登录
1. $0.3×0.7$，可以把0.3看作(
3
)个0.1，0.7看作(7
)个0.1，相乘后得到(21
)个0.01，结果是(0.21
)。答案
1. 3 7 21 0.21
解析
【分析】
这道题是从计数单位的角度理解小数乘法的算理，我们可以分步骤思考：首先明确一位小数的计数单位是0.1，先判断两个乘数分别包含多少个0.1；再计算计数单位的乘积，0.1乘0.1得到的计数单位是0.01；最后计算总共有多少个新的计数单位，再换算成小数结果即可。
【解析】
1. 求0.3包含的0.1的数量：因为$0.1×3=0.3$，所以0.3可以看作3个0.1。
2. 求0.7包含的0.1的数量：因为$0.1×7=0.7$，所以0.7可以看作7个0.1。
3. 求相乘后0.01的数量：3个0.1乘7个0.1，先算整数部分$3×7=21$，再算计数单位部分$0.1×0.1=0.01$，所以相乘后得到21个0.01。
4. 计算最终结果：21个0.01对应的数值为$21×0.01=0.21$。
【答案】
3 7 21 0.21
【知识点】
小数的计数单位、小数乘法的算理
【点评】
本题聚焦小数乘法的底层算理，避免了机械记忆计算法则，能帮助我们理解小数乘法和整数乘法的关联，掌握小数乘法的本质。
【难度系数】
0.9
这道题是从计数单位的角度理解小数乘法的算理，我们可以分步骤思考：首先明确一位小数的计数单位是0.1，先判断两个乘数分别包含多少个0.1；再计算计数单位的乘积，0.1乘0.1得到的计数单位是0.01；最后计算总共有多少个新的计数单位，再换算成小数结果即可。
【解析】
1. 求0.3包含的0.1的数量：因为$0.1×3=0.3$，所以0.3可以看作3个0.1。
2. 求0.7包含的0.1的数量：因为$0.1×7=0.7$，所以0.7可以看作7个0.1。
3. 求相乘后0.01的数量：3个0.1乘7个0.1，先算整数部分$3×7=21$，再算计数单位部分$0.1×0.1=0.01$，所以相乘后得到21个0.01。
4. 计算最终结果：21个0.01对应的数值为$21×0.01=0.21$。
【答案】
3 7 21 0.21
【知识点】
小数的计数单位、小数乘法的算理
【点评】
本题聚焦小数乘法的底层算理，避免了机械记忆计算法则，能帮助我们理解小数乘法和整数乘法的关联，掌握小数乘法的本质。
【难度系数】
0.9
2. $\frac{3}{5} × \frac{2}{7}$，可以看作(
3
)个$\frac{1}{5}$与(2
)个$\frac{1}{7}$相乘，结果是(6
)个$\frac{1}{35}$，也就是($\frac{6}{35}$
)。答案
2. 3 2 6 $\frac{6}{35}$
解析
【分析】
我们可以结合分数的意义和分数乘法的算理逐步推导：首先明确分数的组成，一个分数的分子是几，就表示有几个对应的分数单位，先确定$\frac{3}{5}$和$\frac{2}{7}$分别包含多少个各自的分数单位；再按照分数乘法的计算规则算出乘积，最后分析乘积的组成即可得出所有空的答案。
【解析】
1. 分析$\frac{3}{5}$的组成：$\frac{3}{5}$的分数单位是$\frac{1}{5}$，分子为3，说明它是3个$\frac{1}{5}$，因此第一个空填3；
2. 分析$\frac{2}{7}$的组成：$\frac{2}{7}$的分数单位是$\frac{1}{7}$，分子为2，说明它是2个$\frac{1}{7}$，因此第二个空填2；
3. 计算乘积：根据分数乘法计算法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得$\frac{3}{5}×\frac{2}{7}=\frac{3×2}{5×7}=\frac{6}{35}$；
4. 分析$\frac{6}{35}$的组成：$\frac{6}{35}$的分数单位是$\frac{1}{35}$，分子为6，说明它是6个$\frac{1}{35}$，最后结果就是$\frac{6}{35}$。
【答案】
3；2；6；$\frac{6}{35}$
【知识点】
分数的意义；分数乘法运算；分数单位
【点评】
本题结合分数单位的概念考察分数乘法的算理，能够帮助理解分数乘法的计算逻辑，是巩固运算基础的典型题目。
【难度系数】
0.9
