1. $2^{-3}$ 的值是().

A.-6
B.-8
C.$\frac{1}{8}$
D.$-\frac{1}{8}$

1. C

【分析】
这道题考查负整数指数幂的运算，解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：任何非零数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）。我们只需要把$a=2$，$p=3$代入这个公式计算就能得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}$
计算得$2^3=2×2×2=8$，因此$2^{-3}=\frac{1}{8}$。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂的运算，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对负整数指数幂运算法则的掌握，只要熟记公式、计算细心就可以顺利得分。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$(a^{-1}b^{2})^{3}=$ .

2. $\frac{b^6}{a^3}$

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：第一步先运用积的乘方法则，将括号内的两个因式分别乘方；第二步运用幂的乘方法则计算每个因式的乘方结果；第三步将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，得到最终结果。
【解析】
根据幂的运算法则逐步计算：
1. 运用积的乘方法则：$(xy)^n=x^n· y^n$，可得
$(a^{-1}b^2)^3=(a^{-1})^3· (b^2)^3$
2. 运用幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
3. 运用负整数指数幂的规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得
$a^{-3}=\frac{1}{a^3}$
因此合并结果为：$a^{-3}b^6=\frac{b^6}{a^3}$
【答案】
$\frac{b^6}{a^3}$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是熟练掌握幂的各类运算法则，运算时要注意负指数转换的规则，避免出现指数计算错误或者符号错误。
【难度系数】
0.9

3.若$a^{-1}=(-1)^0$，则$a=$。

3. 1

【分析】
解题时首先回忆零指数幂和负整数指数幂的运算法则：第一步先计算等式右侧$(-1)^0$的结果，第二步将左侧的$a^{-1}$按照负指数幂规则转化为分式形式，再通过解方程求出a的取值，最后要注意验证底数不为0的隐含条件。
【解析】
1. 计算等式右侧的值：根据零指数幂的运算法则，任何非零数的0次幂等于1，可得$(-1)^0=1$，因此原等式可化简为$a^{-1}=1$。
2. 转化左侧的负指数幂：根据负整数指数幂的运算法则，当$a≠0$时，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，因此等式进一步转化为$\frac{1}{a}=1$。
3. 解方程求a：等式两边同时乘以a（$a≠0$），可得$1=a$，即$a=1$。
4. 验证：当$a=1$时，$a≠0$，符合负指数幂和零指数幂的底数要求，结果成立。
【答案】
1
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查零指数幂和负整数指数幂的运算规则，解题时只要牢记两类运算的定义及“底数不能为0”的限制条件，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1)$(2m^2n^{-3})^2 · (-mn^{-2})^{-2}$；
(2)$4x^2y^{-3}z ÷ (-2x^{-1}yz^{-2})^2$；
(3)$(\frac{1}{2})^{-3} - 2^3 × 0.125 + 2136^0 + |-1|$；
(4)$2 × (π - 3.14)^0 + 8 × (3 × 2)^{-1} + (-\frac{1}{2})^{-4}$。

4. 解 (1)原式$=4m^4n^{-6} · m^{-2}n^4$
$=4m^2n^{-2}=\frac{4m^2}{n^2}.$
(2)原式$=4x^2y^{-3}z÷(4x^{-2}y^2z^{-4})$
$=x^4y^{-5}z^5=\frac{x^4z^5}{y^5}.$
(3)原式$=8−8×0.125+1+1$
$=8−1+1+1$
$=9.$
(4)原式$=2×1+8×\frac{1}{6}+16$
$=2+\frac{4}{3}+16$
$=19\frac{1}{3}.$

【分析】
这4道计算题围绕整数指数幂运算及实数混合运算规则展开，解题思路如下：首先牢记核心运算规则：①积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$，幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；②同底数幂相乘：$a^m·a^n=a^{m+n}$，同底数幂相除：$a^m÷a^n=a^{m-n}$；③负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；④零指数幂：$a^0=1$（$a≠0$）。对(1)(2)题，先计算乘方项，再按单项式乘除规则运算，最后将负指数转化为正指数的分式形式；对(3)(4)题，先分别计算每一项的乘方、零指数幂、负指数幂、绝对值，再按先乘除后加减的顺序计算结果。
【解析】
(1) 先计算乘方项，再计算同底数幂的乘法：
原式$=4m^4n^{-6} · m^{-2}n^4$
$=4m^{4-2}n^{-6+4}=4m^2n^{-2}=\frac{4m^2}{n^2}$
(2) 先计算除式的平方，再计算单项式除法：
原式$=4x^2y^{-3}z÷(4x^{-2}y^2z^{-4})$
$=x^{2-(-2)}y^{-3-2}z^{1-(-4)}=x^4y^{-5}z^5=\frac{x^4z^5}{y^5}$
(3) 分别化简每一项后按顺序计算：
原式$=8−8×0.125+1+1$
$=8−1+1+1$
$=9$
(4) 分别化简每一项后按顺序计算：
原式$=2×1+8×\frac{1}{6}+16$
$=2+\frac{4}{3}+16$
$=19\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$\frac{4m^2}{n^2}$；(2)$\frac{x^4z^5}{y^5}$；(3)$9$；(4)$19\frac{1}{3}$（或$\frac{58}{3}$）
【知识点】
整数指数幂运算、零指数幂性质、负整数指数幂性质
【点评】
本题属于基础运算类常考题，重点考查幂的运算法则和实数混合运算顺序，解题时要注意先算乘方再算乘除最后算加减，需特别注意负指数幂的转化规则、零指数幂的适用条件，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 已知$|x + y - 3| + (x - y - 1)^2 = 0$，求$\frac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$的值。

