3. 如图所示,已知点$D$,$E是\triangle ABC$内两点,且$\angle BAE= \angle CAD$,$AB= AC$,$AD= AE$.

(1) 求证:$\triangle ABD\cong\triangle ACE$.
(2) 延长$BD$,$CE交于点F$,若$\angle BAC= 86°$,$\angle ABD= 20°$,求$\angle BFC$的度数.

(1)
证明：
因为$\angle BAE = \angle CAD$，所以$\angle BAE+\angle DAE=\angle CAD + \angle DAE$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$。
(2)
由（1）知$\triangle ABD\cong\triangle ACE$，则$\angle ABD=\angle ACE = 20^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 86^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}×(180^{\circ}-\angle BAC)=\frac{1}{2}×(180 - 86)^{\circ}=47^{\circ}$。
所以$\angle ECB=\angle ACB-\angle ACE=47^{\circ}-20^{\circ}=27^{\circ}$，$\angle DBC=\angle ABC - \angle ABD=47^{\circ}-20^{\circ}=27^{\circ}$。
在$\triangle BCF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle BFC=180^{\circ}-\angle ECB-\angle DBC=180^{\circ}-27^{\circ}-27^{\circ}=126^{\circ}$。
综上，(1) 证明见上述过程；(2) $\angle BFC$的度数为$126^{\circ}$。

【例2】如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 40°$,$AD是BC$边上的高.线段$AC的垂直平分线交AD于点E$,交$AC于点F$,连接$BE$.
(1) 填空:$\angle BAD$的度数为;$\angle ABC$的度数为;$\angle ACB$的度数为.
(2) 线段$AE与BE$的长相等吗? 请说明理由.
(3) 求$\angle EBD$的度数.

(2) AE=BE。理由：∵EF是AC的垂直平分线，∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD是△ABC的对称轴（等腰三角形三线合一），∴点B与点C关于AD对称，∴BE=CE。∴AE=BE。
(3) ∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°。∵EA=EC，∴∠ECA=∠CAD=20°，∴∠ECB=∠ACB-∠ECA=70°-20°=50°。∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=50°，即∠EBD=50°。

(1) 20°；70°；70°
(2) AE=BE。理由：∵EF是AC的垂直平分线，∴EA=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD是△ABC的对称轴（等腰三角形三线合一），∴点B与点C关于AD对称，∴BE=CE。∴AE=BE。
(3) ∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=20°。∵EA=EC，∴∠ECA=∠CAD=20°，∴∠ECB=∠ACB-∠ECA=70°-20°=50°。∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=50°，即∠EBD=50°。

(1) $20°$; $70°$; $70°$
(2) $AE = BE$. 理由如下：连接 $CE$. 因为 $EF$ 是 $AC$ 的垂直平分线，所以 $AE = CE$. 因为 $AB = AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，所以 $AD$ 平分 $\angle BAC$，即 $\angle BAD = \angle CAD$. 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ACE$ 中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\\angle BAE = \angle CAE\\AE = AE\end{array}\right.$，所以 $\triangle ABE \cong \triangle ACE(SAS)$，所以 $BE = CE$，因此 $AE = BE$.
(3) 因为 $\angle BAC = 40°$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，所以 $\angle BAD = 20°$，$\angle ADB = 90°$. 由
(2)知 $AE = BE$，所以 $\angle ABE = \angle BAD = 20°$. 因为 $\angle ABC = 70°$，所以 $\angle EBD = \angle ABC - \angle ABE = 70° - 20° = 50°$.

4. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AD为\angle BAC$的平分线,若$BC= 8$,则$CD$的长为.

4

因为在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。又因为$AD$为$\angle BAC$的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），可知$AD$也是$BC$边上的中线，所以$BD=CD$。已知$BC=8$，则$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。

5. 如图所示,$BD与CE相交于点A$,且$AB= AC$,$AD= AE$,$\triangle ABC的中线AG的反向延长线交DE于点F$,则$AF与DE$垂直吗? 为什么?

AF与DE垂直。理由如下：
1. ∵AB=AC，AG是△ABC的中线，∴AG平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠BAG=∠CAG。
2. ∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形（等腰三角形定义）。
3. ∵BD、CE交于点A，∴∠BAC=∠DAE（对顶角相等）。
4. ∵∠BAG=∠CAG，且∠BAG=∠DAF，∠CAG=∠EAF（对顶角相等），∴∠DAF=∠EAF，即AF平分∠DAE。
5. ∵△ADE是等腰三角形，AF平分顶角∠DAE，∴AF⊥DE（等腰三角形三线合一）。
综上，AF⊥DE。

6. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,$EF垂直平分AC$,交$AC于点F$,交$BC于点E$,且$BD= DE$.
(1) 若$\angle BAE= 40°$,则$\angle C= $;
(2) 若$\triangle ABC的周长为13\ \mathrm{cm}$,$AC= 6\ \mathrm{cm}$,求$DC$的长.

(1)
∵EF垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C。
∵AD⊥BC，BD=DE，∴AD垂直平分BE，∴AB=AE。
在△ABE中，∠BAE=40°，AB=AE，∴∠AEB=(180°-40°)/2=70°。
∵∠AEB是△AEC的外角，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∴2∠C=70°，∴∠C=35°。
(2)
∵△ABC周长=13cm，AC=6cm，∴AB+BC=13-6=7cm。
由(1)知AB=AE=EC，设BD=DE=m，EC=AB=n，则BC=BD+DE+EC=2m+n。
∴AB+BC=n+(2m+n)=2(m+n)=7cm，∴m+n=3.5cm。
∵DC=DE+EC=m+n，∴DC=3.5cm。
(1) 35°
(2) 3.5cm