我们可以结合分数的意义和分数乘法的算理逐步推导：首先明确分数的组成，一个分数的分子是几，就表示有几个对应的分数单位，先确定$\frac{3}{5}$和$\frac{2}{7}$分别包含多少个各自的分数单位；再按照分数乘法的计算规则算出乘积，最后分析乘积的组成即可得出所有空的答案。
【解析】
1. 分析$\frac{3}{5}$的组成：$\frac{3}{5}$的分数单位是$\frac{1}{5}$，分子为3，说明它是3个$\frac{1}{5}$，因此第一个空填3；
2. 分析$\frac{2}{7}$的组成：$\frac{2}{7}$的分数单位是$\frac{1}{7}$，分子为2，说明它是2个$\frac{1}{7}$，因此第二个空填2；
3. 计算乘积：根据分数乘法计算法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得$\frac{3}{5}×\frac{2}{7}=\frac{3×2}{5×7}=\frac{6}{35}$；
4. 分析$\frac{6}{35}$的组成：$\frac{6}{35}$的分数单位是$\frac{1}{35}$，分子为6，说明它是6个$\frac{1}{35}$，最后结果就是$\frac{6}{35}$。
【答案】
3；2；6；$\frac{6}{35}$
【知识点】
分数的意义；分数乘法运算；分数单位
【点评】
本题结合分数单位的概念考察分数乘法的算理，能够帮助理解分数乘法的计算逻辑，是巩固运算基础的典型题目。
【难度系数】
0.9
3. 4.8 ÷ 0.6,可以转化为(
48
)÷(6
)计算,依据是(商不变的性质
)。答案
3. 48 6 商不变的性质
解析
【分析】
遇到除数是小数的除法时，我们需要先把除数转化为整数，再用已学的整数除法计算。首先观察除数0.6是一位小数，要变成整数需要乘10，此时要保证商不变，就要用到商不变的性质：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变，所以被除数4.8也要同时乘10，就能得到转化后的算式。
【解析】
1. 先处理除数：除数0.6是一位小数，要转化为整数，需给0.6乘10，得到整数6。
2. 依据商不变的性质，被除数和除数同时乘相同的数（0除外）商不变，因此被除数4.8也要同时乘10，计算得4.8×10=48。
3. 综上，4.8÷0.6可以转化为48÷6计算，依据是商不变的性质。
【答案】
48；6；商不变的性质
【知识点】
小数除法转化；商不变的性质
【点评】
本题考查小数除法的计算基础，核心是对商不变性质的理解与运用，该转化规则是正确计算小数除法的前提，属于运算类基础考点。
【难度系数】
0.9
遇到除数是小数的除法时，我们需要先把除数转化为整数，再用已学的整数除法计算。首先观察除数0.6是一位小数，要变成整数需要乘10，此时要保证商不变，就要用到商不变的性质：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变，所以被除数4.8也要同时乘10，就能得到转化后的算式。
【解析】
1. 先处理除数：除数0.6是一位小数，要转化为整数，需给0.6乘10，得到整数6。
2. 依据商不变的性质，被除数和除数同时乘相同的数（0除外）商不变，因此被除数4.8也要同时乘10，计算得4.8×10=48。
3. 综上，4.8÷0.6可以转化为48÷6计算，依据是商不变的性质。
【答案】
48；6；商不变的性质
【知识点】
小数除法转化；商不变的性质
【点评】
本题考查小数除法的计算基础，核心是对商不变性质的理解与运用，该转化规则是正确计算小数除法的前提，属于运算类基础考点。
【难度系数】
0.9
4. 一个分数的计数单位是$\frac{1}{6}$，它里面有5个这样的计数单位，这个分数里面有(
10
)个$\frac{1}{12}$或(15
)个$\frac{1}{18}$答案
4. 10 15
解析
【分析】
首先根据分数计数单位的定义求出原分数：计数单位是$\frac{1}{6}$，有5个这样的单位，说明原分数是$\frac{5}{6}$。接下来求$\frac{5}{6}$里包含多少个$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{18}$，可以用两种思路：一是根据“求一个数里有几个另一个数用除法”直接计算；二是利用分数的基本性质把$\frac{5}{6}$通分到对应分母，分子就是对应计数单位的个数，两种方法都能得出结果。