5. 解 $\because |x+y−3|+(x−y−1)^2=0,$
$\therefore \begin{cases}x+y−3=0,\\x−y−1=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$
$\therefore \frac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$
$=\frac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\frac{1}{2}(x^{12} · y^{-6})$
$=\frac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=2^{11}.$

【分析】
解题时首先利用非负数的性质：绝对值和平方数的结果均为非负数，两个非负数相加和为0，则这两个非负数各自的值为0，据此列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的取值。再根据幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂的运算规则化简待求代数式，最后代入x、y的值计算即可得到结果。
【解析】
$\because |x+y−3|+(x−y−1)^2=0$，且$|x+y−3|≥0$，$(x−y−1)^2≥0$
$\therefore \begin{cases}x+y−3=0\\x−y−1=0\end{cases}$
两式相加得$2x-4=0$，解得$x=2$，将$x=2$代入$x+y-3=0$，解得$y=1$，即$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$
化简代数式：
$\frac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$
$=\frac{1}{2}(-x^{-2}y)^{2×(-3)}$（幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$）
$=\frac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\frac{1}{2}×(-1)^{-6}×(x^{-2})^{-6}× y^{-6}$（积的乘方法则：$(ab)^n=a^nb^n$）
$=\frac{1}{2}x^{12}y^{-6}$
代入$x=2$，$y=1$计算：
原式$=\frac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=2^{11}$
【答案】
$2^{11}$
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，幂的运算
【点评】
本题属于代数综合基础题，核心是先通过非负数的性质确定未知数的取值，再规范运用幂的运算法则化简计算，解题时要注意幂的指数符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7

6.已知$a^2 -4a +1=0$,求$(a^2 -a^{-2})(a -a^{-1})$的值.

6. 解 $(a^2−a^{-2})(a−a^{-1})$
$=(a^2−\frac{1}{a^2})(a−\frac{1}{a})$
$=(a+\frac{1}{a})(a−\frac{1}{a})^2$
$=(a+\frac{1}{a})[(a+\frac{1}{a})^2−4].$
$\because a^2−4a+1=0,$
$\therefore a+\frac{1}{a}=4,$
$\therefore 原式=4×(4^2−4)=48.$

【分析】
解题时先将负整数指数幂转化为分式形式，观察所求式子的结构，先用平方差公式对$a^2-\frac{1}{a^2}$因式分解，再将得到的$(a-\frac{1}{a})^2$用完全平方公式变形为含$(a+\frac{1}{a})$的式子；接着处理已知条件，由于$a≠0$，对已知方程两边同时除以$a$即可求出$a+\frac{1}{a}$的值，最后整体代入化简后的式子计算即可，无需单独求$a$的数值。
【解析】
$\begin{aligned}&(a^2 - a^{-2})(a - a^{-1})\\=&(a^2 - \frac{1}{a^2})(a - \frac{1}{a})\\=&(a+\frac{1}{a})(a - \frac{1}{a}) · (a - \frac{1}{a})\\=&(a+\frac{1}{a})(a - \frac{1}{a})^2\\=&(a+\frac{1}{a})[(a+\frac{1}{a})^2 - 4]\end{aligned}$
$\because a^2 -4a +1=0$，且$a≠0$，等式两边同时除以$a$得：
$a - 4 + \frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=4$
将$a+\frac{1}{a}=4$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=4×(4^2 - 4)\\&=4×(16-4)\\&=4×12\\&=48\end{aligned}$
【答案】
$48$
【知识点】
负整数指数幂运算，乘法公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题核心是灵活运用平方差公式和完全平方公式对所求式子变形，结合已知条件求出关键代数式的值后整体代入计算，避免了求解$a$的具体值，简化了运算过程，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.6