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1. 单项式除以单项式
单项式相除,把
单项式相除,把
系数
与同底数幂分别相除作为商
的因式,对于只在被除式
里含有的字母,则连同它的指数
作为商的一个因式
。答案
系数、商、被除式、指数、因式
解析
根据单项式除以单项式的运算法则，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
2. 多项式除以单项式
多项式除以单项式,先把这个多项式的
多项式除以单项式,先把这个多项式的
每一项
除以这个单项式,再把所得的商相加
,即$(am + bm + cm)÷m = am÷m + bm÷m + cm÷m = a + b + c$。答案
每一项；相加
解析
根据多项式除以单项式的运算法则，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
探究点 1 单项式除以单项式
【例 1】 计算：$(-24x^{2}y^{3})÷(-8y^{3})$。
易混辨析
单项式除以单项式要注意的两点
(1)一个“不变”：对于只在被除式中含有的字母,连同它的指数一起作为商的一个因式；
(2)两个“相除”：把各个单项式中的系数、同底数幂分别相除。
【例 1】 计算：$(-24x^{2}y^{3})÷(-8y^{3})$。
易混辨析
单项式除以单项式要注意的两点
(1)一个“不变”：对于只在被除式中含有的字母,连同它的指数一起作为商的一个因式；
(2)两个“相除”：把各个单项式中的系数、同底数幂分别相除。
答案
$3x^{2}$（由于要求格式，这里若作为填空等可直接写$3x^{2}$相关形式，若按题目要求选择无选项则此位置按要求呈现，本题无选项内容）
解析
将系数相除，同底数幂分别相除，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。
系数相除：$(-24)÷(-8)=3$；
对于$x$的幂，被除式中有$x^2$，除式中没有$x$，所以$x^2$直接作为商的一个因式；
对于$y$的幂，$y^{3}÷ y^{3}=1$。
所以$(-24x^{2}y^{3})÷(-8y^{3}) = 3x^{2}$。
系数相除：$(-24)÷(-8)=3$；
对于$x$的幂，被除式中有$x^2$，除式中没有$x$，所以$x^2$直接作为商的一个因式；
对于$y$的幂，$y^{3}÷ y^{3}=1$。
所以$(-24x^{2}y^{3})÷(-8y^{3}) = 3x^{2}$。
1. 下列运算中,不正确的是(
A. $(-12a^{5}b)÷(-3ab)= 4a^{4}$
B. $6a^{6}÷(-2a^{2})= -3a^{4}$
C. $\frac{1}{2}a^{2}b^{3}÷\frac{1}{4}ab= \frac{1}{2}ab^{2}$
D. $6x^{8}÷3x^{2}= 2x^{6}$
C
)A. $(-12a^{5}b)÷(-3ab)= 4a^{4}$
B. $6a^{6}÷(-2a^{2})= -3a^{4}$
C. $\frac{1}{2}a^{2}b^{3}÷\frac{1}{4}ab= \frac{1}{2}ab^{2}$
D. $6x^{8}÷3x^{2}= 2x^{6}$
答案
C
解析
A： 计算$(-12a^{5}b)÷(-3ab)$，
根据单项式除以单项式的法则，系数相除，同底数幂相除，
则$(-12a^{5}b)÷(-3ab)=[(-12)÷(-3)]×(a^{5}÷ a)×(b÷ b)=4a^{4}$，该选项正确。
B：计算$6a^{6}÷(-2a^{2})$，
系数相除，同底数幂相除，
可得$6a^{6}÷(-2a^{2})=[6÷(-2)]×(a^{6}÷ a^{2})=-3a^{4}$，该选项正确。
C：计算$\frac{1}{2}a^{2}b^{3}÷\frac{1}{4}ab$，
系数相除，同底数幂相除，
$\frac{1}{2}a^{2}b^{3}÷\frac{1}{4}ab =(\frac{1}{2}÷\frac{1}{4})×(a^{2}÷ a)×(b^{3}÷ b)=2ab^{2}$，
而题目中结果是$\frac{1}{2}ab^{2}$，该选项错误。
D：计算$6x^{8}÷3x^{2}$，
系数相除，同底数幂相除，
$6x^{8}÷3x^{2}=(6÷3)×(x^{8}÷ x^{2}) = 2x^{6}$，该选项正确。
根据单项式除以单项式的法则，系数相除，同底数幂相除，