【解析】
步骤1：计算原分数
分数的计数单位是$\frac{1}{6}$，包含5个这样的计数单位，因此原分数为：
$5×\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
步骤2：求$\frac{5}{6}$里有多少个$\frac{1}{12}$
用通分法计算：把$\frac{5}{6}$化成分母为12的分数，$\frac{5}{6}=\frac{5×2}{6×2}=\frac{10}{12}$，$\frac{10}{12}$的分子是10，说明有10个$\frac{1}{12}$。
步骤3：求$\frac{5}{6}$里有多少个$\frac{1}{18}$
用通分法计算：把$\frac{5}{6}$化成分母为18的分数，$\frac{5}{6}=\frac{5×3}{6×3}=\frac{15}{18}$，$\frac{15}{18}$的分子是15，说明有15个$\frac{1}{18}$。
【答案】
10；15
【知识点】
分数的计数单位；分数的基本性质；除法的意义
【点评】
本题是数与运算的基础题型，解题的关键是先准确求出原分数，再根据计数单位的特点选择合适的方法计算即可，计算时注意通分或分数除法的运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.8
首先根据分数计数单位的定义求出原分数：计数单位是$\frac{1}{6}$，有5个这样的单位，说明原分数是$\frac{5}{6}$。接下来求$\frac{5}{6}$里包含多少个$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{18}$，可以用两种思路：一是根据“求一个数里有几个另一个数用除法”直接计算；二是利用分数的基本性质把$\frac{5}{6}$通分到对应分母，分子就是对应计数单位的个数，两种方法都能得出结果。
【解析】
步骤1：计算原分数
分数的计数单位是$\frac{1}{6}$，包含5个这样的计数单位，因此原分数为：
$5×\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
步骤2：求$\frac{5}{6}$里有多少个$\frac{1}{12}$
用通分法计算：把$\frac{5}{6}$化成分母为12的分数，$\frac{5}{6}=\frac{5×2}{6×2}=\frac{10}{12}$，$\frac{10}{12}$的分子是10，说明有10个$\frac{1}{12}$。
步骤3：求$\frac{5}{6}$里有多少个$\frac{1}{18}$
用通分法计算：把$\frac{5}{6}$化成分母为18的分数，$\frac{5}{6}=\frac{5×3}{6×3}=\frac{15}{18}$，$\frac{15}{18}$的分子是15，说明有15个$\frac{1}{18}$。
【答案】
10；15
【知识点】
分数的计数单位；分数的基本性质；除法的意义
【点评】
本题是数与运算的基础题型，解题的关键是先准确求出原分数，再根据计数单位的特点选择合适的方法计算即可，计算时注意通分或分数除法的运算规则，避免出错。
【难度系数】
0.8
5. $\frac{2}{5} = (\quad) × 2 = (\quad) × 4 = (\quad) × 6$
答案
$\frac{1}{5}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{1}{15}$
解析
【分析】
解题时首先明确每个乘法算式的乘积都等于$\frac{2}{5}$，根据乘法各部分之间的关系：因数=积÷另一个因数，我们只需要用固定的积$\frac{2}{5}$分别除以已知的因数2、4、6，再按照分数除以整数的计算规则（除以一个不为0的整数等于乘这个整数的倒数）计算，计算过程中注意约分就能得到对应结果。
【解析】
1. 计算第一个括号的数：
已知乘积为$\frac{2}{5}$，其中一个因数是2，代入公式得：
$\frac{2}{5}÷2=\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$
2. 计算第二个括号的数：
已知乘积为$\frac{2}{5}$，其中一个因数是4，代入公式得：
