1. 如图,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,有下列结论：

①∠AED= 90°；
②∠ADE= ∠CDE；
③DE= BE；
④AD= AB+CD.
四个结论中成立的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

1. 过点$E$作$EF\perp AD$于点$F$。
因为$AE$平分$\angle BAD$，$AB\perp BC$，$EF\perp AD$，根据角平分线的性质，可得$BE = EF$。
又因为点$E$是$BC$的中点，所以$BE = EC$，则$EF = EC$。
2. 判断①：
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle AFE$中，$\begin{cases}AE = AE\\BE = EF\end{cases}$，根据$HL$定理可得$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle AFE$，所以$\angle AEB=\angle AEF$。
同理可证$Rt\triangle DCE\cong Rt\triangle DFE$，所以$\angle CED=\angle FED$。
因为$\angle AEB+\angle AEF+\angle CED+\angle FED = 180^{\circ}$，所以$\angle AEF+\angle FED = 90^{\circ}$，即$\angle AED = 90^{\circ}$，故①正确。
3. 判断②：
由$Rt\triangle DCE\cong Rt\triangle DFE$，可得$\angle ADE=\angle CDE$，故②正确。
4. 判断③：
仅由已知条件无法得出$DE = BE$，故③错误。
5. 判断④：
因为$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle AFE$，所以$AB = AF$；$Rt\triangle DCE\cong Rt\triangle DFE$，所以$DC = DF$。
又因为$AD=AF + DF$，所以$AD = AB + CD$，故④正确。
综上，①②④正确，共$3$个。

【典型例题2】如图,已知∠AOB= α,点C为射线OB上一点,用尺规按如下步骤作图：(1)以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于点D,交OB于点E；(2)以点C为圆心,以OD长为半径作弧,交OC于点F；(3)以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G；(4)连接CG并延长交OA于点H. 则∠AHC的度数为()

A.α
B.180°-2α
C.90°- $\frac{1}{2}$α
D.2α

【解析】由作图过程可知,∠HCO= ∠AOB= α,
所以∠AHC= ∠AOB+∠HCO= 2α.
【答案】D
规律方法 作一个角等于已知角的依据是三角形全等的判定方法“边边边”,它在探索三角形全等的其他判定方法中有着重要应用.