果你赞成淇淇的观点,请补充一个条件,再完成证明。
答案
我认为嘉嘉自编题无误，证明如下：
因为$CD\perp AB$，$BE\perp AC$，
所以$\angle AEB = \angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\angle A$是公共角，$AB = AC$，$\angle AEB = \angle ADC$。
根据“角角边”（$AAS$）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
因为$CD\perp AB$，$BE\perp AC$，
所以$\angle AEB = \angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
$\angle A$是公共角，$AB = AC$，$\angle AEB = \angle ADC$。
根据“角角边”（$AAS$）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
解析
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°。
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠ADC\\ ∠A=∠A\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD(AAS)。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°。
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AEB=∠ADC\\ ∠A=∠A\\ AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD(AAS)。
7. 如图所示,AD是△ABC的角平分线,CE⊥AD,垂足为F。若∠CAB = 30°,∠B = 55°,则∠BDE的度数为(
A.35°
B.40°
C.45°
D.50°
B
)A.35°
B.40°
C.45°
D.50°
答案
B
解析
在△ABC中，∠CAB=30°，∠B=55°，则∠ACB=180°-30°-55°=95°。
AD是∠CAB的平分线，故∠CAD=∠BAD=15°。
CE⊥AD于F，在△AFC和△AFE中，∠CAF=∠EAF，AF=AF，∠AFC=∠AFE=90°，∴△AFC≌△AFE（ASA），∴AC=AE，∠ACF=∠AEF。
在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠CAD=75°，∴∠AEF=75°。
AD垂直平分CE（CF=EF且AD⊥CE），∴DC=DE（垂直平分线性质），∠DCE=∠DEC。
∠DCE=∠ACB-∠ACF=95°-75°=20°，故∠DEC=20°。
∠BEC=180°-∠AEF=180°-75°=105°，∠BED=∠BEC-∠DEC=105°-20°=85°。
在△BDE中，∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-55°-85°=40°。
AD是∠CAB的平分线，故∠CAD=∠BAD=15°。
CE⊥AD于F，在△AFC和△AFE中，∠CAF=∠EAF，AF=AF，∠AFC=∠AFE=90°，∴△AFC≌△AFE（ASA），∴AC=AE，∠ACF=∠AEF。
在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠CAD=75°，∴∠AEF=75°。
AD垂直平分CE（CF=EF且AD⊥CE），∴DC=DE（垂直平分线性质），∠DCE=∠DEC。
∠DCE=∠ACB-∠ACF=95°-75°=20°，故∠DEC=20°。
∠BEC=180°-∠AEF=180°-75°=105°，∠BED=∠BEC-∠DEC=105°-20°=85°。
在△BDE中，∠BDE=180°-∠B-∠BED=180°-55°-85°=40°。
8. 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块,他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具。现只能拿着两块去配,其中不能配出符合要求的模具的是(
A.①②
B.②④
C.①④
D.②③
C
)A.①②
B.②④
C.①④
D.②③
答案
C
解析
要配出与原模具全等的三角形，需根据“ASA”或“AAS”判定定理，两块碎片需能提供两角及夹边或两角及一角对边。
选项A（①②）、B（②④）、D（②③）中，两块碎片组合后可提供两角及夹边或两角及一角对边，能判定全等；
选项C（①④）中，两块碎片无公共边，无法组合出“ASA”或“AAS”所需条件，不能确定三角形全等。
选项A（①②）、B（②④）、D（②③）中，两块碎片组合后可提供两角及夹边或两角及一角对边，能判定全等；
选项C（①④）中，两块碎片无公共边，无法组合出“ASA”或“AAS”所需条件，不能确定三角形全等。
9. 如图所示,在四边形ABCD中,AB//DC,E为BC的中点,连接DE,AE,AE⊥DE。若AB = 6,CD = 4,则AD的长为(
A.11
B.10
C.5
D.2
B
)A.11
B.10
C.5
D.2
答案
B
解析
延长AE交DC延长线于点F。
∵AB//DC，∴∠BAE=∠F，∠B=∠ECF。
∵E为BC中点，∴BE=CE。
在△ABE和△FCE中，∠BAE=∠F，∠B=∠ECF，BE=CE，∴△ABE≌△FCE（AAS）。
∴AE=EF，AB=CF=6。
∵CD=4，∴DF=CD+CF=4+6=10。
∵AE⊥DE，AE=EF，∴DE垂直平分AF，∴AD=DF=10。
∵AB//DC，∴∠BAE=∠F，∠B=∠ECF。