$\frac{2}{5}÷4=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
3. 计算第三个括号的数：
已知乘积为$\frac{2}{5}$，其中一个因数是6，代入公式得：
$\frac{2}{5}÷6=\frac{2}{5}×\frac{1}{6}=\frac{1}{15}$
【答案】
$\frac{1}{5}$；$\frac{1}{10}$；$\frac{1}{15}$
【知识点】
乘除法互逆关系、分数除以整数计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察乘法各部分间的关系和分数除法的基础计算能力，计算时先约分再计算可降低出错概率。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确每个乘法算式的乘积都等于$\frac{2}{5}$，根据乘法各部分之间的关系：因数=积÷另一个因数，我们只需要用固定的积$\frac{2}{5}$分别除以已知的因数2、4、6，再按照分数除以整数的计算规则（除以一个不为0的整数等于乘这个整数的倒数）计算，计算过程中注意约分就能得到对应结果。
【解析】
1. 计算第一个括号的数：
已知乘积为$\frac{2}{5}$，其中一个因数是2，代入公式得：
$\frac{2}{5}÷2=\frac{2}{5}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$
2. 计算第二个括号的数：
已知乘积为$\frac{2}{5}$，其中一个因数是4，代入公式得：
$\frac{2}{5}÷4=\frac{2}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
3. 计算第三个括号的数：
已知乘积为$\frac{2}{5}$，其中一个因数是6，代入公式得：
$\frac{2}{5}÷6=\frac{2}{5}×\frac{1}{6}=\frac{1}{15}$
【答案】
$\frac{1}{5}$；$\frac{1}{10}$；$\frac{1}{15}$
【知识点】
乘除法互逆关系、分数除以整数计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察乘法各部分间的关系和分数除法的基础计算能力，计算时先约分再计算可降低出错概率。
【难度系数】
0.9
二、计算下面各题。
$8.5 - (5.6 + 4.8) ÷ 1.3$
$\dfrac{7}{12} ÷ [ \dfrac{7}{8} ÷ (7.2 ÷ 1.8) ]$
$( \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{4} × \dfrac{2}{3} ) ÷ \dfrac{8}{7}$
$8.5 - (5.6 + 4.8) ÷ 1.3$
$\dfrac{7}{12} ÷ [ \dfrac{7}{8} ÷ (7.2 ÷ 1.8) ]$
$( \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{4} × \dfrac{2}{3} ) ÷ \dfrac{8}{7}$
答案
二、0.5 $\frac{8}{3}$ $\frac{49}{64}$
解析
【分析】
解决本题需牢记四则混合运算的运算顺序：①有括号时，先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算括号外的运算；②没有括号时，先算乘除，后算加减；③同级运算按照从左到右的顺序依次计算。我们按照这个规则逐题计算即可。
【解析】
1. 计算$8.5 - (5.6 + 4.8) ÷ 1.3$
第一步：先算小括号内的加法：$5.6 + 4.8 = 10.4$
第二步：算括号外的除法：$10.4 ÷ 1.3 = 8$
第三步：算减法：$8.5 - 8 = 0.5$
2. 计算$\dfrac{7}{12} ÷ [ \dfrac{7}{8} ÷ (7.2 ÷ 1.8) ]$
第一步：先算最内层小括号的除法：$7.2 ÷ 1.8 = 4$
第二步：算中括号内的除法：$\dfrac{7}{8} ÷ 4 = \dfrac{7}{8} × \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{32}$
