8. 如图, 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$AE⊥ CB$ 交 $CB$ 的延长线于点 $E$,若 $BA$ 平分$∠ DBE$,$AD=5$,
$CE=\sqrt{13}$,则 $AE$ 的长度为 （ ）
A. $3$
B. $3\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{3}$
D. $2\sqrt{3}$

第8题图

第9题图

第10题图

D

9.(2024·江都区一模)如图,在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$∠C=110°$.若点$E$在$\overset{\frown}{AD}$上,则$∠E=$______°.

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10.如图，AB，CD是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，BE是$\odot O$的直径.若$AC=3$，则$DE=\_\_\_\_\_\_$.

3

11. 如图, 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$, $∠ ABC=60°$, 对角线 $DB$ 平分$∠ ADC$.
(1)求证: $△ ABC$ 是等边三角形;
(2)过点 $B$ 作 $BE // CD$ 交 $DA$ 的延长线于点 $E$, 若 $AD=2$, $DC=3$, 求$△ BDE$ 的周长.

证明​$：(1)$​因为四边形​$ABCD$​内接于​$\odot O，$​所以​$∠ABC+∠ADC = 180°。$​​$ $​已知​$∠ABC = 60°，$​则​$∠ADC=180°-60°=120°。$​​$ $​因为​$DB$​平分​$∠ADC，$​所以​$∠ADB=∠CDB = 60°。$​ 根据同弧所对的圆周角相等，可得​$∠ACB=∠ADB = 60°，$​​$∠BAC=∠CDB = 60°。$​​$ $​所以​$∠ABC=∠BCA=∠BAC，$​所以​$\triangle ABC$​是等边三角形。​$ (2)$​因为​$BE// CD，$​所以​$∠EBD=∠BDC。$​​$ $​又因为​$∠ADB=∠CDB = 60°，$​所以​$∠EBD=∠EDB = 60°，$​所以​$\triangle BDE$​是等边三角形，所以​$BE = BD。$​​$ $​因为​$\triangle ABC$​为等边三角形，所以​$∠EBD=∠ABC = 60°，$​​$AB = CB。$​​$ $​所以​$∠ABE=∠CBD。$​​$ $​在​$\triangle ABE$​和​$\triangle CBD$​中，​$ \begin {cases}BE = BD\\∠ABE=∠CBD\\AB = CB\end {cases}$​​$ $​所以​$\triangle ABE\cong \triangle CBD(\mathrm {SAS})。$​​$ $​所以​$AE = CD = 3，$​则​$DE=AE + AD=3 + 2=5。$​​$ $​所以​$\triangle BDE$​的周长为​$3×5 = 15。$​

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,过$B,C$两点的$\odot O$交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$,连接$EO$并延长交$\odot O$于点$F$,连接$BF,CF$.若$∠ EDC=135°$,$CF=2\sqrt{2}$,求$AE^2+BE^2$的值.

第12题图

解：因为四边形​$BCDE$​内接于​$\odot O，$​且​$∠EDC = 135°，$​根据圆内接四边形对角互补，可得​$∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=180°-135°=45°。$​​$ $​因为​$∠ACB = 90°，$​所以​$\triangle ABC$​是等腰直角三角形，所以​$AC = BC。$​​$ $​又因为​$EF $​是​$\odot O$​的直径，所以​$∠EBF=∠ECF=∠ACB = 90°，$​所以​$∠BCF=∠ACE。$​​$ $​因为四边形​$BECF $​是​$\odot O$​的内接四边形，所以​$∠BEC+∠BFC = 180°。$​​$ $​又因为​$∠BEC+∠AEC = 180°，$​所以​$∠AEC=∠BFC。$​​$ $​所以​$\triangle ACE\cong \triangle BCF(\mathrm {AAS})，$​所以​$AE = BF，$​​$EC = FC。$​​$ $​在​$Rt\triangle ECF_{中}，$​​$CF = 2\sqrt {2}，$​根据勾股定理​$EF^2=CE^2+CF^2。$​​$ $​因为​$EC = FC = 2\sqrt {2}，$​所以​$EF^2=(2\sqrt {2})^2+(2\sqrt {2})^2=8 + 8=16。$​​$ $​则​$AE^2+BE^2=BF^2+BE^2=EF^2=16。$​