∵E为BC中点，∴BE=CE。
在△ABE和△FCE中，∠BAE=∠F，∠B=∠ECF，BE=CE，∴△ABE≌△FCE（AAS）。
∴AE=EF，AB=CF=6。
∵CD=4，∴DF=CD+CF=4+6=10。
∵AE⊥DE，AE=EF，∴DE垂直平分AF，∴AD=DF=10。
10. 如图所示,∠E = ∠F = 90°,∠B = ∠C,AE = AF,有以下结论：①EM = FN；②CD = DN；③∠FAN = ∠EAM；④△ACN≌△ABM。其中正确的结论是
①③④
(填序号)。答案
①③④
解析
本题可根据全等三角形的判定定理来逐一分析各个结论。
判断结论④：△ACN≌△ABM
在$\triangle ACN$和$\triangle ABM$中，已知$\angle E = \angle F = 90^{\circ}$，则$\angle EAC + \angle C = 90^{\circ}$，$\angle FAB + \angle B = 90^{\circ}$。
又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle EAC = \angle FAB$。
已知$AE = AF$，$\angle E = \angle F = 90^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，根据“$AAS$”（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ACN\cong\triangle ABM$，所以结论④正确。
判断结论③：∠FAN = ∠EAM
由$\triangle ACN\cong\triangle ABM$可得$\angle CAN = \angle BAM$。
因为$\angle CAN=\angle FAN + \angle NAC$，$\angle BAM=\angle EAM + \angle NAC$，所以$\angle FAN = \angle EAM$，结论③正确。
判断结论①：EM = FN
在$\triangle AEM$和$\triangle AFN$中，$\angle E = \angle F$，$AE = AF$，$\angle EAM = \angle FAN$，根据“$ASA$”（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle AEM\cong\triangle AFN$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$EM = FN$，结论①正确。
判断结论②：CD = DN
仅由已知条件无法证明$CD = DN$，所以结论②错误。
综上，正确的结论是①③④。
判断结论④：△ACN≌△ABM
在$\triangle ACN$和$\triangle ABM$中，已知$\angle E = \angle F = 90^{\circ}$，则$\angle EAC + \angle C = 90^{\circ}$，$\angle FAB + \angle B = 90^{\circ}$。
又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle EAC = \angle FAB$。
已知$AE = AF$，$\angle E = \angle F = 90^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，根据“$AAS$”（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ACN\cong\triangle ABM$，所以结论④正确。
判断结论③：∠FAN = ∠EAM
由$\triangle ACN\cong\triangle ABM$可得$\angle CAN = \angle BAM$。
因为$\angle CAN=\angle FAN + \angle NAC$，$\angle BAM=\angle EAM + \angle NAC$，所以$\angle FAN = \angle EAM$，结论③正确。
判断结论①：EM = FN
在$\triangle AEM$和$\triangle AFN$中，$\angle E = \angle F$，$AE = AF$，$\angle EAM = \angle FAN$，根据“$ASA$”（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle AEM\cong\triangle AFN$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$EM = FN$，结论①正确。
判断结论②：CD = DN
仅由已知条件无法证明$CD = DN$，所以结论②错误。
综上，正确的结论是①③④。
11. 在等腰直角三角形ABC中,∠BAC = 90°,AB = AC,点A,B分别是y轴、x轴上的两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E。(提示：等腰三角形的两个底角相等)
(1) 如图①所示,已知点C的横坐标为 - 1,直接写出点A的坐标；
(2) 如图②所示,当等腰直角三角形ABC运动到点D恰好为AC的中点时,连接DE,求证：∠ADB = ∠CDE。
(1) 如图①所示,已知点C的横坐标为 - 1,直接写出点A的坐标；
(2) 如图②所示,当等腰直角三角形ABC运动到点D恰好为AC的中点时,连接DE,求证：∠ADB = ∠CDE。
答案
(1) 过点$C$作$CF \perp x$轴，垂足为$F$，
由题意，得$CF = 1$，
$\angle BAC = 90°$，$AB = AC$，
$\angle ABD + \angle BAD = \angle BAD + \angle CAF = 90°$，