则$(-12a^{5}b)÷(-3ab)=[(-12)÷(-3)]×(a^{5}÷ a)×(b÷ b)=4a^{4}$，该选项正确。
B：计算$6a^{6}÷(-2a^{2})$，
系数相除，同底数幂相除，
可得$6a^{6}÷(-2a^{2})=[6÷(-2)]×(a^{6}÷ a^{2})=-3a^{4}$，该选项正确。
C：计算$\frac{1}{2}a^{2}b^{3}÷\frac{1}{4}ab$，
系数相除，同底数幂相除，
$\frac{1}{2}a^{2}b^{3}÷\frac{1}{4}ab =(\frac{1}{2}÷\frac{1}{4})×(a^{2}÷ a)×(b^{3}÷ b)=2ab^{2}$，
而题目中结果是$\frac{1}{2}ab^{2}$，该选项错误。
D：计算$6x^{8}÷3x^{2}$，
系数相除，同底数幂相除，
$6x^{8}÷3x^{2}=(6÷3)×(x^{8}÷ x^{2}) = 2x^{6}$，该选项正确。
2. 若$(2a^{2})^{m}÷4a = 2a^{n}$,则$m - n$的值为(
A. 2
B. 4
C. -4
D. -2
D
)A. 2
B. 4
C. -4
D. -2
答案
D
解析
$(2a^{2})^{m}=2^{m}a^{2m}$，$4a=2^{2}a$，则$(2a^{2})^{m}÷4a=2^{m-2}a^{2m-1}$。由题意得$2^{m-2}a^{2m-1}=2a^{n}$，所以$\begin{cases}m-2=1\\2m-1=n\end{cases}$，解得$m=3$，$n=5$，$m-n=3-5=-2$。
3. 计算：
(1) $-6x^{3}y^{2}÷2x^{2}y$；
(2) $(2x^{2}y)^{3}÷14x^{4}y^{3}·(-7xy^{2})$。
(1) $-6x^{3}y^{2}÷2x^{2}y$；
(2) $(2x^{2}y)^{3}÷14x^{4}y^{3}·(-7xy^{2})$。
答案
(1) $-3xy$；(2) $-4x^{3}y^{2}$
解析
(1) $-6x^{3}y^{2}÷2x^{2}y=(-6÷2)·(x^{3}÷x^{2})·(y^{2}÷y)=-3xy$；
(2) $(2x^{2}y)^{3}÷14x^{4}y^{3}·(-7xy^{2})=8x^{6}y^{3}÷14x^{4}y^{3}·(-7xy^{2})=(8÷14)·(x^{6}÷x^{4})·(y^{3}÷y^{3})·(-7xy^{2})=\frac{4}{7}x^{2}·(-7xy^{2})=-4x^{3}y^{2}$
(2) $(2x^{2}y)^{3}÷14x^{4}y^{3}·(-7xy^{2})=8x^{6}y^{3}÷14x^{4}y^{3}·(-7xy^{2})=(8÷14)·(x^{6}÷x^{4})·(y^{3}÷y^{3})·(-7xy^{2})=\frac{4}{7}x^{2}·(-7xy^{2})=-4x^{3}y^{2}$
探究点 2 多项式除以单项式
【例 2】 计算：$(12x^{3} - 6x^{2} - 2x)÷(-2x)$。
【例 2】 计算：$(12x^{3} - 6x^{2} - 2x)÷(-2x)$。
答案
$-6x^{2} + 3x + 1$
解析
将多项式的每一项分别除以单项式$-2x$：
$(12x^{3} - 6x^{2} - 2x) ÷ (-2x)$
$=12x^{3} ÷ (-2x) - 6x^{2} ÷ (-2x) - 2x ÷ (-2x)$
$=-6x^{2} + 3x + 1$
$(12x^{3} - 6x^{2} - 2x) ÷ (-2x)$
$=12x^{3} ÷ (-2x) - 6x^{2} ÷ (-2x) - 2x ÷ (-2x)$
$=-6x^{2} + 3x + 1$
多项式除以单项式法则“解读”
(1)实质：多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；
(2)项数：多项式是几项,所得的商即为几项。
(1)实质：多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；
(2)项数：多项式是几项,所得的商即为几项。
答案
上述对多项式除以单项式法则的解读正确。
解析
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。其运算实质是将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；且多项式有几项，所得的商一般也为几项（除非有同类项可以合并）。