第三步：算中括号外的除法：$\dfrac{7}{12} ÷ \dfrac{7}{32} = \dfrac{7}{12} × \dfrac{32}{7} = \dfrac{8}{3}$
3. 计算$( \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{4} × \dfrac{2}{3} ) ÷ \dfrac{8}{7}$
第一步：先算小括号内的乘法：$\dfrac{3}{4} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}$
第二步：算小括号内的加法：$\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{7}{8}$
第三步：算括号外的除法：$\dfrac{7}{8} ÷ \dfrac{8}{7} = \dfrac{7}{8} × \dfrac{7}{8} = \dfrac{49}{64}$
【答案】
$0.5$；$\dfrac{8}{3}$；$\dfrac{49}{64}$
【知识点】
四则混合运算顺序；分数乘除法计算；小数四则运算
【点评】
本题属于数的运算基础题，核心考点是四则混合运算的先后顺序，计算时只要牢记运算规则，分数计算注意约分、小数计算注意数位对齐，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
解决本题需牢记四则混合运算的运算顺序：①有括号时，先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算括号外的运算；②没有括号时，先算乘除，后算加减；③同级运算按照从左到右的顺序依次计算。我们按照这个规则逐题计算即可。
【解析】
1. 计算$8.5 - (5.6 + 4.8) ÷ 1.3$
第一步：先算小括号内的加法：$5.6 + 4.8 = 10.4$
第二步：算括号外的除法：$10.4 ÷ 1.3 = 8$
第三步：算减法：$8.5 - 8 = 0.5$
2. 计算$\dfrac{7}{12} ÷ [ \dfrac{7}{8} ÷ (7.2 ÷ 1.8) ]$
第一步：先算最内层小括号的除法：$7.2 ÷ 1.8 = 4$
第二步：算中括号内的除法：$\dfrac{7}{8} ÷ 4 = \dfrac{7}{8} × \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{32}$
第三步：算中括号外的除法：$\dfrac{7}{12} ÷ \dfrac{7}{32} = \dfrac{7}{12} × \dfrac{32}{7} = \dfrac{8}{3}$
3. 计算$( \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{4} × \dfrac{2}{3} ) ÷ \dfrac{8}{7}$
第一步：先算小括号内的乘法：$\dfrac{3}{4} × \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}$
第二步：算小括号内的加法：$\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{7}{8}$
第三步：算括号外的除法：$\dfrac{7}{8} ÷ \dfrac{8}{7} = \dfrac{7}{8} × \dfrac{7}{8} = \dfrac{49}{64}$
【答案】
$0.5$；$\dfrac{8}{3}$；$\dfrac{49}{64}$
【知识点】
四则混合运算顺序；分数乘除法计算；小数四则运算
【点评】
本题属于数的运算基础题，核心考点是四则混合运算的先后顺序，计算时只要牢记运算规则，分数计算注意约分、小数计算注意数位对齐，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.75
三、找关联，明联系。
$2×6=(2×6)×(1×1)$ 这道题的结果是12个(
$20×60=(2×6)×(10×10)$ 这道题的结果是12个(
$0.2×0.6=(2×6)×(0.1×0.1)$ 这道题的结果是12个(