$\angle ABD = \angle CAF$，
在$\triangle ABD$与$\triangle CAF$中，
$\begin{cases}\angle ADB = \angle CFA = 90°, \\\angle ABD = \angle CAF, \\AB = CA.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CAF (AAS)$，
$\therefore AO = CF = 1$，
$\therefore A$的坐标为$(0,1)$，
(2) 过点$C$作$CG \perp AC$，交$y$轴于点$G$，
$\angle GAC = \angle BAC = 90°$，
$\angle BAC + \angle GAC = 180°$，
$AB = AC$，
$\angle ABD + \angle AEB = 180° - \angle BAC = 90°$，
$\angle ADB = 90°$，
$\angle AED + \angle ADB = 90° + 90°= 180°$，
$\angle AED = \angle ABD$，
$\angle CAD = \angle CAG$，
在$\triangle ACG$与$\triangle ABD$中，
$\begin{cases}\angle GAC = \angle DAB = 90°, \\\angle CAD = \angle CAG, \\AC = AB.\end{cases}$
$\therefore \triangle ACG \cong \triangle ABD (ASA)$，
$\therefore AD = AG$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD = \frac{1}{2}AC$，
$\therefore AG = \frac{1}{2}AC$，
$\angle ACB = \angle ACE = 45°$，
$\angle GCE = 90°$，
$\angle CEG = \angle AED = \angle ABD$，
$\angle ACE = \angle ACE$，
在$\triangle CDE$与$\triangle CGE$中，
$\begin{cases}\angle GCE = \angle CAD = 45°, \\\angle CEG = \angle AED, \\CE = CE.\end{cases}$
$\therefore \triangle CDE \cong \triangle CGE (AAS)$，
$\therefore \angle CDE = \angle G$，
$\therefore \angle ADB = \angle CDE$。
由题意，得$CF = 1$，
$\angle BAC = 90°$，$AB = AC$，
$\angle ABD + \angle BAD = \angle BAD + \angle CAF = 90°$，
$\angle ABD = \angle CAF$，
在$\triangle ABD$与$\triangle CAF$中，
$\begin{cases}\angle ADB = \angle CFA = 90°, \\\angle ABD = \angle CAF, \\AB = CA.\end{cases}$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CAF (AAS)$，
$\therefore AO = CF = 1$，
$\therefore A$的坐标为$(0,1)$，
(2) 过点$C$作$CG \perp AC$，交$y$轴于点$G$，
$\angle GAC = \angle BAC = 90°$，
$\angle BAC + \angle GAC = 180°$，
$AB = AC$，
$\angle ABD + \angle AEB = 180° - \angle BAC = 90°$，
$\angle ADB = 90°$，
$\angle AED + \angle ADB = 90° + 90°= 180°$，
$\angle AED = \angle ABD$，
$\angle CAD = \angle CAG$，
在$\triangle ACG$与$\triangle ABD$中，
$\begin{cases}\angle GAC = \angle DAB = 90°, \\\angle CAD = \angle CAG, \\AC = AB.\end{cases}$
$\therefore \triangle ACG \cong \triangle ABD (ASA)$，
$\therefore AD = AG$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD = \frac{1}{2}AC$，
$\therefore AG = \frac{1}{2}AC$，
$\angle ACB = \angle ACE = 45°$，
$\angle GCE = 90°$，
$\angle CEG = \angle AED = \angle ABD$，
$\angle ACE = \angle ACE$，
在$\triangle CDE$与$\triangle CGE$中，
$\begin{cases}\angle GCE = \angle CAD = 45°, \\\angle CEG = \angle AED, \\CE = CE.\end{cases}$
$\therefore \triangle CDE \cong \triangle CGE (AAS)$，
$\therefore \angle CDE = \angle G$，
$\therefore \angle ADB = \angle CDE$。
