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19. 某个圆形盘子如图①所示,其外圆半径是$R\mathrm{cm}$,内圆半径是$r\mathrm{cm}$。现在要给盘子环形部分上釉(图②阴影部分),如果$R= 10.25$,$r= 8.25$,请求出阴影部分的面积。(结果保留$\pi$)
答案
解:$\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi(R+r)\cdot(R-r)=\pi×(10.25+8.25)×(10.25-8.25)=37\pi$.答:阴影部分的面积为$37\pi\ cm^{2}$.
解析
解：阴影部分面积为外圆面积减去内圆面积，即
$\pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi (R^{2} - r^{2}) = \pi (R + r)(R - r)$
将 $R = 10.25$，$r = 8.25$ 代入，得
$\pi × (10.25 + 8.25) × (10.25 - 8.25) = \pi × 18.5 × 2 = 37\pi$
答：阴影部分的面积为 $37\pi\ cm^2$。
$\pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi (R^{2} - r^{2}) = \pi (R + r)(R - r)$
将 $R = 10.25$，$r = 8.25$ 代入，得
$\pi × (10.25 + 8.25) × (10.25 - 8.25) = \pi × 18.5 × 2 = 37\pi$
答：阴影部分的面积为 $37\pi\ cm^2$。
20. 已知三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca= 0$,判断该三角形的形状。
答案
解:将等式两边同时乘 2,得$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ca=0$,即$(a^{2}-2ab+b^{2})+(a^{2}-2ca+c^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})=0$,整理,得$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0$,所以$a-b=0$,$a-c=0$,$b-c=0$,所以$a=b=c$,所以该三角形是等边三角形.
21. 先分解因式,再求值：$(4x+5y)^{2}-(3x-2y)^{2}$,其中$x= \frac{1}{7}$,$y= 1$。
答案
解:原式$=[(4x+5y)+(3x-2y)]\cdot[(4x+5y)-(3x-2y)]=(7x+3y)\cdot(x+7y)$.当$x=\dfrac{1}{7}$,$y=1$时,原式$=(7x+3y)(x+7y)=\dfrac{200}{7}$.
解析
解:原式$=[(4x + 5y)+(3x - 2y)][(4x + 5y)-(3x - 2y)]$
$=(7x + 3y)(x + 7y)$
当$x = \dfrac{1}{7}$,$y = 1$时,
原式$=\left(7×\dfrac{1}{7}+3×1\right)\left(\dfrac{1}{7}+7×1\right)$
$=(1 + 3)\left(\dfrac{1}{7}+7\right)$
$=4×\dfrac{50}{7}$
$=\dfrac{200}{7}$
$=(7x + 3y)(x + 7y)$
当$x = \dfrac{1}{7}$,$y = 1$时,
原式$=\left(7×\dfrac{1}{7}+3×1\right)\left(\dfrac{1}{7}+7×1\right)$
$=(1 + 3)\left(\dfrac{1}{7}+7\right)$
$=4×\dfrac{50}{7}$
$=\dfrac{200}{7}$
