同学们已经认识了很多正多边形,现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念.如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O,又称为正六边形的中心,其中OA称为正六边形的半径,通常用R表示,∠AOB称为中心角.提出问题:正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系?
探索发现:
为了解决这个问题,我们不妨从最简单的正多边形——正三角形入手.
如图①,△ABC是正三角形,半径OA=R,∠AOB是中心角,P是△ABC内任意一点,P到△ABC各边距离分别为h₁,h₂,h₃,确定h₁+h₂+h₃的值与△ABC的半径R及中心角的关系.
解:设△ABC的边长是a,面积为S,显然$S=\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)$.
O为△ABC的中心,连结OA,OB,OC,它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形,过点O作OM⊥AB,垂足为M,在Rt△AOM中,易知$OM=OA\cos∠AOM=R\cos(\frac{1}{2}∠AOB)=R\cos(\frac{1}{2}×120°)=R\cos60°$,$AM=OA\sin∠AOM=R\sin(\frac{1}{2}∠AOB)=R\sin(\frac{1}{2}×120°)=R\sin60°$,$∴AB=a=2AM=2R\sin60°$,$∴S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB·OM=\frac{1}{2}×2R\sin60°·R\cos60°=R^2\sin60°·\cos60°$,$∴S_{△ABC}=3S_{△AOB}=3R^2\sin60°·\cos60°$,$∴\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=3R^2\sin60°·\cos60°$,即$\frac{1}{2}×2R\sin60°(h_1+h_2+h_3)=3R^2\sin60°·\cos60°$,$∴h_1+h_2+h_3=3R\cos60°$.
(1)如图②,五边形ABCDE是正五边形,半径是R,P是正五边形ABCDE内任意一点,P到五边形ABCDE各边距离分别为h₁,h₂,h₃,h₄,h₅,参照上面的探索过程,确定h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系.
(2)类比上述探索过程,直接填写结论.
正六边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6=$;
正八边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6+h_7+h_8=$;
正n边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和$h_1+h_2+…+h_n=$.

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(1)设正五边形的边长是a,面积为S,显然$S=\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5)$,O为正五边形的中心,连结OA,OB,OC,OD,OE,它们将五边形分成五个全等的等腰三角形,过点O作OQ⊥AB,垂足为Q,在Rt△AOQ中,易知$OQ=OA\cos∠AOQ=R\cos(\frac{1}{2}∠AOB)=R\cos(\frac{1}{2}×72°)=R\cos 36°$,$AQ=OA\sin∠AOQ=R\sin(\frac{1}{2}∠AOB)=R\sin(\frac{1}{2}×72°)=R\sin 36°$,
$∴AB=a=2AQ=2R\sin 36°$,$∴S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB·OQ=\frac{1}{2}×2R\sin 36°·R\cos 36°=R^2\sin 36° · \cos 36°$,$∴S_{正五边形ABCDE}=5S_{△AOB}=5R^2\sin 36° · \cos 36°$,$∴\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5)=5R^2\sin 36° · \cos 36°$,即$\frac{1}{2}×2R\sin 36°(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5)=5R^2\sin 36° · \cos 36°$,
$∴h_1+h_2+h_3+h_4+h_5=5R\cos 36°$.
(2)$6R\cos 30°$ $8R\cos 22.5°$ $nR\cos \frac{180°}{n}$
解析:正六边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6=6R\cos 30°$,正八边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6+h_7+h_8=8R\cos 22.5°$,正n边形(半径是R)内任意一点P到各边距离之和$h_1+h_2+…+h_n=nR\cos \frac{180°}{n}$.

【分析】
本题采用类比探究的思路解题：①首先运用面积法，将正多边形的总面积表示为“以各边为底，内部点P到各边的距离为高”的若干个小三角形的面积之和，得到面积与距离和的关系式；②再结合正多边形中心的性质，将正多边形拆分为n个全等的等腰三角形，利用锐角三角函数表示出正多边形的边长、边心距，进而用半径R和中心角表示出正多边形的总面积；③联立两个面积表达式，消去公共项后即可得到距离和与R、中心角的关系。第一问直接参照正三角形的探究步骤，替换为正五边形的相关参数计算即可；第二问根据正三角形、正五边形的结论归纳规律，直接写出对应结果。
【解析】
(1)设正五边形的边长是a，面积为S，显然$S=\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5)$。
O为正五边形的中心，连结OA,OB,OC,OD,OE，它们将五边形分成五个全等的等腰三角形，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q。
在Rt△AOQ中，正五边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{5}=72°$，因此$∠ AOQ=\frac{1}{2}∠ AOB=36°$，可得：
$OQ=OA\cos∠ AOQ=R\cos36°$，$AQ=OA\sin∠ AOQ=R\sin36°$，
$\therefore AB=a=2AQ=2R\sin36°$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· OQ=\frac{1}{2}×2R\sin36°· R\cos36°=R^2\sin36°·\cos36°$，
$\therefore S_{正五边形ABCDE}=5S_{△ AOB}=5R^2\sin36°·\cos36°$，
联立面积的两个表达式得：$\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5)=5R^2\sin36°·\cos36°$，
将$a=2R\sin36°$代入得：$\frac{1}{2}×2R\sin36°(h_1+h_2+h_3+h_4+h_5)=5R^2\sin36°·\cos36°$，
两边同时约去$R\sin36°$，得$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5=5R\cos36°$。
(2)正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，中心角的一半为$30°$，类比规律得距离和为$6R\cos30°$；
正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，中心角的一半为$22.5°$，类比规律得距离和为$8R\cos22.5°$；
正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，中心角的一半为$\frac{180°}{n}$，归纳得通用结论：距离和为$nR\cos\frac{180°}{n}$。
【答案】
(1)$h_1+h_2+h_3+h_4+h_5=5R\cos36°$
(2)$6R\cos30°$；$8R\cos22.5°$；$nR\cos\frac{180°}{n}$
【知识点】
正多边形的性质；面积法的应用；锐角三角函数计算
【点评】
本题属于类比探究类题型，从特殊正多边形的结论推导一般正多边形的通用规律，解题的核心是掌握面积法的应用，同时能结合正多边形的性质与锐角三角函数表示正多边形的边长、面积，考查了知识迁移能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65