1. 一元二次方程根的判别式
(1)式子________叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=______.
(2)①当Δ＞0时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个________的实数根；
②当Δ=0时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个________的实数根；
③当Δ＜0时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$______实数根.

(1) $b^2-4ac$，$b^2-4ac$
(2) ① 不相等 ② 相等 ③ 无

2. 用公式法解一元二次方程
(1)当$\Delta ≥ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）的实数根可写为$x =$ 的形式，这个式子叫作一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的求根公式。
(2)解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入 ，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法。

2. (1) $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
(2) 求根公式

典例1 一元二次方程 $x^2 - 2x = -1$ 的根的情况是().

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
规律方法 根的判别式在解答一元二次方程的相关问题中应用十分广泛，既可以用来判断方程根的情况，也可以根据根的情况来确定方程中参数的值或取值范围。

答案 B
解析 $x^2 - 2x = -1$，即 $x^2 - 2x + 1 = 0$，
∵ $a = 1, b = -2, c = 1$，
∴ $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，故选 B.

举一反三 若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 +4x +1=0$有实数根，则$m$的取值范围是。

$m≤5,且m≠1$
解析 由题意可知 $\Delta=b^2-4ac=16-4m+4=20-4m$.
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2 +4x+1=0$ 有实数根, $\therefore \begin{cases}20-4m≥0,\\m-1≠0,\end{cases}$
解得 $m≤5,且m≠1$.

典例2 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 -5x +2=0$；
(2)$x^2 -2\sqrt{3}x +3=0$；
(3)$\sqrt{2}x -2=2x^2$。

(1) 因为 $a = 1, b = -5, c = 2$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×2 = 17 ＞ 0$.
方程有两个不相等的实数根 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2×1} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$，
即 $x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$.
(2) 因为 $a = 1, b = -2\sqrt{3}, c = 3$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 0$.
方程有两个相等的实数根
$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2\sqrt{3}}{2×1} = \sqrt{3}$.
(3) 方程化为 $2x^2 - \sqrt{2}x + 2 = 0$，
此时 $a = 2, b = -\sqrt{2}, c = 2$，
所以 $\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{2})^2 - 4×2×2 = -14 ＜ 0$.
方程无实数根.