2. 如图,$BD$ 是等边三角形 $ABC$ 的边 $AC$ 上的高,以点 $D$ 为圆心,$DB$ 的长为半径作弧交 $BC$ 的延长线于点 $E$,则 $\angle DEC$ 为()

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

C

∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC（三线合一），∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC/2=30°。以D为圆心，DB为半径作弧交BC延长线于E，∴DE=DB，∴△DBE是等腰三角形，∠DEB=∠DBE。∵∠DBE=∠DBC=30°，∴∠DEB=30°，即∠DEC=30°。

3. 由于普通的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作,小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可。衣架杆 $OA = OB = 18\ cm$,若衣架收拢时如图所示,$\angle AOB = 60^{\circ}$,则此时 $A$,$B$ 两点间的距离是$cm$。

$18$

连接$AB$，由题意知$OA=OB$，$\angle AOB=60^{\circ}$，所以$\triangle AOB$为等边三角形。
根据等边三角形的性质，三边相等，所以$AB=OA=OB = 18cm$。

4. 将含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知 $\angle\alpha = 60^{\circ}$,点 $B$,$C$ 表示的刻度分别为 $1\ cm$,$3\ cm$,则线段 $AB$ 的长为$cm$。

2

∵点B、C的刻度分别为1cm、3cm，∴BC=3-1=2cm。
∵直尺上下边缘平行，∠α=60°，由平行线性质得∠ACB=∠α=60°。
又∵三角板含30°角，其另一个锐角为60°，即∠BAC=60°。
在△ABC中，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠ABC=60°，△ABC为等边三角形。
∴AB=BC=2cm。

5. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AD$ 是角平分线,$\triangle ADE$ 是等边三角形,下列结论：①$AD\perp BC$；②$EF = FD$；③$BE = BD$。其中正确的个数为()

A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

A

①在等边△ABC中，AD是角平分线，由等边三角形“三线合一”性质知AD⊥BC，①正确；
②△ADE是等边三角形，∴AD=AE=DE，∠DAE=∠ADE=60°．
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=30°．
在△ADF中（F为DE与AB交点），∠FAD=30°，∠ADF=60°，∴∠AFD=90°，
∴DF=AD·cos60°=AD/2，又DE=AD，∴EF=DE-DF=AD/2=DF，即EF=FD，②正确；
③∵∠BAE=∠DAE-∠BAD=60°-30°=30°=∠BAD，AB=AB，AE=AD（等边△ADE），
∴△ABE≌△ABD（SAS），∴BE=BD，③正确．
综上，①②③均正确，个数为3．

6. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,点 $D$ 在 $BC$ 边的延长线上,$CE$ 平分 $\angle ACD$,且 $CE = BD$。求证：$\triangle ADE$ 是等边三角形。

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∠ACD=180°-∠ACB=120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACD/2=60°，即∠ACE=∠ABC=60°．
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠ABD=∠ACE=60°，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∵∠DAE=∠BAC+∠CAE-∠BAD，且∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC=60°．
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

7. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,点 $M$ 为 $AB$ 边上任意一点,延长 $BC$ 至点 $N$,使 $CN = AM$,连接 $MN$ 交 $AC$ 于点 $P$,$MH\perp AC$ 于点 $H$。
(1) 求证 $MP = NP$；
(2) 若 $AB = a$,求线段 $PH$ 的长(结果用含 $a$ 的代数式表示)。

(1) 过点 $ M $ 作 $ MQ // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ Q $。
∵ $ \triangle ABC $ 是等边三角形，∴ $ \angle A = \angle ACB = 60° $，$ AB = AC = BC $。
∵ $ MQ // BC $，∴ $ \angle AMQ = \angle B = 60° $，$ \angle AQM = \angle ACB = 60° $，
∴ $ \triangle AMQ $ 是等边三角形，∴ $ AM = MQ = AQ $。
∵ $ CN = AM $，∴ $ MQ = CN $。
∵ $ MQ // BC $，∴ $ \angle QMP = \angle CNP $，$ \angle MQP = \angle NCP $。
在 $ \triangle MQP $ 和 $ \triangle NCP $ 中，
$ \begin{cases} \angle QMP = \angle CNP \\MQ = CN \\\angle MQP = \angle NCP \end{cases} $，
∴ $ \triangle MQP \cong \triangle NCP (ASA) $，∴ $ MP = NP $。
(2) ∵ $ \triangle AMQ $ 是等边三角形，$ MH \perp AC $，
∴ $ H $ 为 $ AQ $ 中点，∴ $ AH = HQ = \frac{1}{2}AQ $。设 $ AM = x $，则 $ AQ = x $，$ HQ = \frac{x}{2} $。
∵ $ AC = AB = a $，∴ $ QC = AC - AQ = a - x $。
∵ $ \triangle MQP \cong \triangle NCP $，∴ $ QP = PC $，∴ $ QP = \frac{1}{2}QC = \frac{a - x}{2} $。
∴ $ PH = HQ + QP = \frac{x}{2} + \frac{a - x}{2} = \frac{a}{2} $。
(1) 证明完毕；(2) $ PH = \frac{a}{2} $。

(1) 证明：过点 $ M $ 作 $ MQ // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ Q $。
∵ $ \triangle ABC $ 是等边三角形，
∴ $ \angle A = \angle B = \angle ACB = 60° $。
∵ $ MQ // BC $，
∴ $ \angle AMQ = \angle B = 60° $，$ \angle AQM = \angle ACB = 60° $，
∴ $ \triangle AMQ $ 是等边三角形，
∴ $ AM = MQ $。
∵ $ CN = AM $，
∴ $ MQ = CN $。
∵ $ MQ // BC $，
∴ $ \angle QMP = \angle N $，$ \angle MQP = \angle NCP $。
在 $ \triangle MQP $ 和 $ \triangle NCP $ 中，
$ \begin{cases} \angle QMP = \angle N \\\angle MQP = \angle NCP \\MQ = NC \end{cases} $
∴ $ \triangle MQP \cong \triangle NCP (AAS) $，
∴ $ MP = NP $。
(2)
∵ $ \triangle AMQ $ 是等边三角形，$ MH \perp AC $，
∴ $ AH = HQ $（等腰三角形三线合一）。
∵ $ \triangle MQP \cong \triangle NCP $，
∴ $ QP = CP $。
设 $ AH = HQ = x $，$ QP = CP = y $，
则 $ AC = AH + HQ + QP + CP = 2x + 2y = 2(x + y) $。
∵ $ PH = HQ + QP = x + y $，
∴ $ PH = \frac{1}{2}AC $。
∵ $ AB = a $，$ \triangle ABC $ 是等边三角形，
∴ $ AC = AB = a $，
∴ $ PH = \frac{a}{2} $。