$\frac{2}{5}×\frac{6}{7}=(2×6)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{7})$ 这道题的结果是12个(
根据左边的算式，完成右边的填空。观察这四个算式，我发现整数、小数、分数乘法计算的相同点是
$2×6=(2×6)×(1×1)$ 这道题的结果是12个(
1
)$20×60=(2×6)×(10×10)$ 这道题的结果是12个(
100
)$0.2×0.6=(2×6)×(0.1×0.1)$ 这道题的结果是12个(
0.01
)$\frac{2}{5}×\frac{6}{7}=(2×6)×(\frac{1}{5}×\frac{1}{7})$ 这道题的结果是12个(
$\frac{1}{35}$
)根据左边的算式，完成右边的填空。观察这四个算式，我发现整数、小数、分数乘法计算的相同点是
计数单位与计数单位相乘,计数单位个数与计数单位个数相乘。
。答案
三、1 100 0.01 $\frac{1}{35}$ 计数单位与计数单位相乘,计数单位个数与计数单位个数相乘。
解析
【分析】
解题时先观察给出的等式结构：每个等式都把乘法算式拆成“（两个因数的计数单位个数相乘）×（两个因数的计数单位相乘）”的形式，右边的空对应的就是两个计数单位相乘的结果，也就是12的计数单位。先分别计算每道题中两个计数单位的乘积，就能填出前四个空；再对比四个算式的计算逻辑，总结整数、小数、分数乘法的共同算理即可。
【解析】
1. 第一个算式：两个计数单位的乘积为$1×1=1$，因此$2×6$的结果是12个1；
2. 第二个算式：两个计数单位的乘积为$10×10=100$，因此$20×60$的结果是12个100；
3. 第三个算式：两个计数单位的乘积为$0.1×0.1=0.01$，因此$0.2×0.6$的结果是12个0.01；
4. 第四个算式：两个计数单位的乘积为$\frac{1}{5}×\frac{1}{7}=\frac{1}{35}$，因此$\frac{2}{5}×\frac{6}{7}$的结果是12个$\frac{1}{35}$；
观察四个算式的计算逻辑，所有乘法运算都是先将两个因数的计数单位个数相乘，再将两个因数的计数单位相乘，最后把两次相乘的结果相乘，因此整数、小数、分数乘法计算的相同点是：计数单位与计数单位相乘，计数单位个数与计数单位个数相乘。
【答案】
1；100；0.01；$\frac{1}{35}$；计数单位与计数单位相乘,计数单位个数与计数单位个数相乘
【知识点】
乘法运算律；计数单位；乘法算理
【点评】
本题通过拆解不同类型数的乘法计算过程，引导学生发现各类乘法运算的本质共通性，能帮助学生深入理解乘法算理，避免死记硬背计算规则。
【难度系数】
0.8
解题时先观察给出的等式结构：每个等式都把乘法算式拆成“（两个因数的计数单位个数相乘）×（两个因数的计数单位相乘）”的形式，右边的空对应的就是两个计数单位相乘的结果，也就是12的计数单位。先分别计算每道题中两个计数单位的乘积，就能填出前四个空；再对比四个算式的计算逻辑，总结整数、小数、分数乘法的共同算理即可。
【解析】
1. 第一个算式：两个计数单位的乘积为$1×1=1$，因此$2×6$的结果是12个1；
2. 第二个算式：两个计数单位的乘积为$10×10=100$，因此$20×60$的结果是12个100；
3. 第三个算式：两个计数单位的乘积为$0.1×0.1=0.01$，因此$0.2×0.6$的结果是12个0.01；
4. 第四个算式：两个计数单位的乘积为$\frac{1}{5}×\frac{1}{7}=\frac{1}{35}$，因此$\frac{2}{5}×\frac{6}{7}$的结果是12个$\frac{1}{35}$；
观察四个算式的计算逻辑，所有乘法运算都是先将两个因数的计数单位个数相乘，再将两个因数的计数单位相乘，最后把两次相乘的结果相乘，因此整数、小数、分数乘法计算的相同点是：计数单位与计数单位相乘，计数单位个数与计数单位个数相乘。
【答案】
1；100；0.01；$\frac{1}{35}$；计数单位与计数单位相乘,计数单位个数与计数单位个数相乘
【知识点】
乘法运算律；计数单位；乘法算理
【点评】
本题通过拆解不同类型数的乘法计算过程，引导学生发现各类乘法运算的本质共通性，能帮助学生深入理解乘法算理，避免死记硬背计算规则。
【难度系数】
0.8
